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| Aufgabe | Erste Aufgabe:
1a )Wie viele Mögl. gibt es , 20 Studenten 5 Betreuern zuzuordnen. Es ist den Betreuern egal , ob und wen sie betreuen.
1b) Bestimme d. Anzahl [mm] P_{10,3} [/mm] der ungeordneten Zahlenpartition der Zahl 10 in 3 positive ganzzahlige Smmanden mit Rekursionformel
1c) Wie viele nichtnegative ganzzahlige Lösungen hat die Gl. [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 17 , [mm] x_1 [/mm] < 6 und [mm] x_3 [/mm] > 5 |
Hallo und ein frohes neues Jahr,
bei 1a) habe ich mir die Tabelle "die 12 Arten des Abzählens" angeguckt und ich denke , dass es eine injektive Abbildung ist (Student -> Betreuer )
Laut Tabelle ist dann die Formel [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
Also [mm] \vektor{20 \\ 5}
[/mm]
Zu 1b) Hier habe ich folgende Rekursionsformel
[mm] P_{n,k} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k} P_{n-k,j}
[/mm]
Also:
[mm] P_{10,3} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{3} P_{7,1}
[/mm]
Und dann wieder
[mm] P_{7,1} [/mm] = [mm] \summe_{j=2}^{1} P_{6,2} [/mm] Ist das so richtig ? Dieses [mm] \summe_{j=2}^{1} [/mm] macht mich stutzig. Wann stoppe ich die Rekursion ? Was ist der Anker?
1c)
Hier würde ich diesen Satz benutzen:
Es seien n,r [mm] \in \IN [/mm] und A eine endliche Menge mit |A| = n
Die Anzahl der r-Auswahlen von A ist
[mm] \vektor{n+r-1 \\ r} [/mm] = [mm] \vektor{n+r-1 \\ n-1}
[/mm]
Nun ja , da könnte ich es jetzt einsetzen , aber die Bedingungen für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] verwirren mich.
Ich bitte um Korrektur und Tips bei den Aufgaben.
Vielen Dank im Voraus
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> Erste Aufgabe:
> 1a )Wie viele Mögl. gibt es , 20 Studenten 5 Betreuern
> zuzuordnen. Es ist den Betreuern egal , ob und wen sie
> betreuen.
>
> 1b) Bestimme d. Anzahl [mm]P_{10,3}[/mm] der ungeordneten
> Zahlenpartition der Zahl 10 in 3 positive ganzzahlige
> Smmanden mit Rekursionformel
>
> 1c) Wie viele nichtnegative ganzzahlige Lösungen hat die
> Gl. [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 17 , [mm]x_1[/mm] < 6 und [mm]x_3[/mm] > 5
> Hallo und ein frohes neues Jahr,
>
> bei 1a) habe ich mir die Tabelle "die 12 Arten des
> Abzählens" angeguckt und ich denke , dass es eine
> injektive Abbildung ist (Student -> Betreuer )
> Laut Tabelle ist dann die Formel [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
> Also
> [mm]\vektor{20 \\ 5}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, die Abbildung ist nicht injektiv. Das würde bedeuten, dass zwei Studenten, die auf den selben Tutor abgebildet werden, identisch sein müssten. Bei einer injektiven Abbildung muss die Werte- oder Zielmenge immer mindestens so groß sein wie die Ausgangs- oder Definitionsmenge. Bei injektiv dürfte jeder Tutor höchstens einen Studenten zur Betreuung bekommen, es müssten mindestens 20 Tutoren vorhanden sein. Dein Ergebnis ist nicht richtig.
> Zu 1b) Hier habe ich folgende Rekursionsformel
> [mm]P_{n,k}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{k} P_{n-k,j}[/mm]
> Also:
> [mm]P_{10,3}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{3} P_{7,1}[/mm]
> Und dann wieder
> [mm]P_{7,1}[/mm] = [mm]\summe_{j=2}^{1} P_{6,2}[/mm] Ist das so richtig ?
