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| Aufgabe 1 | Gegeben seien folgende 6 Abbildungen [mm] f_{1},...,f_{6} [/mm] : [mm] \IR \setminus [/mm] {0,1} [mm] \to \IR \setminus [/mm] {0,1}:
[mm] f_{1}(x):=x, f_{2}(x):= \bruch{1}{x}, f_{3}(x):= [/mm] 1-x, [mm] f_{4}(x):= \bruch{1}{1-x}, f_{5}(x):= \bruch{x-1}{x}, f_{6}(x):= \bruch{x}{x-1}
[/mm]
und [mm] G:={{f_{1},...,f_{6}}}.
[/mm]
(a) Zeigen sie, dass die Komposition [mm] \circ [/mm] eine Verknüpfung [mm] \circ [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G definiert, indem Sie für jede der 36 Möglichkeiten i,j [mm] \in [/mm] {1,...,6} die Abbildung [mm] f_{i} \circ f_{j} [/mm] : [mm] \IR \setminus [/mm] {0,1} [mm] \to \IR \setminus [/mm] {0,1}, x [mm] \to f_{i}(f_{j})) [/mm] bestimmen. Geben sie diese in einer Tabelle an.
(b) Bestimmen sie mit Hilfe der Verknüpfungstafel ein Einselement e [mm] \in [/mm] G und weisen Sie nachm dass das Tripel [mm] (G,e,\circ) [/mm] eine Gruppe bildet. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass das in der Vorlesung definierte Quintupel [mm] (\IC, 0_{\IC}, 1_{\IC}, +_{\IC}, *_{\IC}) [/mm] ein Körper ist, indem sie die Köperaxiome nachrechnen. Beachten sie, dass für die Axiome K1 und K2 jeweils 4 Axiome zu verifizieren sind. |
Zu Aufgabe 1:
(a) Habe ich die Aufgabenstellung richtig verstanden?
[mm] f_{3}(x):= [/mm] 1-x; [mm] f_{5}(x):= \bruch{x-1}{x}
[/mm]
[mm] f_{3}(f_{5}(x)) [/mm] := 1 - [mm] \bruch{x-1}{x}
[/mm]
[mm] f_{5}(f_{3}(x)) [/mm] := [mm] \bruch{x}{1-x}
[/mm]
(b) Da ich die 1(a) noch nicht fertig hab, und die Aufgabe darauf, hab ich dazu im Moment kein Fragen.
Zu Aufgabe 2:
Nur kleine Frage am Rande: Der Index: [mm] _{\IC} [/mm] bedeutet, dass die Axiome und Rechenregeln der Komplexen Zahlen gelten?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben seien folgende 6 Abbildungen [mm]f_{1},...,f_{6}[/mm] : [mm]\IR \setminus[/mm]
> {0,1} [mm]\to \IR \setminus[/mm] {0,1}:
>
> [mm]f_{1}(x):=x, f_{2}(x):= \bruch{1}{x}, f_{3}(x):=[/mm] 1-x,
> [mm]f_{4}(x):= \bruch{1}{1-x}, f_{5}(x):= \bruch{x-1}{x}, f_{6}(x):= \bruch{x}{x-1}[/mm]
>
> und [mm]G:={{f_{1},...,f_{6}}}.[/mm]
>
> (a) Zeigen sie, dass die Komposition [mm]\circ[/mm] eine
> Verknüpfung [mm]\circ[/mm] : G [mm]\times[/mm] G [mm]\to[/mm] G definiert, indem Sie
> für jede der 36 Möglichkeiten i,j [mm]\in[/mm] {1,...,6} die
> Abbildung [mm]f_{i} \circ f_{j}[/mm] : [mm]\IR \setminus[/mm] {0,1} [mm]\to \IR \setminus[/mm]
> {0,1}, x [mm]\to f_{i}(f_{j}))[/mm] bestimmen. Geben sie diese in
> einer Tabelle an.
>
> (b) Bestimmen sie mit Hilfe der Verknüpfungstafel ein
> Einselement e [mm]\in[/mm] G und weisen Sie nachm dass das Tripel
> [mm](G,e,\circ)[/mm] eine Gruppe bildet.
> Zeigen Sie, dass das in der Vorlesung definierte Quintupel
> [mm](\IC, 0_{\IC}, 1_{\IC}, +_{\IC}, *_{\IC})[/mm] ein Körper ist,
> indem sie die Köperaxiome nachrechnen. Beachten sie, dass
> für die Axiome K1 und K2 jeweils 4 Axiome zu verifizieren
> sind.
