Verständnis Trigonometrie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:22 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Zusammen,
ich habe ein Verständnisproblem. Ich habe die Fläche
$f(u,v)=(sinu+vcosu,cosu-vsinu,v)$ gegeben. Ich habe aufgrund von bereits korrekten Berechnungen für den Parameter $v= [mm] \sqrt{-1}$ [/mm] heraus. Was bedeutet dass denn nun für meine Fläche? Eine Wurzel aus einer negativen Zahl geht ja bekanntlich nicht.
Gruß!
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> Hallo Zusammen,
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> ich habe ein Verständnisproblem. Ich habe die Fläche
> [mm]f(u,v)=(sinu+vcosu,cosu-vsinu,v)[/mm] gegeben.
Hallo,
was sollst Du den ausrechnen?
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich soll die Nabelpunkte der Fläche $f(u,v)=sinu+vcosu, cosu-vsinu,v)$ ausrechnen. Ich habe für die beiden Hauptkrümmungen [mm] $k_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}$ [/mm] und für [mm] $k_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}$ [/mm] heraus.
Ein Nabelpunkt definiert sich über [mm] k_1=k_2. [/mm] Wenn ich nun beides gleichsetze erhalte ich für [mm] v=\sqrt{-1}. [/mm] Nun muss ich das ja wieder in f(u,v) einsetzen. u kommt ja hier garnicht mehr vor, daher wohl auch u=0)
Grüße
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> Hallo,
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> ich soll die Nabelpunkte der Fläche [mm]f(u,v)=sinu+vcosu, cosu-vsinu,v)[/mm]
> ausrechnen. Ich habe für die beiden Hauptkrümmungen
> [mm]k_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}[/mm] und für
> [mm]k_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}[/mm] heraus.
>
> Ein Nabelpunkt definiert sich über [mm]k_1=k_2.[/mm] Wenn ich nun
> beides gleichsetze erhalte ich für [mm]v=\sqrt{-1}.[/mm] Nun muss
> ich das ja wieder in f(u,v) einsetzen. u kommt ja hier
> garnicht mehr vor, daher wohl auch u=0)
>
> Grüße
Hallo Bodo,
man darf sicher voraussetzen, dass u und v reell sein sollen.
Setzen wir [mm] w:=(1+2v^2)^\frac{1}{2} [/mm] , so ist auch w eine
reelle positive Zahl. Sind deine Berechnungen für [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2
[/mm]
sowie die Bedingung [mm] k_1=k_2 [/mm] korrekt, so kommt man auf die
Gleichung [mm] w^3=-w [/mm] und damit [mm] w^2=-1 [/mm] , was aber mit reellem w
unmöglich ist.
Folgerung: es gibt keinen "Nabelpunkt" - immer vorausgesetzt,
dass deine bisherigen Rechnungen OK sind.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
ok! Super!
Nun ist noch als letzte Frage offen, welche Parameterlinien Geodäten sind. Für die Geodäten gilt doch, dass die geodätische Krümmung 0 ist. Wie wäre denn nun mein Ansatz, um obige Frage zu beantworten, also "welche Parameterlinien Geodäten sind?
Weiterhin gilt: Eine Kurve $c:I [mm] \to [/mm] M$ heißt Geodäte, falls [mm] $\Delta [/mm] _{c'(t)} c'(t)=0$. (Hinweis: Das [mm] \Delta [/mm] steht eigentlich auf dem Kopf und soll wohl als kovariante Ableitung zu verstehen sein)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mi 08.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Bodo,
> Nun ist noch als letzte Frage offen, welche Parameterlinien
> Geodäten sind. Für die Geodäten gilt doch, dass die
> geodätische Krümmung 0 ist. Wie wäre denn nun mein
> Ansatz, um obige Frage zu beantworten, also "welche
> Parameterlinien Geodäten sind?
>
> Weiterhin gilt: Eine Kurve [mm]c:I \to M[/mm] heißt Geodäte, falls
> [mm]\Delta _{c'(t)} c'(t)=0[/mm]. (Hinweis: Das [mm]\Delta[/mm] steht
> eigentlich auf dem Kopf und soll wohl als kovariante
> Ableitung zu verstehen sein)
Deine Deutung ist richtig, das Symbol heißt Nabla-Operator und wird hier \nabla geschrieben; das ergibt dann [mm] $\nabla$.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 08.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne rechnen sieht man, dass die Linien u=const Geraden sind also Kürzeste, die Linien v=const Kreise, davon nur einer geodätisch!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok! Dann gehe ich davon aus, das u geodätisch ist, weil Geraden ja keine Krümmungen haben, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 08.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
u ist geodätisch ist ketne Aussage. die Kurven u=const sind geodätische, ausserdem eine der Kurven v=const welche?
Geraden sind Kürzeste, sie haben nich keine Krümmung sondern Kr 0, aner nicht alle Geodätischen haben "keine" Krümmung°
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> u ist geodätisch ist ketne Aussage. die Kurven u=const
> sind geodätische, ausserdem eine der Kurven v=const
> welche?