> Dieses [mm]\summe_{j=2}^{1}[/mm] macht mich stutzig. Wann stoppe ich
> die Rekursion ? Was ist der Anker?
>
Du musst dir überlegen, ob du die Rekursion für [mm] P_{n,k} [/mm] über n oder k laufen lassen willst.
Dazu kannst du beispielsweise anfangen mit [mm] P_{3,3} [/mm] = 1 (geht mur mit 1+1+1, da alle Summanden aus [mm] \IN [/mm] sein sollen). Jetzt überlegst du, wie du daraus auf [mm] P_{4,3} [/mm] kommst: 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, also [mm] P_{4,3} [/mm] = 3. Nun daraus auf [mm] P_{5,3} [/mm] = ? (wird zunehmend schwerer).
Oder du gehst von [mm] P_{10,1} [/mm] = 1 über [mm] P_{10,2} [/mm] auf [mm] P_{10,3} [/mm] über.
Zur Kontrolle: Das Ergebnis ist [mm] P_{10,3} [/mm] = 36,
allgemein [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> 1c)
> Hier würde ich diesen Satz benutzen:
> Es seien n,r [mm]\in \IN[/mm] und A eine endliche Menge mit |A| =
> n
> Die Anzahl der r-Auswahlen von A ist
> [mm]\vektor{n+r-1 \\ r}[/mm] = [mm]\vektor{n+r-1 \\ n-1}[/mm]
> Nun ja , da
> könnte ich es jetzt einsetzen , aber die Bedingungen für
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_3[/mm] verwirren mich.
>
Die Bedingung [mm] x_3 [/mm] > 5 löst du so auf: Du setzt [mm] x_3 [/mm] von vornherein auf den 'Wert 6, indem du von den 17 schon 6 an [mm] x_3 [/mm] vergibst. Dann schaust du, wieviele Mgl. es jetzt noch gibt, die restlichen 11 auf [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] zu verteilen.
Danach wendest du den selben Trick nochmals an: Du vegibst wieder 6 an [mm] x_3 [/mm] und zusätzlich 6 an [mm] x_1, [/mm] was eigentlich verboten ist. Für die restlichen 5 rechnest du alle Mgl. aus. Das sind dann die, bei denen [mm] x_3 [/mm] wie zuvor mehr als 5, [mm] x_1 [/mm] aber auch mindestens 6 hat, die also bei der ersten Überlegung zu viel berücksichtigt wurden. Dies ziehst du vom ersten Ergebnis ab.
> Ich bitte um Korrektur und Tips bei den Aufgaben.
>
> Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
danke für die Antworten.
Surjektiv geht ja dann auch nicht , oder ? Weil den Betreuern ist es egal, ob sie betreuen. Aber bei einer surjektiven Abbildung muss die Zielmenge mindestens einmal getroffen werden. Also ist es eine beliebige Abbildung , sodass ich [mm] 20^{5} [/mm] benutzen kann ?
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Hallo pc-doctor,
> Surjektiv geht ja dann auch nicht , oder ? Weil den
> Betreuern ist es egal, ob sie betreuen. Aber bei einer
> surjektiven Abbildung muss die Zielmenge mindestens einmal
> getroffen werden. Also ist es eine beliebige Abbildung ,
> sodass ich [mm]20^{5}[/mm] benutzen kann ?
edit:
Umgekehrt: [mm] \blue{5^{20}}. [/mm] Für jeden Studi gibt es 5 Möglichkeiten, nicht etwa für jeden Betreuer 20.
Sax hat Recht!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:24 Mi 01.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
sollte aber [mm] 5^{20} [/mm] sein.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Mi 01.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank für die Antworten !
