Vermeidung von Auslöschung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo liebe Leute!
Für folgende Aufgabe fehlt mir mehr oder weniger der Ansatz:
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke so um, dass für die angegeben Argumente Auslöschung vermieden wird:
a) [mm] \wurzel[3]{1+x}-1 [/mm] für [mm] x\approx [/mm] 0
b) [mm] $\sin [/mm] x - [mm] \cos [/mm] y$ für [mm] x\approx [/mm] y
c) [mm] \bruch{1-\cos x}{\sin{x}} [/mm] für [mm] x\approx [/mm] 0
d) [mm] \bruch{1}{x-\wurzel{x^2-1}} [/mm] für x>>1
Das Einzige, was mir zu a) einfiel ist die binomische Reihe, mit der ich die Wurzel umschreiben könnte. Aber das hat mich auch nicht wirklich weitergebracht.
Beim zweiten fiel mir nur ein, dass gilt: [mm] $\sin^2 x+\cos^2 [/mm] x = 1$, aber das hilft wahrscheinlich noch weniger. Ansonsten könnte ich [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] noch durch ihre Reihenentwicklung darstellen, aber ich weiß auch nicht, wie mir das helfen könnte.
Und bei den letzten beiden habe ich gar keine Idee, wie ich das machen könnte.
Was genau ist denn eigentlich Ziel? Reicht es bei den ersten beiden theoretisch, wenn ich es so umschreibe, dass kein Minus mehr vorkommt oder kann es dann trotzdem noch sein, dass Auslöschung auftritt? Und wie stelle ich mir das direkte Ziel bei den letzten beiden vor? (Also im Prinzip ist schon klar, was Auslöschung bedeutet, aber ich weiß trotzdem nicht so ganz, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
versuchs mal mit (Taylor-) Reihenentwicllung der Terme um die kritischen Punkte (hier 0), z.B.
[mm] (1+x)^{1/3} [/mm] = 1 + 1/3 x + .... (für x [mm] \approx [/mm] 0 reicht das evtl. schon)
Dann bleibt nach der Subtraktion noch ein anschätzbarer "Rest".
Gruß, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Richard!
> versuchs mal mit (Taylor-) Reihenentwicllung der Terme um
> die kritischen Punkte (hier 0), z.B.
> [mm](1+x)^{1/3}[/mm] = 1 + 1/3 x + .... (für x [mm]\approx[/mm] 0
> reicht das evtl. schon)
> Dann bleibt nach der Subtraktion noch ein anschätzbarer
> "Rest".
Danke für den Tipp. Aber was genau meinst du jetzt mit: "evtl. reicht das schon"? Soll ich nur den Teil [mm] 1+\bruch{1}{3}x [/mm] hinschreiben oder noch mehr oder wie?
Und bitte stelle die Frage doch nur auf halb beantwortet, wenn du nur zu einer von mehreren Aufgaben etwas schreibst.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Christiane,
wie mach ich das, auf "Halbbeantwortet" stellen?
a) [mm] (1+x)^{1/3} [/mm] - 1 = 1/3x + R(x)x² wobei die Restfunktion R(x) beschränkt ist auf einem geeigneten Intervall um den Enntwicklungspunkt 0.
R(x) x² kannst Du aber weglassen, dann hast Du eine sog. 1.Näherung
[mm] (1+x)^{1/3} [/mm] - 1 [mm] \approx [/mm] 1/3x
die nicht 0 ist für kleine x (sich nicht annulliert).
Mehr kann ich der Aufgabenstellung nicht entnehmen:
"Annullieren" ist kein allgemeingültiger Jargon. Und durch (Äquivalenz-) Umformungen werden die kritischen Stellen ja auch nicht einsetzbar.
Also geht es vermutlich(!) um ein Näherungsverhalten.
Mit meinem 1. Posting wollte ich mal anfragen, ob das überhaupt die richtige Richtung ist, und die andern Aufgaben gehen übrigens genauso:
> b) [mm]\sin x - \cos y[/mm] für [mm]x\approx[/mm] y
Find ich etwas merkwürdig, da sin(x) - cos(y) [mm] \approx [/mm] sin(x) - cos(x) für x [mm] \approx [/mm] y ist. Außerdem annulliert sich's nicht, es sei denn x = [mm] \pi/4.
[/mm]
Dann verwende für sin(x) - cos(x) die Additionstheoreme und entwickle um den kritischen Punkt [mm] \pi/4
[/mm]
> c) [mm]\bruch{1-\cos x}{\sin{x}}[/mm] für [mm]x\approx[/mm] 0
Hier kannst Du sin(x) = x - 1/3! x³ + ... und cos(x) = 1 - 1/2 x² + 1/4! [mm] x^{4} [/mm] + ... verwenden und abschätzen x > sin(x) > x - 1/3! x³
>
> d) [mm]\bruch{1}{x-\wurzel{x^2-1}}[/mm] für x>>1
x im Nenner ausklammern und in den Zähler wälzen, dann eine neue Variable z := 1/x² einführen und [mm] \wurzel{1-z} [/mm] annähern.
