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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 29.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] x^T [/mm] * A *x
x und A sind Matrizen. |
Moin!
ich bräuchte damal einen Tipp. Gibt es eine Möglichkeit, diese Rechnung zu vereinfachen?
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 29.01.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Berechnen Sie [mm]x^T[/mm] * A *x
>
> x und A sind Matrizen.
> Moin!
meist bezeichnet man mit (kleinem) x Vektoren.
> ich bräuchte damal einen Tipp. Gibt es eine Möglichkeit,
> diese Rechnung zu vereinfachen?
Ich sehe keine Möglichkeit die Matrizenmultiplikation zu vereinfachen. Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, d.h. [mm]x^T\cdot{A}*x=(x^T*A)*x=x^T*(A*x)[/mm].
Aber eine wesentliche Vereinfachung sehe ich - auch im Hinblick auf die Rechenregeln für Matrizen - nicht.
> Vielen Dank!!
Vielleicht ergibt sich eine Vereinfachung, wenn man die gesamte Aufgabenstellung betrachtet?
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 29.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
Ok, jetzt habe ich auch die vollständige Aufgabenstellung...
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 7 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 5 \\ 3 & 5& 6}
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 11 & 7 \\ 5 & 7 & 2}
[/mm]
[mm] A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 7& 1 & 5 \\ 1 & 4 & 3 \\ 5 & 3 & 5}
[/mm]
Wie lautet die quadratische Form q(x) = [mm] x^T*A*x [/mm] der Matrizen [mm] A_i
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 29.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib [mm] x^T=(x_1,x_2,x_3) [/mm] entsprechend x und tu es einfach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 29.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
Ich probiers für [mm] A_1... [/mm] (besser kann ich das nicht formatieren)
1. [mm] x^T [/mm] * [mm] A_1
[/mm]
[mm] \pmat{ 7 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 5 \\ 3 &5 &6}
[/mm]
[mm] \pmat{x_1 & x_2 & x_3} \pmat{ 7x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 5x_2 + 5x_3 \\ 3x_1 + 5x_2 + 6x_3}
[/mm]
2. Eregbnis * x
[mm] \pmat{x_1 \\ x_2\\x_3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 7x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 5x_2 + 5x_3 \\ 3x_1 + 5x_2 + 6x_3} \pmat{ 7x_1^2 + x_1x_2 + 3x_1x_3 \\ x_1x_2 + 5x_2^2 + 5x_2x_3 \\ 3x_1x_3 + 5x_2x_3 + 6x_3^2}
[/mm]
D.h. das Endergebnis lautet:
[mm] \pmat{ 7x_1^2 + x_1x_2 + 3x_1x_3 \\ x_1x_2 + 5x_2^2 + 5x_2x_3 \\ 3x_1x_3 + 5x_2x_3 + 6x_3^2}
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 So 29.01.2012 | | Autor: | perl |
Hallo! Ums grundsätzlich zu klären:
Die Regel heißt ja: "Zeile mal Spalte". das ist der Grund warum du überhaupt so rechnen kannst.
Da dein transponierter vektor von links an die Matrix multipliziert wird, stellt er die " Zeile" unserer Regel dar.
> [mm][mm] \pmat{x_1 & x_2 & x_3} [/mm]
diese Zeile wird nun mit der ersten Spalte,dann der 2., dann der 3. Spalte der Matrix multipliziert.
wie du richtig gezeigt hast, ist folgendes entstanden:
[mm] \pmat{ 7x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 5x_2 + 5x_3 \\ 3x_1 + 5x_2 + 6x_3} [/mm]
Du siehst, dass durch die multiplikation aus der 3x3 Matrix ein Vektor des [mm] R^{3} [/mm] entstanden ist.
Nun ist das nächste was du tun musst lediglich Vektor mal Vektor zu rechnen.(Da x nicht transponiert sondern "normal" multipliziert wird)
Komponentenweise multiplikation liefert dein Ergebnis:
[mm] \pmat{ 7x_1^2 + x_1x_2 + 3x_1x_3 \\ x_1x_2 + 5x_2^2 + 5x_2x_3 \\ 3x_1x_3 + 5x_2x_3 + 6x_3^2} [/mm]
Die Frage richtig oder nicht ist somit trivial :)
good job^^
(sorry für die etwas a(aaa)usführliche antwort... ;) )
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