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Hallo,
> > 1b) Bestimme d. Anzahl [mm]P_{10,3}[/mm] der ungeordneten
> > Zahlenpartition der Zahl 10 in 3 positive ganzzahlige
> > Smmanden mit Rekursionformel
> Du musst dir überlegen, ob du die Rekursion für [mm]P_{n,k}[/mm]
> über n oder k laufen lassen willst.
Also ich habe jetzt eine Formel, die sich bisschen von der vorherigen unterscheidet.
Und zwar gucke ich in der Tabelle des Abzählens nach "ungeordnete Zahlenpartition" und als Rekursionsformel steht da:
[mm] P_{n+k,k} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k} P_{n,j}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht so recht , was du mit "über n oder k" meinst.
Ich benutze jetzt einfach stur die Formel.
Ich habe [mm] P_{10,3}
[/mm]
Anwendung der Formel
[mm] P_{13,3} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{3} P_{10,1}
[/mm]
So müsste es richtig eingesetzt sein , und jetzt habe ich als Rekursion wieder [mm] P_{10,1}
[/mm]
Wieder Formel benutzt:
[mm] P_{11,1} [/mm] = [mm] \summe_{j=2}^{1} P_{10,2}
[/mm]
Das j muss doch immer hochgezählt werden , oder nicht ? Hier stehe ich auf dem Schlauch und komme nicht weiter...
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> Hallo,
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> > > 1b) Bestimme d. Anzahl [mm]P_{10,3}[/mm] der ungeordneten
> > > Zahlenpartition der Zahl 10 in 3 positive ganzzahlige
> > > Smmanden mit Rekursionformel
>
> > Du musst dir überlegen, ob du die Rekursion für [mm]P_{n,k}[/mm]
> > über n oder k laufen lassen willst.
>
> Also ich habe jetzt eine Formel, die sich bisschen von der
> vorherigen unterscheidet.
>
> Und zwar gucke ich in der Tabelle des Abzählens nach
> "ungeordnete Zahlenpartition" und als Rekursionsformel
> steht da:
> [mm]P_{n+k,k}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{k} P_{n,j}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht so recht , was du mit "über n oder
> k" meinst.
> Ich benutze jetzt einfach stur die Formel.
>
> Ich habe [mm]P_{10,3}[/mm]
> Anwendung der Formel
> [mm]P_{13,3}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{3} P_{10,1}[/mm]
>
> So müsste es richtig eingesetzt sein , und jetzt habe ich
> als Rekursion wieder [mm]P_{10,1}[/mm]
> Wieder Formel benutzt:
> [mm]P_{11,1}[/mm] = [mm]\summe_{j=2}^{1} P_{10,2}[/mm]
> Das j muss doch
> immer hochgezählt werden , oder nicht ? Hier stehe ich auf
> dem Schlauch und komme nicht weiter...
>
Ja, das j muss hochgezählt werden. Aber du darfst nicht auf n=13 zugreifen, sondern auf kleinere Indizes, die du zum Schluss leichter berechnen kannst:
[mm] P_{10,3} [/mm] = [mm] P_{7+3,3} [/mm] = [mm] P_{7,1} [/mm] + [mm] P_{7,2} [/mm] + [mm] P_{7,3}
[/mm]
= 1 + [mm] P_{5+2,2}+ P_{4+3,3}
[/mm]
= 1 + [mm] P_{5,1} [/mm] + [mm] P_{5,2} [/mm] + [mm] P_{4,1} [/mm] + [mm] P_{4,2} [/mm] + [mm] P_{4,3} [/mm] usw.
Ich glaube aber nicht, dass die Formel stimmt, oder ich missverstehe die Aufgabe.
Beispiel: [mm] P_{5,2} [/mm] erhält man aus 1+4, 2+3, 3+2 und 4+1, also ist [mm] P_{5,2}= [/mm] 4.
