matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperVerknüpfungstafel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Verknüpfungstafel
Verknüpfungstafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verknüpfungstafel: Vervollständigung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Do 24.01.2008
Autor: newid

Aufgabe
Es sei G := {a0; a1; a2; a3; a4; a5} eine Gruppe mit 6 Elementen. In der folgenden Verknüpfungstafel sind einige Produkte bereits angegeben:

*  | a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0| a0 ¤    ¤   ¤   ¤   ¤
a1| ¤ a0   a4  ¤   ¤   ¤
a2| ¤  ¤     ¤   ¤   ¤   ¤
a3| ¤  ¤     ¤   ¤   ¤   ¤
a4| ¤ a3    ¤   ¤   ¤  a0
a5| ¤  ¤     ¤   ¤   ¤   ¤
Vervollständigen Sie diese Verknüpfungstafel, d.h. ersetzen Sie die mit  ¤  gekennzeichneten Produkte durch Elemente, so dass eine vollstÄandige Gruppentafel entsteht. Begründen Sie
die Herleitung.

Ich bleibe bei der Auflösung hängen.
a0 ist das neutrale Element,
a1 isti zu sich selbst inverses Element
a4 ist invers zu a5
ich bekomme nun  so etwas:

*   |a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a4  ¤   ¤   ¤   ¤
a2|a2  ¤   ¤   ¤   ¤   ¤
a4|a4 a3  ¤   ¤   ¤  a0
a5|a5  ¤   ¤   ¤   ¤   ¤  

was symetrisch aussieht. Also nehme ich mal an die gruppe ist abelsch, bzw. das Komutativgesetz gilt. Das führt mich hier hin:

*   |a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a0 a4  ¤  a3  ¤
a2|a2 a4   ¤   ¤   ¤   ¤
a3|a3  ¤   ¤   ¤   ¤   ¤
a4|a4 a3  ¤   ¤   ¤  a0
a5|a5  ¤   ¤   ¤  a0  ¤

nun kann a1*a5 nicht a5 sein, denn dann wäre a1 neutral, und ein neutrales element habe ich ja schon mit a0. Es folgt also

*   |a0 a1 a2 a3 a4 a5
----------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a0 a4 a5 a3 a2
a2|a2 a4    ¤  ¤   ¤   ¤
a3|a3 a5    ¤  ¤   ¤   ¤
a4|a4 a3   ¤  ¤   ¤  a0
a5|a5 a2    ¤  ¤  a0  ¤

Und hier verlassen sie mich. Für den Rest der Verknüpfungstabelle gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten und ich weiß nicht ob das so richtig ist. Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich da grundsätzlich was falsch mache und würde mich freuen, wenn da nochmal jemand von euch drüber sehen mag..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Verknüpfungstafel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Fr 25.01.2008
Autor: unknown

Willkommen im Forum,


also, Deine Einschaetzung, dass [mm] $a_0$ [/mm] das neutrale Element ist, ist schon mal richtig. Insgesamt wuerde ich sagen, die erste Tabelle stimmt so. Aber wenn ich mich nicht verrechnet habe ist die Gruppe nicht kommutativ. Versuch's mal so zu sehen

    [mm] $a_2 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] * [mm] a_2 [/mm] = [mm] (a_1 a_1) [/mm] * [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] (a_1 a_2) [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] a_4$, [/mm]

aber [mm] $a_4 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_3$ [/mm] nach Vorgabe!

Diese Rechnung gibt Dir auch eine Idee, wie man weiter vorgehen kann. Und nicht vergessen: Jedes Element kommt pro Spalte und Zeile nur einmal vor (wie beim Sudoku :-)).


Hoffe, das hilft.

Bezug
                
Bezug
Verknüpfungstafel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Sa 26.01.2008
Autor: newid

Danke das hilft mir schon ein ganzes Stück weiter.
hab jetzt so was:

*  |a0 a1 a2 a3 a4 a5
--------------------------
a0|a0 a1 a2 a3 a4 a5
a1|a1 a0 a4 a5 a2 a3
a2|a2 a5 a0
a3|a3           a0    
a4|a4 a3                a0
a5|a5                 a0    

und gerade hänge ich wieder, ist jetzt aber wohl mehr eine Fleissaufgabe..


Bezug
                        
Bezug
Verknüpfungstafel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 So 27.01.2008
Autor: unknown

Moin,


das sieht doch schon mal ganz gut aus. So etwas in der Art habe ich auch. Um weiterzukommen kannst Du den gleichen "Trick" anwenden, den ich oben benutzt habe um [mm] $a_1 [/mm] * [mm] a_4$ [/mm] zu berechnen. Sagen wir mal, wir wollen z. B. [mm] $a_5 [/mm] * [mm] a_1$ [/mm] wissen. Zunächst kann das ja nur noch [mm] $a_2$ [/mm] oder [mm] $a_4$ [/mm] sein, weil alles andere in der Spalte (und in der Zeile) schon vorkommt. Aber das hilft uns noch nicht. Also gucken wir, ob wir [mm] $a_1$ [/mm] oder [mm] $a_5$ [/mm] auch anders darstellen können, und sehen, dass [mm] $a_5 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] * [mm] a_1$ [/mm] gilt. Damit können wir dann rechnen:

    [mm] $a_5 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] = [mm] (a_2 [/mm] * [mm] a_1) [/mm] * [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] * [mm] (a_1 [/mm] * [mm] a_1) [/mm] = [mm] a_2 [/mm] * [mm] a_0 [/mm] = [mm] a_2$. [/mm]

(Und damit wissen wir auch [mm] $a_3 [/mm] * [mm] a_1$). [/mm]

Und genauso geht es immer weiter...


Hoffe, Du kommst jetzt voran.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]