> Zu Aufgabe 1:
>
> (a) Habe ich die Aufgabenstellung richtig verstanden?
>
> [mm]f_{3}(x):=[/mm] 1-x; [mm]f_{5}(x):= \bruch{x-1}{x}[/mm]
>
> [mm]f_{3}(f_{5}(x))[/mm] := 1 - [mm]\bruch{x-1}{x}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]f_{5}(f_{3}(x))[/mm] := [mm]\bruch{x}{1-x}[/mm]
Hier hast du im Zähler ein - übersehen.
Du hast: [mm] \bruch{(1-x)+1}{1-x}=\bruch{-x}{1-x}
[/mm]
>
> (b) Da ich die 1(a) noch nicht fertig hab, und die Aufgabe
> darauf, hab ich dazu im Moment kein Fragen.
>
> Zu Aufgabe 2:
>
> Nur kleine Frage am Rande: Der Index: [mm]_{\IC}[/mm] bedeutet, dass
> die Axiome und Rechenregeln der Komplexen Zahlen gelten?
Yep. Und mit [mm] 1_{\IC} [/mm] ist das Einselement der koplexen Zahlen gemeint, mit [mm] 0_{\IC} [/mm] das Nullelement
Marius
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Nachdem ich nun sämtliche Verknüpfungen durchgerechnet hab, stell ich fest das x das Einselement ist.
Stimmt das ?
Steht das nicht im Wiederspruch mit e [mm] \in [/mm] G ?
Gruß
TrockenNass
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mo 01.11.2010 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Nachdem ich nun sämtliche Verknüpfungen durchgerechnet
> hab, stell ich fest das x das Einselement ist.
>
> Stimmt das ?
Sagen wir mal so: Es stimmt fast.
Nachdem in der Gruppe aber nur Funktionen enthalten sind meinst Du bestimmt die Funktion $f$ mit $f(x)=x$
>
> Steht das nicht im Wiederspruch mit e [mm]\in[/mm] G ?
Wenn Du jetzt richtigerweise die Funktion betrachtest wirst Du sie auch in der gegebenen Aufzählung wiederfinden...
Gruß
piet
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Hallo nochmal,
damit ein Tripel eine Gruppe bildet (hier [mm] (G,e,\circ)) [/mm] müssen folgende Axiome gelten:
Assoziativität, Rechts eins und Rechts invers (und zusätzlich Kommutativgesetz damit die Gruppe abelsch ist)
Rechts eins haben wir ja im Prinzip schon in Teilaufgabe (a) bewiesen, aber wie Beweis ich die anderen Zwei.
Mein Problem:
Rechts invers: [mm] f_{1} \circ f_{2}=f_{2} [/mm]
[mm] (f_{2} [/mm] ist ja das Inverse von [mm] f_{1})
[/mm]
Jedoch ist das Einelement f(x):= x
Und wie beweis ich in so einem Fall Assozativität ???
Schonmal im vorraus Danke an alle Helfer
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> Hallo nochmal,
>
> damit ein Tripel eine Gruppe bildet (hier [mm](G,e,\circ))[/mm]
> müssen folgende Axiome gelten:
>
> Assoziativität, Rechts eins und Rechts invers (und
> zusätzlich Kommutativgesetz damit die Gruppe abelsch ist)
>
> Rechts eins haben wir ja im Prinzip schon in Teilaufgabe
> (a) bewiesen, aber wie Beweis ich die anderen Zwei.
>
> Mein Problem:
>
> Rechts invers: [mm]f_{1} \circ f_{2}=f_{2}[/mm]
> [mm](f_{2}[/mm] ist ja das Inverse von [mm]f_{1})[/mm]
Hallo,
wieso ist [mm] f_2 [/mm] das Inverse von [mm] f_1?
[/mm]
[mm] f_1 [/mm] ist doch das neutrale Element.
Um zu einem jeden Element das Inverse herauszufinden, schau in Deiner verknüpfungstafel für jedes Element nach, mit welchem man es verknüpfen muß, um das neutrale Element zu erhalten.
> Und wie beweis ich in so einem Fall Assozativität ???
Ich denke, daß dies schon getan wurde, als Ihr die Verkettung von Funktionen eingeführt habt. Die Verkettung v. Funktionen ist nämlich
assoziativ.
Wenn Du unbedingt was zeigen willst: seien [mm] f,g,h\in [/mm] G.
Nun rechne vor, daß [mm] (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ [/mm] h).
Verwende dafür die def. der Gleichheit von Funktionen und die Def. der Verkettung von Funktionen.
Gruß v. Angela
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