Gruß, Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Bastiane,
ich habe zwar keine Ahnung von Numerik, versuche mich jetzt aber trotzdem mal an einer exakten Lösung von Teil a:
[mm] $\wurzel[3]{1+x}-1 [/mm] = [mm] \frac{(\wurzel[3]{1+x})^3-1}{(\wurzel[3]{1+x})^2+\wurzel[3]{1+x}+1} =\frac{x}{(\wurzel[3]{1+x})^2+\wurzel[3]{1+x}+1}$.
[/mm]
Vielleicht liefert Dir das ja auch eine Idee, wie Du die anderen Teilaufgaben lösen kannst.
Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Matheforum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Beiden!
> [mm]\wurzel[3]{1+x}-1 = \frac{(\wurzel[3]{1+x})^3-1}{(\wurzel[3]{1+x})^2+\wurzel[3]{1+x}+1} =\frac{x}{(\wurzel[3]{1+x})^2+\wurzel[3]{1+x}+1}[/mm].
Das gefällt mir zwar besser als der andere Lösungsvorschlag, aber irgendwie blicke ich hier noch nicht so ganz durch, was du gemacht hast. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Könntest du das vielleicht noch kurz erläutern? (Wahrscheinlich ist es nur Bruchrechnen, aber bisher hab ich's nicht so ganz durchschaut...)
> Vielleicht liefert Dir das ja auch eine Idee, wie Du die
> anderen Teilaufgaben lösen kannst.
Meinst du denn, das ginge bei den anderen auch so? Jedenfalls gefällt mir das wie gesagt besser, aber ich wüsste trotzdem nicht, wie ich das bei den anderen machen soll, weil ich immer noch nicht so ganz weiß, was genau der "Sinn" der Sache ist.
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Auf halbbeantwortet setzt man eine Frage, indem man vor dem Abschicken unten auf den kleinen Button "Diese Frage ist erst halbbeantwortet" oder so ähnlich klickt.
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Hallo Bastiane,
Sinn des ganzen ist es zu erweitern um die Wurzel wegzubekommen. Dann kann man den Zähler vereinfachen.
Ergebnis soll also sein
[mm](\wurzel[3]{1+x}-1)*a=((1+x)-1)[/mm]
a=....
Das ist aber nur bei der a) so kompliziert bei den c,d hilft schon die 3. bin. Formel [mm] (a-b)(a+b)=a^2-b^2
[/mm]
b) ist mir auch unklar kann es sein das sin(x)-sin(y) oder cos(x)-cos(y) gemeint ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Bastiane!
> irgendwie blicke ich hier noch nicht so ganz durch, was du gemacht hast. Könntest du das vielleicht noch kurz erläutern?
Im Prinzip hat mathemaduenn Deine Frage ja schon beantwortet. Trotzdem hier auch eine Antwort in meinen eigenen Worten: 
Ich habe einfach [mm] $w^3-1=(w-1)*(w^2+w+1)$ [/mm] ausgenutzt, wobei w für den Wurzelterm steht.
Ziel war hierbei allerdings nicht (wie mathemaduenn meinte), die Wurzel wegzubekommen, sondern, problematische Minuszeichen zu eliminieren. Das ist ja der wesentliche Punkt bei der Bekämpfung der Auslöschung! (Unter der Voraussetzung, daß die betrachteten Einzelterme selbst alle postiv sind, versteht sich.)
> Meinst du denn, das ginge bei den anderen auch so?
Bei c) und d) hilft entsprechend [mm] $w^2=(w-1)*(w+1)$, [/mm] wobei man in c) zum "Herbeischaffen" eines Wurzelterms ja Deine ursprüngliche Idee verwenden kann. Zu d) ist noch zu erwähnen, daß das Minuszeichen innerhalb der Wurzel wegen x>>1 "harmlos" ist.
Bei b) reihe ich mich in die Schlange der Ratlosen ein. Überprüfe doch bitte nochmal die Aufgabenstellung.
Grüße,
Galois
Bonner Matheforum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Di 15.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Antwortgeber!
Habe gerade mal eure Antworten kurz überflogen und festgestellt, dass ich doch tatsächlich nicht gemerkt habe, dass ich wirklich was total Falsches bei der b) geschrieben habe. Es soll eigentlich heißen:
[mm] \sin{x}-\sin{y} [/mm] für [mm] x\approx{y}
[/mm]
Viele Grüße und schon mal danke für die Antworten - muss sie mir aber nochmal in Ruhe durchlesen
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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Hallo Galois,
Gleich vorab ich weiß hier auch keine Lsg. aber die Verschiebung von [mm]\sin{x} -\sin{y}[/mm] nach x-y macht imho keinen Sinn - Auslöschung bleibt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Do 17.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo mathemaduenn!
