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| Aufgabe | geg.: [mm] f(x)=2+2cos(\pi x+\bruch{\pi}{6})
[/mm]
Wie entsteht das zugehörige Schaubild aus der cosinus-Kurve? |
Hallo...
[mm] f(x)=2+2cos(\pi \cdot(x+\bruch{1}{6}))
[/mm]
1. Streckung in y-Richtung um Faktor 2, Amplitude a=2
2. Verschiebung in y-Richtung um 2 Einheiten nach oben
3. Streckung in y-Richtung um Faktor [mm] \bruch{1}{\pi}, [/mm] Periode p=2
4. Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{1}{6} [/mm] nach links.
__________________________________________
Im Lösungsbuch steht:
Streckung in y-Richtung mit Faktor 2
Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] nach links;
Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
Verschiebung in y-Richtung um 2 nach oben
oder: Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
; Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
nach links; Beachten Sie die Reihenfolge!!
Ich mach die erste Variante mal (die 2. Variante war meine eigene Möglicheit): Stimmt mein Vorgehen hier (insbesondere 3.?)
f(x)=cos(x)
1.Streckung in y-Richtung mit Faktor 2: [mm] f_1(x)=2f(x)=2cos(x)
[/mm]
2.Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] nach links:
[mm] f_2(x)=f_1(x+\bruch{\pi}{6})=2cos(x+\bruch{\pi}{6})
[/mm]
3.Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
[mm] f_3(x)=f_2(\pi x)=2cos(\pi x+\bruch{\pi}{6})
[/mm]
4. Verschiebung in y-Richtung um 2 nach oben
[mm] f_4(x)=f_3(x)+2=2cos(\pi x+\bruch{\pi}{6})+2
[/mm]
_________________________________
Möglich wäre auch noch:
1. Verschiebung in y-Richtung um 1Einheit nach oben
2. strecken in y-Richtung um Faktor 2
3. Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] nach links
4.Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
Stimmt das jetzt alles (HOFFENTLICH!!)?
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> geg.: [mm]f(x)=2+2cos(\pi x+\bruch{\pi}{6})[/mm]
> Wie entsteht das
> zugehörige Schaubild aus der cosinus-Kurve?
> Hallo...
> [mm]f(x)=2+2cos(\pi \cdot(x+\bruch{1}{6}))[/mm]
> 1. Streckung in
> y-Richtung um Faktor 2, Amplitude a=2
> 2. Verschiebung in y-Richtung um 2 Einheiten nach oben
> 3. Streckung in y-Richtung um Faktor [mm]\bruch{1}{\pi},[/mm]
> Periode p=2
> 4. Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{1}{6}[/mm] nach links.
>
> __________________________________________
> Im Lösungsbuch steht:
> Streckung in y-Richtung mit Faktor 2
> Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] nach links;
> Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]
> Verschiebung in y-Richtung um 2 nach oben
> oder: Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]
> ; Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> nach links; Beachten Sie die Reihenfolge!!
>
> Ich mach die erste Variante mal (die 2. Variante war meine
> eigene Möglicheit): Stimmt mein Vorgehen hier
> (insbesondere 3.?)
> f(x)=cos(x)
> 1.Streckung in y-Richtung mit Faktor 2:
> [mm]f_1(x)=2f(x)=2cos(x)[/mm]
> 2.Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] nach
> links:
> [mm]f_2(x)=f_1(x+\bruch{\pi}{6})=2cos(x+\bruch{\pi}{6})[/mm]
> 3.Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]
> [mm]f_3(x)=f_2(\pi x)=2cos(\pi x+\bruch{\pi}{6})[/mm]
> 4.
> Verschiebung in y-Richtung um 2 nach oben
> [mm]f_4(x)=f_3(x)+2=2cos(\pi x+\bruch{\pi}{6})+2[/mm]
>
> _________________________________
> Möglich wäre auch noch:
> 1. Verschiebung in y-Richtung um 1Einheit nach oben
> 2. strecken in y-Richtung um Faktor 2
> 3. Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] nach
> links
> 4.Streckung in x-Richtung mit Faktor [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]
>
> Stimmt das jetzt alles (HOFFENTLICH!!)?
Hallo,
ich verstehe nicht recht, weshalb du diese Funktion nicht
zuerst einmal auf ganz natürliche Weise "von innen nach
außen" analysierst.
Folgender Weg schiene mir für den vorgegebenen Funktions-
term "natürlich" :
$\ [mm] y_0(x)\ [/mm] =\ cos(x)$ ( Ausgangsfunktion ! )
$\ [mm] y_1(x)\ [/mm] =\ [mm] cos(\red{\pi*}x)$
[/mm]
$\ [mm] y_2(x)\ [/mm] =\ [mm] cos(\pi*x\red{\ +\ \bruch{\pi}{6}})$
[/mm]
$\ [mm] y_3(x)\ [/mm] =\ [mm] \red{2\ *}\ cos(\pi*x+\bruch{\pi}{6})$
[/mm]
$\ [mm] y_4(x)\ [/mm] =\ 2\ *\ [mm] cos(\pi*x+\bruch{\pi}{6})\ \red{+\ 2}$ [/mm] ( Schlussfunktion f(x) )
Die dabei zu tätigenden Transformationen sind der Reihe
nach:
[mm] \bullet [/mm] axiale Streckung in x-Richtung
[mm] \bullet [/mm] Verschiebung in x-Richtung
[mm] \bullet [/mm] axiale Streckung in y-Richtung
[mm] \bullet [/mm] Verschiebung in y-Richtung
Natürlich kann man den Funktionsterm auch umformen, z.B. zu:
$\ f(x)\ =\ [mm] (cos((x+\frac{1}{6})*\pi)+1)*2$
[/mm]
und dann die dazu passende Reihe von Transformationen
ermitteln, indem man den Term wieder "von innen nach
außen" analysiert.
Entsprechend den unterschiedlichen (aber äquivalenten)
algebraischen Formen des Funktionsterms kommt man so zu
unterschiedlichen Folgen von geometrischen Transformationen,
die aber jeweils zum selben Ziel führen.
Ich kann dir nur raten, die einzelnen Stadien der schrittweisen
Transformationen mittels Skizzen (oder leichter mittels eines
GTR) grafisch darzustellen und dich von der Äquivalenz der
verschiedenen Transformationen zu überzeugen.
LG , Al-Chwarizmi
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