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Forum "Algebraische Geometrie" - Veronese Einbettung
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Veronese Einbettung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mi 16.12.2009
Autor: sTuDi_iDuTs

Aufgabe
Sei q [mm] $\in \IC [X_0, X_1, X_2]$ [/mm] eine beliebige quadratische Form vom Rang 3.
Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge [mm] $\{q=0\} \subset \IP [/mm] ^2$ zu [mm] $\IP [/mm] ^1$ isomorph ist.

Hallo zusammen,
ich habe den Tipp bekommen, dass ich die lineare Transformation von [mm] $\IP [/mm] ^2$ verwenden soll... leider versteh ich nicht ganz wie das geht, ich weiß nur, dass man das dann auf den Spezialfall [mm] q=X_0^2-X_1X_2 [/mm] zurückführen kann.
Kann mir jemand erklären warum?
In der Vorlesung haben wir gemacht:
Wenn [mm] $\nu [/mm] _d$ die Veronese-Einbettung ist, dann gilt: [mm] $\nu [/mm] _d [mm] (\IP [/mm] ^n) [mm] \subseteq \IP [/mm] ^N $ ist projektive Varietät, die zu [mm] $\IP [/mm] ^n$ isomorph ist.
Das wäre in diesem Fall dann n=2, d=2 und N= [mm] $\vektor{n+d \\ n}$ [/mm] = 5, oder?
Das würde aber heißen, dass [mm] $\nu [/mm] _2 [mm] (\IP [/mm] ^2) [mm] \subseteq \IP [/mm] ^5 [mm] \cong \IP^2$... [/mm]
Aber ich soll zeigen, dass es isomorph zu [mm] $\IP^1$ [/mm] ist...!!!
Wo liegt mein Fehler?
Bin echt am verzweifeln....



        
Bezug
Veronese Einbettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mi 16.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei q [mm]\in \IC [X_0, X_1, X_2][/mm] eine beliebige quadratische
> Form vom Rang 3.
>  Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge [mm]\{q=0\} \subset \IP ^2[/mm]
> zu [mm]\IP ^1[/mm] isomorph ist.
>
>  ich habe den Tipp bekommen, dass ich die lineare
> Transformation von [mm]\IP ^2[/mm] verwenden soll... leider versteh
> ich nicht ganz wie das geht, ich weiß nur, dass man das
> dann auf den Spezialfall [mm]q=X_0^2-X_1X_2[/mm] zurückführen
> kann.
>  Kann mir jemand erklären warum?
>  In der Vorlesung haben wir gemacht:
>  Wenn [mm]\nu _d[/mm] die Veronese-Einbettung ist, dann gilt: [mm]\nu _d (\IP ^n) \subseteq \IP ^N[/mm]
> ist projektive Varietät, die zu [mm]\IP ^n[/mm] isomorph ist.
>  Das wäre in diesem Fall dann n=2, d=2 und N= [mm]\vektor{n+d \\ n}[/mm]
> = 5, oder?
>  Das würde aber heißen, dass [mm]\nu _2 (\IP ^2) \subseteq \IP ^5 \cong \IP^2[/mm]...
>  
> Aber ich soll zeigen, dass es isomorph zu [mm]\IP^1[/mm] ist...!!!
>  Wo liegt mein Fehler?

Du gehst voellig falsch an die Aufgabe heran. Lies dir nochmal die Aufgabenstellung durch.

Da steht: zeige, dass A isomorph zu B ist.

Was du tust, ist ein C zu konstruieren was isomorph zu B ist.

Das sollst du aber gar nicht.


Was weisst du ueber Normalformen von quadratischen Formen? Kannst du damit etwas tun, etwa einen Automorphismus von [mm] $\IP^2$ [/mm] bequemen der [mm] $\{ q = 0 \}$ [/mm] in etwas einfacheres ueberfuehrt?
(Weisst du wie die Automorphismen von [mm] $\IP^2$ [/mm] aussehen?)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Veronese Einbettung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:42 Mi 16.12.2009
Autor: sTuDi_iDuTs

Die Normalform der quadratischen Form ist [mm] x^2 [/mm] -px +q ...
aber wie die Automorphismen aussehen weiß ich nicht...


Bezug
                        
Bezug
Veronese Einbettung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 18.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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