Aber: [mm] P_{5,2}=P_{3+2,2}=P_{3,1}+P_{3,2} [/mm] = 1 + 2 = 3, denn
[mm] P_{3,1} [/mm] ergibt sich aus 3 (nur 1 Summand) und [mm] P_{3,2} [/mm] aus 1+2 und 2+1, also 2 Summanden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Mi 01.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
es kann sein , dass die Formel zu dieser Aufgabe nicht passt, da es zwei Formeln gibt. Ich suche rasch die andere Formel und poste sie dann , sodass wir gucken können , ob die zweite Formel die richtige ist.
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Hallo nochmal,
ich habe jetzt diese Formel
[mm] P_{n,k} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k} P_{n-k,j}
[/mm]
Kann man das mit dieser Formel berechnen ? Passt das dann zusammen?
Ich nehme mir mal dein Beispiel:
[mm] P_{5,2} [/mm] muss 4 sein
Formel:
[mm] P_{5,2} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{2} P_{3,1}
[/mm]
Ist das der richtige Weg ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> ich habe jetzt diese Formel
>
> [mm]P_{n,k}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{k} P_{n-k,j}[/mm]
>
> Kann man das mit dieser Formel berechnen ? Passt das dann
> zusammen?
>
> Ich nehme mir mal dein Beispiel:
>
> [mm]P_{5,2}[/mm] muss 4 sein
>
> Formel:
> [mm]P_{5,2}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{2} P_{3,1}[/mm]
Du meinst:
[mm] P_{5,2}=\summe_{j=1}^{2} P_{3,j}=P_{3,1}+P_{3,2}=3 [/mm]
>
> Ist das der richtige Weg ?
Nein, weil deine Rekursionsformel nicht stimmt, denn
[mm] P_{5,2}=3\not=4.
[/mm]
Es gilt:
[mm] P_{n+k,k}=\summe_{j=1}^{n} P_{n,j}
[/mm]
und damit:
[mm] P_{3+2,2}=\summe_{j=1}^{3} P_{3,j}=P_{3,1}+P_{3,2}+P_{3,3}=1+2+1=4.
[/mm]
Jetzt du!
DieAcht
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>
> Es gilt:
>
> [mm]P_{n+k,k}=\summe_{j=1}^{n} P_{n,j}[/mm]
>
> und damit:
>
> [mm]P_{3+2,2}=\summe_{j=1}^{3} P_{3,j}=P_{3,1}+P_{3,2}+P_{3,3}=1+2+1=4.[/mm]
>
Hallo, also bei [mm] P_{10,3} [/mm] habe ich dann folgendes:
[mm] P_{n+k,k} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} P_{n,j}
[/mm]
[mm] P_{10+3,3} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{10} P_{10,1} [/mm] = [mm] P_{10,2}+ P_{10,3}+ P_{10,4}+ P_{10,5}+ P_{10,6}+ P_{10,7}+ P_{10,8}+ P_{10,9}+ P_{10,10}
[/mm]
Dann hilft mir ja die Rekursionformel ja nicht richtig weiter , ich muss trotzdem seperat ausrechnen , wie viele Möglichkeiten es zum Beispiel für [mm] P_{10,2} [/mm] oder [mm] P_{10,6}
[/mm]
etc gibt , oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]P_{n+k,k}=\summe_{j=1}^{n} P_{n,j}[/mm]
> >
> > und damit:
> >
> > [mm]P_{3+2,2}=\summe_{j=1}^{3} P_{3,j}=P_{3,1}+P_{3,2}+P_{3,3}=1+2+1=4.[/mm]
>
> >
>
> Hallo, also bei [mm]P_{10,3}[/mm] habe ich dann folgendes:
>
> [mm]P_{n+k,k}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n} P_{n,j}[/mm]
>
> [mm]P_{10+3,3}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{10} P_{10,1}[/mm] = [mm]P_{10,2}+ P_{10,3}+ P_{10,4}+ P_{10,5}+ P_{10,6}+ P_{10,7}+ P_{10,8}+ P_{10,9}+ P_{10,10}[/mm]
>
> Dann hilft mir ja die Rekursionformel ja nicht richtig
> weiter , ich muss trotzdem seperat ausrechnen , wie viele
> Möglichkeiten es zum Beispiel für [mm]P_{10,2}[/mm] oder [mm]P_{10,6}[/mm]
> etc gibt , oder ?
