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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 29.10.2005 | | Autor: | SteffiX |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob mein Lösungsansatz für folgende Aufgabe passt, ich glaub ich hab mich da irgendwie im Kreis gedreht...
Aufgabe:
f: M [mm] \to [/mm] M sei eine Abbildung. Es gelte für alle Abbildungen g: M [mm] \to [/mm] M dass f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f.
Zeigen Sie: f = [mm] id_{M}
[/mm]
Ich hab mir jetzt gedacht, ich folgere aus der Behauptung f = [mm] id_{M}, [/mm] dass f bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt. Diese Umkehrfunktion ist g weil ja auch g: M [mm] \to [/mm] M ist
und dann gilt:
f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f. = [mm] id_{M} \Rightarrow [/mm] f = [mm] id_{M}
[/mm]
Stimmt das? Irgendwie bin ich mir nicht sicher ob ich den ersten Schritt und den letzten Schritt machen darf...
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Hallo, wie willst du denn aus einer Behauptung etwas folgern. Die musst du schon erst beweisen.
Du kannst aber über [mm] f\circ g=g\circ [/mm] f=id eine Menge aussagen. Die Identität ist ja auf jeden Fall bijektiv und daraus kannst du mit ein paar ganz einfachen Umformungen deine Behauptung folgern.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 30.10.2005 | | Autor: | SteffiX |
> Hallo, wie willst du denn aus einer Behauptung etwas
> folgern. Die musst du schon erst beweisen.
>
> Du kannst aber über [mm]f\circ g=g\circ[/mm] f = [mm] id_{M} [/mm] eine Menge
> aussagen. Die Identität ist ja auf jeden Fall bijektiv und
> daraus kannst du mit ein paar ganz einfachen Umformungen
> deine Behauptung folgern.
>
> VG mathmetzsch
Das heißt praktisch, den ersten Schritt darf ich nicht machen, aber der Schritt [mm]f\circ g=g\circ[/mm] f = [mm] id_{M} [/mm] ist richtig und der Anfang meines Beweises... und dann zieh ich das ganze im Prinzip genau andersrum auf...
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Hallo Steffi,
nachdem SEcki mir die Aufgabenstellung erklärt und das tt-girl uns zurechtgewiesen hat, wir sollten mal was Konstruktives leisten, hier also eine Lösung:
Sei x [mm] \in [/mm] M beliebig gegben. Weiter sei y [mm] \in [/mm] M mit f(x) = y gegeben.
Dann gibt es sicher auch eine Funktion g: M -> M, für die g(y) = x und
g(x) = x gilt, selbst, wenn x und y verschieden sind (Idee von SEcki, weil ja alle möglichen Funktionen von M->M zugelassen waren!).
Also haben wir g(f(x)) = g(y) = x einerseits, aber nach Voraussetzung gilt
x = g(f(x)) = (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = (f [mm] \circ [/mm] g)(x) = f(g(x)) = f(x)
andrerseits. Also reduziert sich die Gleichung auf x = f(x).
Das gilt für beliebige x [mm] \in [/mm] M.
Grüße, Richard
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Hallo Steffi,
Du hast Dich im Kreis gedreht, wenn Du von der zu beweisenden Aussage ausgehst. Das hat Dir Mathemetz schon gesagt.
> Aufgabe:
>
> f: M [mm]\to[/mm] M sei eine Abbildung. Es gelte für alle
> Abbildungen g: M [mm]\to[/mm] M dass f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f.
> Zeigen Sie: f = [mm]id_{M}[/mm]
das kann so nicht sein, es gibt kommutative Gruppen von Funktionen, die aus mehr als der Identität bestehen (z.B. die Drehung um 180° und die Drehung um 0° bilden zusammen eine kommutative Gruppe und aus der Vertauschbarkeit der beiden geht nicht hervor, dass die beiden gleich sind!). Da muss also ein Druckfehler drin sein.
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 So 30.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Da muss also ein Druckfehler drin sein.
Da ist aber keiner!  Man betrachtet ja hier nicht eine Teilmenge alöler Abbildungen - die Vertauschbarkeit muss nicht für bestimmte g gelten - die muss für alle g gelten - und zur Drehung um 180° finde ich sicher irgendeine Abbildung - nichtmal linaer oder so - die mit ihr nicht kommutiert.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 So 30.10.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Ich glaub ihr helft euch hier nicht hat denn keiner mal einen Lösungsweg oder Hinweis???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 30.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaub ihr helft euch hier nicht
Oh doch, ich glaube schon. Toellner hat etwas imo nicht korrektes geschrieben, das wollte ich korrigieren.
> hat denn keiner mal
> einen Lösungsweg oder Hinweis???
Hier und in dem anderen Thread steht ja recht viel - ich habe keine Lust, diese Aufgabe in allen Details vorzukauen; es sind Übungsaufgabebn zum Selber Üben.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 So 30.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ttgirltt hat die gleiche Frage gestellt gehabt und von Angela auch schon eine andere Möglichkeit zur Lösung bekommen.
Wen es interessiert : https://matheraum.de/read?t=101903
viele Grüße
DaMenge
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