> Geraden sind Kürzeste, sie haben nich keine Krümmung
> sondern Kr 0, aner nicht alle Geodätischen haben "keine"
> Krümmung°
> Gruss leduart
Hallo,
ich versteh das nicht! Wie bestimme ich das denn, welche denn nun "geodätisch" sind?
Grüße,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mi 08.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede Symmetrieebene schneidet in einer Geodätischen. ich hab dir doch ein Bild geschickt.
Hruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo, du schreibst hier, dass einer geodätisch ist. Aber welcher ist es denn nun? u oder v?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Sa 11.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du gesehen, bzw gezeigt dass die Linien u=const Geraden und damit Geodäten sind?
2. welche der Linien v=const liegt in einer Symmetrieebene? diese eine Linie ist dann auch eine Geodäte
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> 1. hast du gesehen, bzw gezeigt dass die Linien u=const
> Geraden und damit Geodäten sind?
> 2. welche der Linien v=const liegt in einer
> Symmetrieebene? diese eine Linie ist dann auch eine
> Geodäte
> Gruss leduart
>
Hallo,
zu 1: Gezeigt nicht: Wie macht man das? Muss man zeigen, dass die Richtungsableitung von $c'(t) = 0$ ist?
Jetzt muss ich doch die Fläche $f(u,v)=(sinu+vcosu,cosu-vsinu,v)$ auf eine Kurve umparametrisieren richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Sa 11.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) wie sieht senn eine parametrisierte Gerade aus`aber c'=0 gilt doch nicht für Geraden?
wodurch sind denn Geraden ausgezeichnet?
=
Jetzt muss ich doch die Fläche $ f(u,v)=(sinu+vcosu,cosu-vsinu,v) $ auf eine Kurve umparametrisieren "
Eine Fk kann man doch nicht zu ner Kurve machen, was meinst du?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> a) wie sieht senn eine parametrisierte Gerade aus'aber
> c'=0 gilt doch nicht für Geraden?
> wodurch sind denn Geraden ausgezeichnet?
> =
> Jetzt muss ich doch die Fläche
> [mm]f(u,v)=(sinu+vcosu,cosu-vsinu,v)[/mm] auf eine Kurve
> umparametrisieren "
> Eine Fk kann man doch nicht zu ner Kurve machen, was
> meinst du?
> Gruss leduart
>
Hallo, Geraden zeichnen sich durch eine Krümmung von 0 aus. Außerdem kann man eine parametrisierte Kurve durch zwei Funktionen x(t) und y(t) darstellen. Also c(t)=(x(t),y(t)).
Für eine Gerade gilt: [mm] \vektor{v_x \\ v_y} [/mm] = [mm] \vektor{x_2 \\ y_2} [/mm] - [mm] \vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] = [mm] \vektor{x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1}
[/mm]
Dann vergessen wir das mit der umparametrisierung. Da hatte ich wohl etwas anderes im Kopf.
Was muss ich denn zeigen? Vielleicht kannst du mir das vorgeben, wenn es etwas zu rechnen gibt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
habt ihr evtl. einen Lösungsansatz für diese Aufgabe? Ich hänge fest und brauche dringend eine Idee oder besser sogar "die Lösung" (obwohl das immer sehr schwierig ist) Ich schreibe morgen eine Klausur und mir fehlt jegliche Idee..
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 12.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das (a+b*t,b-at,t) eine Gerade ist kannst du durch c'konst oder c''=0 oder
Für eine Gerade gilt: $ [mm] \vektor{v_x \\ v_y} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{x_2 \\ y_2} [/mm] $ - $ [mm] \vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1} [/mm] $
fesstellen
so ein Ding hast du für u=const cosu=a;sinu=b
Geraden sind immer Geodätische, da sie schon in [mm] \IR^3 [/mm] Kürzeste sind, also auch auf der Fläche.
so ein Ding hast du für u=const cosu=a;sinu=b
der Kreis v=0 (cosu,sinu,0) liegt in einer Symmetrieebene, d.h. die Normale auch und damit senkrecht dazu, also v=0 ist eine Geodätische. die anderen Linien v=const nicht,
Gruss leduart
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Hallo Bodo0686,
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe ein Verständnisproblem. Ich habe die Fläche
> [mm]f(u,v)=(sinu+vcosu,cosu-vsinu,v)[/mm] gegeben. Ich habe
> aufgrund von bereits korrekten Berechnungen für den
> Parameter [mm]v= \sqrt{-1}[/mm] heraus. Was bedeutet dass denn nun
> für meine Fläche? Eine Wurzel aus einer negativen Zahl
> geht ja bekanntlich nicht.
>
Um das herauszufinden,
müssen wir Deine korrekten Berechnungen kennen.
> Gruß!
Gruss
MathePower
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