Du sollst nicht [mm] P_{13,3} [/mm] ausrechnen, sondern [mm] P_{10,3}!
[/mm]
Es gilt:
[mm] P_{10,3}=P_{7+3,3}=\summe_{j=1}^{7}P_{7,j}=P_{7,1}+P_{7,2}+P_{7,3}+P_{7,4}+P_{7,5}+P_{7,6}+P_{7,7}=\ldots
[/mm]
Jetzt aber du!
DieAcht
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> Du sollst nicht [mm]P_{13,3}[/mm] ausrechnen, sondern [mm]P_{10,3}![/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]P_{10,3}=P_{7+3,3}=\summe_{j=1}^{7}P_{7,j}=P_{7,1}+P_{7,2}+P_{7,3}+P_{7,4}+P_{7,5}+P_{7,6}+P_{7,7}=\ldots[/mm]
>
> Jetzt aber du!
Hallo,
kann ich jetzt so anfangen:
Für [mm] P_{7,1} [/mm] gibt es eine Möglichkeit
Für [mm] P_{7,2} [/mm] gibt es 6 Möglichkeiten ? Weil
5+2 oder 2+5 oder 6+1 oder 1+6 oder 4+3 oder 3+4 Kann ich das immer so weiter machen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > Du sollst nicht [mm]P_{13,3}[/mm] ausrechnen, sondern [mm]P_{10,3}![/mm]
> >
> > Es gilt:
> >
> >
> [mm]P_{10,3}=P_{7+3,3}=\summe_{j=1}^{7}P_{7,j}=P_{7,1}+P_{7,2}+P_{7,3}+P_{7,4}+P_{7,5}+P_{7,6}+P_{7,7}=\ldots[/mm]
> >
> > Jetzt aber du!
>
> Hallo,
> kann ich jetzt so anfangen:
> Für [mm]P_{7,1}[/mm] gibt es eine Möglichkeit
> Für [mm]P_{7,2}[/mm] gibt es 6 Möglichkeiten ? Weil
> 5+2 oder 2+5 oder 6+1 oder 1+6 oder 4+3 oder 3+4 Kann ich
> das immer so weiter machen ?
>
[mm] P_{7,1}, P_{7,2}, P_{7,6}, P_{7,7} [/mm] sind eigentlich klar.
So wie ich die Aufgabe verstanden habe, sollst du die Rekursionformel weiter benutzen, denn nicht umsonst geht es hier um eine Rekursion!
Beispiel:
[mm] P_{7,3}=P_{4+3,3}
[/mm]
Jetzt wieder du!
DieAcht
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> So wie ich die Aufgabe verstanden habe, sollst du die
> Rekursionformel weiter benutzen, denn nicht umsonst geht es
> hier um eine Rekursion!
>
> Beispiel:
>
> [mm]P_{7,3}=P_{4+3,3}[/mm]
>
> Jetzt wieder du!
>
> DieAcht
Hallo,
Okay , ich habs mir erstmal für bestimmte [mm] P_{7,x} [/mm] notiert , für
[mm] P_{7,1} [/mm] gibt es 1 Möglichkeit
für [mm] P_{7,2} [/mm] gibt es 3 Möglichkeiten ( nämlich 3+4 5+2 6+1 , in der Aufgabe stand ungeordnete Zahlenpartition , was heißt das im Klartext ? Also wenn ich schon 3+4 habe , kann ich nicht 4+3 noch als vierte Möglichkeit dazunehmen , oder ? )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Hallo,
> Okay , ich habs mir erstmal für bestimmte [mm]P_{7,x}[/mm] notiert
> , für
> [mm]P_{7,1}[/mm] gibt es 1 Möglichkeit
> für [mm]P_{7,2}[/mm] gibt es 3 Möglichkeiten ( nämlich 3+4 5+2
> 6+1 ,
in der Aufgabe stand ungeordnete Zahlenpartition ,
> was heißt das im Klartext ? Also wenn ich schon 3+4 habe ,
> kann ich nicht 4+3 noch als vierte Möglichkeit dazunehmen
> , oder ? )
>
Das musst du sogar!
