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| Aufgabe | Welche Eigenschaften muss die Störfunktion f mit Shift [mm] \xi [/mm] aufweisen, damit das Laplaceproblem reziprok ist?
Lösung:
[mm] \Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{1}}{ \frac{f(\vec{y}-\vec{\xi})}{|\vec{x}-\vec{y}|} d\vec{y}}
[/mm]
I.) [mm] \Omega_{1} [/mm] in den Ursprung schieben:
[mm] T:\vec{y}-\vec{\xi}=\vec{u} [/mm]
[mm] \Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{0}}{ \frac{f(\vec{u})}{|\vec{x}-\vec{u}-\vec{\xi}|} d\vec{u}}
[/mm]
II.) [mm] \Omega_{0} [/mm] am Ursprung Spiegeln:
[mm] T:\vec{u}=-\vec{v} [/mm]
[mm] \Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{0}}{ \frac{f(-\vec{v})}{|\vec{x}+\vec{v}-\vec{\xi}|} d\vec{v}}
[/mm]
III.) Verschiebung in den Messpunkt
[mm] T:\vec{v}=\vec{z}-\vec{x} [/mm]
[mm] \Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{2}}{ \frac{f(-(\vec{z}-\vec{x}))}{|\vec{\xi}-\vec{z}|} d\vec{z}}
[/mm]
Falls [mm] f(\vec{r})=f(-\vec{r}), [/mm] d.h. f radialsymmetrisch ist ist [mm] \Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\Phi(\vec{\xi},\vec{x}) [/mm] und damit ist die Lösung der Laplacegleichung reziprok bei Austausch von Messpunkt mit Shift der Quellfunktion. |
Hallo liebes Forum,
ich wollte mal in die Runde fragen ob mir eventuell jemand ein paar Tipps geben kann obigen Sachverhalt "besser, schöner und verständlicher" zu formulieren. Was mich sehr stört ist, dass der eigentliche Trick mit Integrationsgebiet Hin- und Herschieben (das Integrationsgebiet ist ja quasi schonmal durch den Träger von f vorgegeben) nur sehr intransparent ist. Ist das überhaupt verständlich was ich da sage? Fehlt euch was? Kann man z.B. sagen [mm] \Omega_{2}=\Omega_{1}+\vec{x}+\vec{\xi}? [/mm] Ich würde sagen nein, da [mm] \Omega [/mm] ein Integrationsgebiet ist, also eine Menge und [mm] \vec{x} [/mm] ein Element aus [mm] \Omega [/mm] ist. Dennoch geht [mm] \Omega_{2} [/mm] ja durch Translation und Spiegelung aus [mm] \Omega_{1} [/mm] hervor. Das muss ja irgendwie möglich sein das verbal zum Ausdruck zu bringen. Ich würde gerne sinngemäß in schöner Mathematiksprache was schreiben wie
Gebietstransformation [mm] T:\Omega_{1}(\vec{y}) \rightarrow \Omega_{2}(\vec{z}) [/mm] mit [mm] \vec{z}(\vec{y}):=-\vec{y}+\vec{x}+\vec{\xi}
[/mm]
Ich wünsche euch noch einen schönen Tag und schonmal vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 04.09.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche Eigenschaften muss die Störfunktion f mit Shift [mm]\xi[/mm]
> aufweisen, damit das Laplaceproblem reziprok ist?
>
> Lösung:
>
> [mm]\Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{1}}{ \frac{f(\vec{y}-\vec{\xi})}{|\vec{x}-\vec{y}|} d\vec{y}}[/mm]
>
> I.) [mm]\Omega_{1}[/mm] in den Ursprung schieben:
> [mm]T:\vec{y}-\vec{\xi}=\vec{u}[/mm]
>
> [mm]\Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{0}}{ \frac{f(\vec{u})}{|\vec{x}-\vec{u}-\vec{\xi}|} d\vec{u}}[/mm]
>
> II.) [mm]\Omega_{0}[/mm] am Ursprung Spiegeln:
> [mm]T:\vec{u}=-\vec{v}[/mm]
>
> [mm]\Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{0}}{ \frac{f(-\vec{v})}{|\vec{x}+\vec{v}-\vec{\xi}|} d\vec{v}}[/mm]
>
> III.) Verschiebung in den Messpunkt
> [mm]T:\vec{v}=\vec{z}-\vec{x}[/mm]
>
> [mm]\Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\iiint_{\Omega_{2}}{ \frac{f(-(\vec{z}-\vec{x}))}{|\vec{\xi}-\vec{z}|} d\vec{z}}[/mm]
>
> Falls [mm]f(\vec{r})=f(-\vec{r}),[/mm] d.h. f radialsymmetrisch ist
> ist [mm]\Phi(\vec{x},\vec{\xi})=\Phi(\vec{\xi},\vec{x})[/mm] und
> damit ist die Lösung der Laplacegleichung reziprok bei
> Austausch von Messpunkt mit Shift der Quellfunktion.
