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Hallo
ich gebe mal ein Beispiel an:
[mm] a=\vektor{2\\-1\\-3} [/mm] , [mm] b=\vektor{-2\\1\\1} [/mm] , [mm] c=\vektor{-2\\1\\-3}
[/mm]
die drei Vektoren habe ich auf lineare Abhängigkeit untersucht über Bildung der Determinante. Bei einem solchen Beispiel ist mir klar, wie ich die Determinante aufzustellen habe, aber wie sieht die Determinante aus, wenn ich folgende Vektoren gegeben habe:
[mm] a=e_{1}-e_{2}
[/mm]
[mm] b=e_{1}+e_{3}
[/mm]
[mm] c=e_{2}-e_{3}
[/mm]
Man soll den Nachweis erbringen, dass sie linear unabhängig sind. Ich weiss aber nicht wie die Determinante dann aussieht bzw. wie ich diese berechnen soll! Bitte erklärt es mir!
Denke mal, dass man einfach det(a,b,c) bildet, aber wie berechne ich das denn?
sunshinenight
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> Hallo
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> ich gebe mal ein Beispiel an:
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> [mm]a=\vektor{2\\-1\\-3}[/mm] , [mm]b=\vektor{-2\\1\\1}[/mm] ,
> [mm]c=\vektor{-2\\1\\-3}[/mm]
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> die drei Vektoren habe ich auf lineare Abhängigkeit
> untersucht über Bildung der Determinante. Bei einem solchen
> Beispiel ist mir klar, wie ich die Determinante
> aufzustellen habe, aber wie sieht die Determinante aus,
> wenn ich folgende Vektoren gegeben habe:
> [mm]a=e_{1}-e_{2}[/mm]
> [mm]b=e_{1}+e_{3}[/mm]
> [mm]c=e_{2}-e_{3}[/mm]
> Man soll den Nachweis erbringen, dass sie linear
> unabhängig sind. Ich weiss aber nicht wie die Determinante
> dann aussieht bzw. wie ich diese berechnen soll! Bitte
> erklärt es mir!
[mm] \vektor{2\\-1\\-3} [/mm] ist ja nur eine andere Schreibweise für [mm] 2e_1-e_2-e_3.
[/mm]
Also ist Dein [mm] a=\vektor{1\\-1\\ 0}. [/mm] So kannst Du zu Deiner Determinante kommen.
Eine andere Möglichkeit die lineare Unabhängigkeit nachzuweisen ist die mit der Linearkombination.
Wenn aus 0= [mm] \lambda [/mm] a+ [mm] \mu [/mm] b+ [mm] \nu [/mm] c folgt, daß [mm] \nu=\mu=\lambda,
[/mm]
sind a,b,c linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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danke dir, das ist mir jetzt klar geworden
sunshinenight
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da habe ich noch eine Frage zu meinem ersten Beispiel.
Dieses ist ja linear abhängig. und in der Aufgabe steht nun, dass man im Falle linearer Abhängigkeit drei Zahlen bestimmen soll [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu, \nu [/mm] mit [mm] (\lambda,\mu,\nu) \not= [/mm] (0,0,0) so, dass [mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b + [mm] \nu [/mm] c=0 gilt.
ich hatte mir das aufgeschrieben und mal durchprobiert, kam dann aber darauf, dass diese Zahlen 0 sein müssen, aber ist das nicht ein Widerspruch zur linearen Abhängigkeit?
sunshinenight
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[mm] \red{\mbox{edit: besser nicht beachten, hier ist irgendwas schief gelaufen... Siehe die folgende Frage und Antwort... Sorry.}}
[/mm]
Hallo!
> da habe ich noch eine Frage zu meinem ersten Beispiel.
> Dieses ist ja linear abhängig. und in der Aufgabe steht
> nun, dass man im Falle linearer Abhängigkeit drei Zahlen
> bestimmen soll [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu, \nu[/mm] mit [mm](\lambda,\mu,\nu) \not=[/mm]
> (0,0,0) so, dass [mm]\lambda[/mm] a + [mm]\mu[/mm] b + [mm]\nu[/mm] c=0 gilt.
>
> ich hatte mir das aufgeschrieben und mal durchprobiert, kam
> dann aber darauf, dass diese Zahlen 0 sein müssen, aber ist
> das nicht ein Widerspruch zur linearen Abhängigkeit?
In der Tat ist das ein Widerspruch! Wahrscheinlich hast du dich bei der Determinante verrechnet - ich erhalte dort nämlich 0, womit die Vektoren linear unabhängig sind und du demnach keine [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] angeben kannst.
(Übrigens ist "durchprobieren" nicht das richtige Wort bzw. die richtige Methode, du musst schon das Gleichungssystem lösen und dann darauf kommen, dass die Zahlen alle =0 sein müssen. Wenn du nur rumprobierst, kann es ja sein, dass du die richtige Lösung einfach übersiehst, sie aber trotzdem vorhanden ist.  )
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
Also entweder habe ich jetzt etwas falsch verstanden oder wir haben uns generell etwas Falsches aufgeschrieben!
Ich dachte, dass die Vektoren linear abhängig sind, wenn die Determinante gleich 0 ist! Du sagtest ja jetzt, dass sie dann linear unabhängig wären.
Habe auch extra in meinem Skript geschaut, dass uns der Prof hat zukommen lassen und da steht es genauso drin.
D.h.:
Ist die Determinante von Null verschieden, so sind [mm] b_{1},..., b_{n} [/mm] unabhängig, andernfalls abhängig.
Was stimmt denn nun?
sunshinenight
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:47 Do 27.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
richtig - wenn die Determinante 0 wäre, dann wären die Vektoren abhängig. Da hat sich Bastiane bestimmt nur verschrieben.
Aber mein Programm sagt mir, dass die Determinante gleich -2 ist, also sind die Vektoren tatsächlich unabhängig
(und du kannst keine solchen Koeffizienten ungleich 0 finden)
viele Grüße
DaMenge
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