Es geht hier nicht darum alle Möglichkeiten aufzuschreiben und zu addieren, sondern durch die Rekursionsformel das ganze zu vereinfachen und dann auszurechnen!
Dabei darfst du nur [mm] P_{i,i}=1 [/mm] mit [mm] i\in\IN [/mm] vorraussetzen.
Jetzt denk bisschen weiter!
DieAcht
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Okay , also
Für [mm] p_{7,1} p_{7,2} [/mm] , [mm] p_{7,6} p_{7,7} [/mm] habe ich schon die Möglichkeiten.
Machen wir das chronologisch , also müssen wir noch [mm] P_{7,3} [/mm] mittels Rekursion lösen , also:
$ [mm] P_{7,3}=P_{4+3,3} [/mm] $ = [mm] \summe_{j=1}^{4} P_{4,j} [/mm] = [mm] P_{4,1} [/mm] + [mm] P_{4,2} [/mm] + [mm] P_{4,3} [/mm] + [mm] P_{4,4}
[/mm]
Alle [mm] P_{4,x} [/mm] sind eigentlich klar , da braucht man eigentlich keine Rekursion, die Möglichkeiten , die für alle [mm] P_{4,x} [/mm] rauskommen "gehören zu " [mm] P_{7,3}.
[/mm]
Und jetzt muss ich das ganze nochmal für [mm] P_{7,4} [/mm] und für [mm] P_{7,5} [/mm] mittels Rekursion machen und dann am Ende alles addieren oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay , also
> Für [mm]p_{7,1} p_{7,2}[/mm] , [mm]p_{7,6} p_{7,7}[/mm] habe ich schon die
> Möglichkeiten.
> Machen wir das chronologisch , also müssen wir noch
> [mm]P_{7,3}[/mm] mittels Rekursion lösen , also:
>
> [mm]P_{7,3}=P_{4+3,3}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{4} P_{4,j}[/mm] = [mm]P_{4,1}[/mm] +
> [mm]P_{4,2}[/mm] + [mm]P_{4,3}[/mm] + [mm]P_{4,4}[/mm]
> Alle [mm]P_{4,x}[/mm] sind eigentlich klar , da braucht man
> eigentlich keine Rekursion, die Möglichkeiten , die für
> alle [mm]P_{4,x}[/mm] rauskommen "gehören zu " [mm]P_{7,3}.[/mm]
>
> Und jetzt muss ich das ganze nochmal für [mm]P_{7,4}[/mm] und für
> [mm]P_{7,5}[/mm] mittels Rekursion machen und dann am Ende alles
> addieren oder ?
Ja, wobei du auch weiter Rekursion betreiben kannst.
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Do 02.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Okay , vielen vielen Dank für die ganzen Antworten und die aufgebrachte Mühe. Bis zur nächsten Aufgabe (Induktion :D )
Schönen Abend noch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay , vielen vielen Dank für die ganzen Antworten und die
> aufgebrachte Mühe. Bis zur nächsten Aufgabe (Induktion :D
> )
>
Dann hoffe ich, dass du die Teilaufgabe c) sofort verstanden hast.
> Schönen Abend noch.
Wünsche ich dir auch!
Gruß
DieAcht
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> 1a )Wie viele Mögl. gibt es , 20 Studenten 5 Betreuern
> zuzuordnen. Es ist den Betreuern egal , ob und wen sie
> betreuen.
Na schön.