> Hallo liebes Forum,
>
> ich wollte mal in die Runde fragen ob mir eventuell jemand
> ein paar Tipps geben kann obigen Sachverhalt "besser,
> schöner und verständlicher" zu formulieren. Was mich sehr
> stört ist, dass der eigentliche Trick mit
> Integrationsgebiet Hin- und Herschieben (das
> Integrationsgebiet ist ja quasi schonmal durch den Träger
> von f vorgegeben) nur sehr intransparent ist. Ist das
> überhaupt verständlich was ich da sage? Fehlt euch was?
> Kann man z.B. sagen
> [mm]\Omega_{2}=\Omega_{1}+\vec{x}+\vec{\xi}?[/mm] Ich würde sagen
> nein, da [mm]\Omega[/mm] ein Integrationsgebiet ist, also eine Menge
> und [mm]\vec{x}[/mm] ein Element aus [mm]\Omega[/mm] ist. Dennoch geht
> [mm]\Omega_{2}[/mm] ja durch Translation und Spiegelung aus
> [mm]\Omega_{1}[/mm] hervor. Das muss ja irgendwie möglich sein das
> verbal zum Ausdruck zu bringen. Ich würde gerne
> sinngemäß in schöner Mathematiksprache was schreiben wie
> Gebietstransformation [mm]T:\Omega_{1}(\vec{y}) \rightarrow \Omega_{2}(\vec{z})[/mm]
> mit [mm]\vec{z}(\vec{y}):=-\vec{y}+\vec{x}+\vec{\xi}[/mm]
ich weiß gerade nicht, wodrum es Dir im Detail geht - aber anscheinend
gar nicht wirklich um die Aufgabe (mit der ich mich, ehrlich gesagt, auch
nicht befassen will  ).
Natürlich kann man sowas wie "Element + Menge" schreiben, man sollte
es halt definieren. (Entweder weiß man, was es eigentlich bedeuten soll,
oder man definiert halt etwas, was zumindest widerspruchsfrei ist, und
hofft dann, dass diese Definition einem hilft.)
Kennst Du sicher aus der linearen Algebra: Sei [mm] $V=(V,+,\cdot)$ [/mm] ein Vektorraum. Sei $U [mm] \subseteq [/mm] V$
ein Unterraum. Dann definiert man den Faktorraum/Quotientenraum von
V nach U gemäß
[mm] $V/U:=\{[a]: a \in V\}\,,$
[/mm]
wobei für $a [mm] \in [/mm] V$ die Äquivalenzklasse [mm] $[a]=[a]_U$ [/mm] als die folgende Menge definiert
ist:
[mm] $(\star)$ $[a]:=a+U\,.$
[/mm]
Das ist jetzt NOCH UNKLAR, ich erläutere es im Nachhinein (was man
eigentlich didaktisch natürlich besser vorab tun sollte):
Wir setzen für $X,Y [mm] \subseteq [/mm] V$ noch
[mm] $X+Y:=\{x+y:\;x \in X, y \in Y\}\,.$
[/mm]
(Beachte, dass das [mm] $+\,$ [/mm] linkerhand ein anderes ist wie das rechterhand. Du kannst
es auch so machen:
$X [mm] \oplus Y:=\{x+y: x \in X, y \in Y\}$
[/mm]
und dann ist das + (rechterhand) eben die Addition in V. Das [mm] $\oplus$ [/mm] ist etwas,
was hier NEU definiert wurde. Und jetzt sagst Du: Zur Ersparung von Schreibarbeit
schreiben wir auch + anstatt [mm] $\oplus$, [/mm] weil aus dem Zusammenhang heraus
klar ist, wann + die Addition in V, und wann + eben [mm] $\oplus$ [/mm] bezeichnet!)
Und dann definieren wir
[mm] $a+U:=\{a\}+U\,.$
[/mm]
Damit ist nun klar, wie [mm] $(\star)$ [/mm] zu verstehen ist. (Natürlich könnte man
auch direkt [mm] $a+U:=\{a+u:\,u \in U\}$ [/mm] setzen, aber so hat man halt eine etwas
allgemeinere Definition, für welche wir [mm] $a+U\,$ [/mm] als "Spezialfall per Definitionem"
auffassen).
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
vielen Dank für deine Antwort! Dein Beispiel kann ich leider nur Teils nachvollziehen. Im Übertragenen Sinne ist die Kernaussage aber interessant, vorausgesetzt man verwickelt sich nicht mit bereits getroffenen Konventionen (üblicherweise baut man ja immer auf etwas Vorhandenem auf) in Widersprüche.