Also, ich bewege mich hier ja auf etwas dünnem Eis, aber ich vermute, die zusätzliche Voraussetzung [mm] "$x\approx [/mm] y$" ist so zu verstehen, daß [mm] $\frac{x-y}x$ [/mm] als betragsmäßig klein angenommen werden soll, wodurch bei der angegebenen Lösung tatsächlich keine Auslöschung mehr stattfinden würde.
Vielleicht kann Bastiane ja Genaueres in Erfahrung bringen.
Grüße,
Galois
Bonner Matheforum
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Hallo Galois,
Ich hab nochmal mit dem relativen Fehler der Subtraktion rumgerechnet. Wenn man mit sinx-siny rechnet bekommt man ja die Vorfaktoren [mm] \bruch{\sin{x}}{\sin{x}-\sin{y}} [/mm] und [mm] \bruch{\sin{y}}{\sin{x}-\sin{y}} [/mm] Damit kann man ja ein wenig rumrechnen.
[mm] \bruch{\sin{x}}{\sin{x}-\sin{y}}=\bruch{\sin{x}}{\cos{\xi}(x-y)}=\bruch{\sin{x}}{(\cos{\xi})*x}*\bruch{x}{x-y}
[/mm]
Die Berechnung von sinx-siny ist also für [mm]\cos{\xi}\approx 0[/mm] deutlich schlechter als die von x-y. Also wird hauptsächlich dann Auslöschung vermieden wenn zw. x und y eine Extremstelle des sin liegt. So soll die Aufgabe wohl zu verstehen sein. Dann ist auch die Lsg. richtig.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo mathemaduenn,
[Zu den Vorfaktoren:]
> Hier hätte ich mal dazu sagen sollen: "Die Berechnung des
> sin sei fehlerlos." oder "Ich will mich auf den Vergleich
> der, für den Fehler entscheidenden, Subtraktionen
> beschränken."
Dann dürfte Dein Vorfaktor [mm]\bruch{\sin{x}}{\sin{x}-\sin{y}}[/mm] aber doch betragsmäßig höchstens so groß wie meiner (also [mm] $\frac{x*\cos x}{\sin x-\sin y}$) [/mm] werden. Hmm, äußerst mysteriös ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") - sollte ich mal eine Klausuraufgabe draus machen... :)
> > [mm]V=\frac{\cos x}{\sin x-\sin y}*x= \frac{\cos x}{\cos \xi}*\frac{x}{x-y}[/mm]
> > für ein geeignetes [mm]\xi[/mm] zwischen x und y.
> > Falls nun [mm]\cos y\neq 0[/mm], so ist für [mm]x\approx y[/mm] dieser
> > Faktor harmlos. Aber selbst für [mm]\cos y= 0[/mm] sollte er nur
> > ungefähr den Wert 2 annehmen.
>
> Das verstehe ich nicht.
> Für [mm]\cos \xi=0[/mm] bekommt man auf jeden Fall ein Problem weil
> dann ja sinx-siny=0 der "Idealfall" für Auslöschung. Für
> diesen Fall wäre aber [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi -a[/mm]
> [mm]y=\bruch{\pi}{2}+k\pi +a[/mm] und damit auch [mm]\cos \left(\bruch{x+y}{2}\right)=0[/mm]
> weshalb die Umformung halt auch ihren Sinn hat aber eben
> nur für diesen Fall. Und natürlich eine Umgebung davon.
> Denk ich jedenfalls 
Ach so, ich hatte bei meiner Betrachtung vorausgesetzt, daß y konstant ist und wir nur an x wackeln. Dann ist nämlich für [mm] $\cos y\neq0$ [/mm] und x hinreichend nahe an y auch [mm] $\cos\xi\neq$. [/mm] Und für [mm] $\cos [/mm] y=0$ würde [mm] $\xi$ [/mm] im Limes genau in der Mitte zwischen x und y liegen.
Die Frage ist offenbar, wie man sich bei Betrachtung der Funktion [mm] $\frac{\cos x}{\cos \xi} =\frac{\cos x}{\sin x-\sin y}*(x-y)$ [/mm] den (ernsthaften) Definitionslücken an den Stellen [mm] $(x,y)=(\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi)$ [/mm] in der x-y-Ebene nähert.
Grüße,
Galois
Bonner Matheforum
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Hallo Galois,
Dan hab ich das auch kapiert
Bleibt also wenn zwischen x und y keine Extremstelle des sin liegt dann bringt die Umstellung keine Verbesserung.
viele Grüße
mathemaduenn
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