Meine Frage:
darf es den Studenten auch egal sein, ob sie überhaupt
betreut werden wollen oder nicht - und wenn ja, eventuell
auch von mehr als nur einem Betreuer ?
Ich denke, dass entsprechende Angaben für eine klare
Aufgabenstellung wichtig wären !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 01.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo, Al-Chw.
ich würde dir diese Fragen gerne beantworten , aber leider gibt mir die Aufgabe auch nicht mehr. Das war die komplette Aufgabenstellung..
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> Hallo, Al-Chw.
> ich würde dir diese Fragen gerne beantworten , aber
> leider gibt mir die Aufgabe auch nicht mehr. Das war die
> komplette Aufgabenstellung..
Naja, dann muss man sie eben selber präzisieren.
"Gemeint" war möglicherweise, dass jeder Student
genau einen Betreuer erhalten soll und diesen
frei auswählen kann, wobei es auch (im Wider-
spruch zu den üblichen Gepflogenheiten an Unis)
möglich wäre, dass alle Studenten denselben
Betreuer haben wollen und auch erhalten ...
Ich würde es aber nicht unterlassen, in der
Lösung der Aufgabe wenigstens in homöopath-
diplomatischer Form darauf hinzuweisen, dass
die Aufgabenstellung nicht ganz klar war. 
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:30 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> 1c) Wie viele nichtnegative ganzzahlige Lösungen hat die Gl. [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 17 , [mm]x_1[/mm] < 6 und [mm]x_3[/mm] > 5
Hier kannst du alle Möglichkeiten stur durchgehen!
Wegen des Kommutativgesetzes der Addition können wir die Aufgabe zwecks Übersicht umschreiben:
Zu lösen ist:
[mm] x_1+x_2+x_3=17
[/mm]
mit
[mm] x_1\in\{0,1,\ldots,5\},
[/mm]
[mm] x_2\in\{6,7,\ldots\},
[/mm]
[mm] x_3\in\IN_0.
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=6, [/mm] also [mm] x_3=11
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=7, [/mm] also [mm] x_3=10
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=8, [/mm] also [mm] x_3=9
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=9, [/mm] also [mm] x_3=8
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=10, [/mm] also [mm] x_3=7
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=11, [/mm] also [mm] x_3=6
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=12, [/mm] also [mm] x_3=5
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=13, [/mm] also [mm] x_3=4
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=14, [/mm] also [mm] x_3=3
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=15, [/mm] also [mm] x_3=2
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=16, [/mm] also [mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_1:=0 [/mm] und [mm] x_2:=17, [/mm] also [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=6, [/mm] also [mm] x_3=10
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=7, [/mm] also [mm] x_3=9
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=8, [/mm] also [mm] x_3=8
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=9, [/mm] also [mm] x_3=7
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=10, [/mm] also [mm] x_3=6
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=11, [/mm] also [mm] x_3=5
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=12, [/mm] also [mm] x_3=4
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=13, [/mm] also [mm] x_3=3
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=14, [/mm] also [mm] x_3=2
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=15, [/mm] also [mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_1:=1 [/mm] und [mm] x_2:=16, [/mm] also [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=6, [/mm] also [mm] x_3=9
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=7, [/mm] also [mm] x_3=8
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=8, [/mm] also [mm] x_3=7
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=9, [/mm] also [mm] x_3=6
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=10, [/mm] also [mm] x_3=5
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=11, [/mm] also [mm] x_3=4
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=12, [/mm] also [mm] x_3=3