Bitte nicht erschrecken wenn jetzt viel Text kommt. Ich hatte das Beispiel genommen in der Hoffnung das man das Thema daran diskutieren kann - war aber wohl net so clever . Ich frage wie man im Mainstream beim Integrieren ein Integrationsgebiet und eine Gebietstransformation hinschreibt und was man darunter versteht. Vielleicht kannst du einfach im folgenden Text durchstreichen was Murks ist. Das würde mir wirklich schon vollkommen ausreichen!
1.) Ein Gebiet (Integrationsgebiet) ist für mich laienhaft gesprochen eine Menge stückweise zusammenhängender Zahlen über die ich eine Funktion, die eine Abbildung auf diesen Zahlen darstellt, integriere (i.S. einer Riemannsumme). Kann man über der Menge der rationalen oder natürlichen Zahlen integrieren? Im allgemeinen vermutlich nicht, schon aus dem Grund, weil wenn eine Funktion auf den reellen Zahlen definiert ist als Integrationsgrenzen und Volumeninhalte auch irrationale Zahlen in Frage kommen. Ausserhalb der Reellen gibt es nichts mehr (Ausdruck dafür = "dicht oder vollständig"??) d.h. wir reden üblichwerweise über alle [mm] \vec{x} \in \IR^2 [/mm] (allg. 1..n).
Wenn man im Internet nach Gebiet such kommt gleich was von "topologischen Raum". Damit kann ich überhaupt nichts anfangen, auch nach mehreren Leseansätzen. Deswegen besser ein Beispiel: Von einem kreisförmigen Integrationsgebiet z.B. reden wir dann wenn wir alle Zahlen nehmen, die kleiner gleich (Abschluss des Randes [mm] \partial \Omega [/mm] ) einem konstanten Abstand (=Radius) um einen Mittelpunkt herum positioniert sind. Das wäre dann eine Teilmenge des [mm] \IR^2. [/mm] Ich würde das so ausdrücken:
[mm] \Omega_0(\vec{x}) [/mm] := [mm] \{\vec{x}\in \IR^2 | |\vec{x}-\vec{M_0}| \le R_0\}
[/mm]
"Die Menge oder das Integrationsgebiet [mm] \Omega_0" [/mm] wird definiert als die Zahlen (Elemente) aus [mm] \IR^2 [/mm] mit der Eigenschaft die Distanz [mm] |\vec{x}-\vec{M_0}| [/mm] muss kleiner gleich der Konstante [mm] R_0 [/mm] sein".
2.) Wir haben nun ein zweites Integrationsgebiet - fällt vom Himmel: [mm] \Omega_1(\vec{z}) [/mm] := [mm] \{z\in \IR^2 | |\vec{z}-\vec{M_1}| \le R_1\}. [/mm] Die Frage ist nun wie man es aufschreibt wenn man die Teilmengen [mm] \Omega_0 [/mm] nach [mm] \Omega_1 [/mm] ineinander überführt und umgekehrt. Also alles dass was man dann mit Funktionaldeterminante und Integrationsgrenzen anstellen kann. Wenn man nach der Terminologie sucht, dann findet man in der Regel etwas wie bijektive "Abbildung" und "Transformation" T. Ohne gleich zur Topologie zu greifen handelt es sich im Prinzip um eine simple Koordinatentransformation eines jeweiligen Elementes aus dem Urbild (der Menge aller Elemente [mm] \Omega_1) [/mm] auf jeweils ein Element im Bild [mm] \Omega_0 [/mm] (was bei Bijektivität eindeutig umkehrbar ist). Das würde dann zusammen auf etwas herauslaufen was wohl so aussehen dürfte:
[mm] \Omega_1(\vec{z}) [/mm] := [mm] \{\vec{z}\in \IR^2 | |\vec{z}-\vec{M_1}| \le R_1\}
[/mm]
[mm] \Omega_0(\vec{x}) [/mm] := [mm] \{\vec{x}\in \IR^2 | |\vec{x}-\vec{M_0}| \le R_0\}
[/mm]
[mm] T:\Omega_1(\vec{z}) \rightarrow \Omega_0(\vec{x}) [/mm] [Impliziert ansich bereits [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^2, [/mm] daher nicht notwendig hierauf nochmals hinzuweisen]
mit
[mm] \vec{x}(\vec{z}):=\vec{M_0}+(\vec{z}-\vec{M_1})*R_0/R_1
[/mm]
Ausgesprochen: "Transformation T ist definiert als Abbildung des Gebietes [mm] \Omega_1 [/mm] auf [mm] \Omega_0 [/mm] mit der (Umkehr-)Abbildungsvorschrift [mm] \vec{x}(\vec{z}):=..."
[/mm]
Viele Grüße und noch einen schönen Abend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 05.10.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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