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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}5^{-k} \vektor{2k \\ k}
[/mm]
Zeigen Sie die abs. Konvergenz dieser Reihe. |
Hi,
ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich habe nun die Reihe soweit umgeformt bis da steht
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}5^{-k} [/mm]
Die Konvergenz wollte ich mit der geom. Reihe zeigen, nur müsste ich die Reihe dann umstellen, sodass dort k = 0 steht.
Kann ich diese machen, indem ich einfach eine +1 addiere?
In etwa so: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}5^{-k} [/mm] +1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mi 05.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Lisa,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}5^{-k} \vektor{2k \\ k}[/mm]
>
> Zeigen Sie die abs. Konvergenz dieser Reihe.
> Hi,
>
> ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Ich habe nun die Reihe soweit umgeformt bis da steht
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}5^{-k}[/mm]
Das stimmt nicht, denn es gilt:
[mm] \vektor{2k \\ k}=\frac{(2k)!}{k!(2k-k)!}\not=1
[/mm]
> Die Konvergenz wollte ich mit der geom. Reihe zeigen, nur
> müsste ich die Reihe dann umstellen, sodass dort k = 0
> steht.
> Kann ich diese machen, indem ich einfach eine +1 addiere?
> In etwa so: [mm]\summe_{k=0}^{\infty}5^{-k}[/mm] +1
Nein, aber was du machen könntest wäre folgendes:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}5^{-k}=1-1+\summe_{k=1}^{\infty}5^{-k}=5^0-1+\summe_{k=1}^{\infty}5^{-k}=-1+\summe_{k=0}^{\infty}5^{-k}
[/mm]
Aber bedenke, dass dein Ansatz falsch war!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}5^{-k} \vektor{2k \\ k}[/mm]
>
> Zeigen Sie die abs. Konvergenz dieser Reihe.
> Hi,
>
> ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Ich habe nun die Reihe soweit umgeformt bis da steht
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}5^{-k}[/mm]
das wäre, wie Angela DieAcht schon (indirekt) sagte: Zauberei...
Ich hab's nicht durchgerechnet, aber vielleicht hilft Dir
ja das Quotientenkriteriun bei der Aufgabe...
> Die Konvergenz wollte ich mit der geom. Reihe zeigen, nur
> müsste ich die Reihe dann umstellen, sodass dort k = 0
> steht.
> Kann ich diese machen, indem ich einfach eine +1 addiere?
> In etwa so: [mm]\summe_{k=0}^{\infty}5^{-k}[/mm] +1
Vielleicht hast Du das hier so gemeint:
Wenn [mm] $k\,$ [/mm] die Zahlen $1,2,3,...$ durchläuft, dann durchläuft
[mm] $\ell:=k-1$ [/mm] die Zahlen $0,1,2,...$. (Beide "in gleicher (angedeuteter)
Reihenfolge").
Also gilt mit [mm] $\ell:=k-1$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 5^{-k}=\sum_{\ell=0}^\infty 5^{-(\ell+1)}\,.$
[/mm]
(Beachte $k=1 [mm] \iff \ell=0.$)
[/mm]
Weil die Indexbezeichnung im Summenzeichen keine Rolle
spielt, kannst Du auch kurz dann schreiben
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 5^{-k}=\sum_{k=0}^\infty 5^{-(k+1)}\,.$
[/mm]
Das, was da passiert, nennt man "Indexshift" (oder Indexverschiebung).
Und meist wird das einfach so hingeschrieben, wie es bei
mir in der letzten Gleichung steht. Aber mit einer einfachen,
kleinen Substitution [mm] ($\ell:=k-1$) [/mm] ist das, denke ich, gerade
für Anfänger wesentlich besser verständlich.
Zudem beachte, dass da oben nichts passiert. Wenn ich aber
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 5^{-k}=\sum_{\substack{g=0\\g \text{ gerade}}}^\infty (5^{-(g+1)}+5^{-(g+2)})$
[/mm]
behaupten würde, so wäre da viel mehr als nur ein einfacher
Indexshift passiert... (Da stehen zwei verschiedene Teilsummenfolgen...)
P.S. [mm] $\sum_{k=0}^\infty 5^{-(k+1)}=5^{-1}*\sum_{k=0}^\infty 5^{-k}$
[/mm]
darf man oben dann auch noch anwenden...
Gruß,
Marcel
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