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=13, [/mm] also [mm] x_3=2
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=14, [/mm] also [mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_1:=2 [/mm] und [mm] x_2:=15, [/mm] also [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=6, [/mm] also [mm] x_3=8
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=7, [/mm] also [mm] x_3=7
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=8, [/mm] also [mm] x_3=6
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=9, [/mm] also [mm] x_3=5
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=10, [/mm] also [mm] x_3=4
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=11, [/mm] also [mm] x_3=3
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=12, [/mm] also [mm] x_3=2
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=13, [/mm] also [mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_1:=3 [/mm] und [mm] x_2:=14, [/mm] also [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=6, [/mm] also [mm] x_3=7
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=7, [/mm] also [mm] x_3=6
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=8, [/mm] also [mm] x_3=5
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=9, [/mm] also [mm] x_3=4
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=10, [/mm] also [mm] x_3=3
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=11, [/mm] also [mm] x_3=2
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=12, [/mm] also [mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_1:=4 [/mm] und [mm] x_2:=13, [/mm] also [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=6, [/mm] also [mm] x_3=6
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=7, [/mm] also [mm] x_3=5
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=8, [/mm] also [mm] x_3=4
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=9, [/mm] also [mm] x_3=3
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=10, [/mm] also [mm] x_3=2
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=11, [/mm] also [mm] x_3=1
[/mm]
[mm] x_1:=5 [/mm] und [mm] x_2:=12, [/mm] also [mm] x_3=0
[/mm]
[mm] \Longrightarrow12+11+10+9+8+7=57$ [/mm] Möglichkeiten.
Übrigens kann man damit [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] weiter eingrenzen:
[mm] x_1\in\{0,1,\ldots,5\},
[/mm]
[mm] x_2\in\{6,7,\ldots,17\},
[/mm]
[mm] x_3\in\{0,1\ldots,11\}.
[/mm]
Meiner Meinung nach kann man die Aufgabe nach [mm] $x_1:=1$ [/mm] durchschauen und sofort auf die Lösung kommen.
Schönen Gruß,
DieAcht
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> 1c) Wie viele nichtnegative ganzzahlige Lösungen hat die
> Gl. [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 17 , [mm]x_1[/mm] < 6 und [mm]x_3[/mm] > 5
> 1c)
> Hier würde ich diesen Satz benutzen:
> Es seien n,r [mm]\in \IN[/mm] und A eine endliche Menge mit |A| =
> n
> Die Anzahl der r-Auswahlen von A ist
> [mm]\vektor{n+r-1 \\ r}[/mm] = [mm]\vektor{n+r-1 \\ n-1}[/mm]
> Nun ja , da
> könnte ich es jetzt einsetzen , aber die Bedingungen für
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_3[/mm] verwirren mich.
Ich würde ähnlich wie DieAcht vorgehen, mir den
Überblick aber graphisch verschaffen. Die Gleichung
[mm] x_1+x_2+x_3=17 [/mm] beschreibt eine Ebene im [mm] \IR^3.
[/mm]
Wir suchen die in ihr enthaltenen Gitterpunkte
(mit [mm] x_i\in\IN_0) [/mm] in einem abgegrenzten Bereich.
Auf die [mm] x_1-x_3 [/mm] - Ebene projiziert ergibt sich ein mit
ganzzahligen Gitterpunkten besetzter trapezförmiger
Bereich, begrenzt durch die Geraden mit den Gleichungen
[mm] x_1=0 [/mm] , [mm] x_1=5 [/mm] , [mm] x_3=6 [/mm] , [mm] x_1+x_3=17 [/mm] .
Man kann sich klar machen, dass es zu jedem
damit dargestellten Paar [mm] (x_1,x_3) [/mm] genau ein
dazu passendes [mm] x_2:=17-x_1-x_3 [/mm] mit [mm] 0\le x_2\le [/mm] 17
gibt, welches das Paar zu einem Lösungstripel
ergänzt. Nun hat man nur noch die Aufgabe,
die Anzahl der Gitterpunkte im Trapez mit
den Eckpunkten A(0|6), B(5|6), C(5|12), D(0|17)
zu ermitteln. Dazu kann man das Trapez in ein
Rechteck und ein Dreieck zerlegen und dann
ganz elementare Formeln benützen.
LG , Al-Chwarizmi
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