Verständnisfrage < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 02.03.2010 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe wieder mal ein verständnisproblem bzw. kann mir etwas schlecht dabei vorstellen! Also bei vielen meine Integralaufgaben muss man den unnormierten Normalenvektor berechnen, was kein Problem darstellt, manchmal jedoch heißt es dann im Aufgabentext, dass der Normalenvektor a) vom Ursprung weg zeigen soll oder b) zum Ursprung hin oder c) in die negative y Richtung ? Was muss ich bei solchen fragestellungen beachten und ändern an dem Normalenvektor? Bzw. wie habe ich mir das vorzustellen Bildlich?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Di 02.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, habe wieder mal ein verständnisproblem bzw. kann
> mir etwas schlecht dabei vorstellen! Also bei vielen meine
> Integralaufgaben muss man den unnormierten Normalenvektor
> berechnen, was kein Problem darstellt, manchmal jedoch
> heißt es dann im Aufgabentext, dass der Normalenvektor a)
> vom Ursprung weg zeigen soll oder b) zum Ursprung hin oder
> c) in die negative y Richtung ? Was muss ich bei solchen
> fragestellungen beachten und ändern an dem Normalenvektor?
> Bzw. wie habe ich mir das vorzustellen Bildlich?
Der Normalenvektor ist ein Vektor längs der Flächennormalen. Es ist zunächst nicht festgelegt, in welche der beiden möglichen Richtungen er zeigt, oder wie lang er ist. Daher darfst du ihn mit einer beliebigen reellen Zahl [mm] $\not=0$ [/mm] multiplizieren, und das Ergebnis ist immer noch ein Normalenvektor. Multiplikation mit einer positiven Zahl bedeutet Strecken oder Stauchen, Multiplikation mit -1, dass du den Vektor umdrehst. Die genannten Bedingungen legen den Vektor genauer fest.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 02.03.2010 | | Autor: | Surfer |
heißt das wenn mein Normalenvektor so dasteht: [mm] \vektor{-x \\ -y \\ -z} [/mm] zeigt er ins Ursprungsinnere und wenn ich ihn nun nach außen zeigen möchte muss ich ihn mit -1 multiplizieren um ihn umzudrehen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mi 03.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> heißt das wenn mein Normalenvektor so dasteht: [mm]\vektor{-x \\ -y \\ -z}[/mm]
> zeigt er ins Ursprungsinnere
Das kannst du so pauschal nicht sagen, das hängt vom Bezugspunkt des Vektors ab. Wenn es sich um den Normalenvektor auf der Oberfläche einer Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung handelt, sodass der Bezugspunkt die Koordinaten $(x,y,z)$ hat, so hast du recht.
> und wenn ich ihn nun nach
> außen zeigen möchte muss ich ihn mit -1 multiplizieren um
> ihn umzudrehen?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Surfer |
Also ich mach mal eine Beispielaufgabe:
Man soll für den durch [mm] (\delta,z) \mapsto \vektor{zcos \delta \\ zsin \delta \\ z } [/mm] mit [mm] \delta[0,2pi] [/mm] z[0,2] parametrisierten Kegelmantel S mit dem Rand C : [mm] \vektor{2cos \delta \\ 2sin \delta \\ 2 } [/mm] die nach außen gerichtete Normale berechnen: Meine Normale ist nun :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{-cos \delta \\ -sin \delta \\ 1 } [/mm] um jetzt den Vektor nach außen gerichtet zu beschreiben muss ich diesen hier laut Lösung noch mit (-1) multiplizieren. Wieso und woran sehe ich nun wo mein ausgerechneter Vektor steht und dass er nach außen oder innen gerichtet ist?
Bitte um Hilfe!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 03.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich mach mal eine Beispielaufgabe:
>
> Man soll für den durch [mm](\delta,z) \mapsto \vektor{zcos \delta \\ zsin \delta \\ z }[/mm]
> mit [mm]\delta\in[0,2pi][/mm], [mm]z\in[0,2][/mm] parametrisierten Kegelmantel S mit
> dem Rand C : [mm]\vektor{2cos \delta \\ 2sin \delta \\ 2 }[/mm] die
> nach außen gerichtete Normale berechnen: Meine Normale ist
> nun :
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{-cos \delta \\ -sin \delta \\ 1 }[/mm]
> um jetzt den Vektor nach außen gerichtet zu beschreiben
> muss ich diesen hier laut Lösung noch mit (-1)
> multiplizieren. Wieso und woran sehe ich nun wo mein
> ausgerechneter Vektor steht und dass er nach außen oder
> innen gerichtet ist?
Der Vektor [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{-\cos \delta \\ -\sin \delta \\ 1 }[/mm] am Punkt [mm]\vektor{z\cos \delta \\ z\sin \delta \\ z }[/mm] zeigt zur z-Achse hin, nicht von ihr weg, also ist er nach innen gerichtet.
Wenn du unsicher bist, mach eine Zeichnung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mi 03.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> zeigt zur z-Achse hin, nicht von ihr weg, also ist er nach
> innen gerichtet.
Wobei ich mich frage - wieso ist zur z-Achse innen? Man könnte doch auch in xy-Ebenen-Richtung als Innen bezeichnen. Dieser Kegel ist doch ziemlich offen - ich sehe da keine von eienr willkürlichen Wahl unabhängige Bedeutung von Innen und Außen - kann man die machen? Wird die irgendwo gemacht?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
Was hälts Du von folgender:
Neben der parametrischen Angabe der Fläche gibt es, wenn die Jakobideterminante nicht verschwindet (so daß dann auch die Orientierung erhalten bleibt), immer auch eine Gleichung in der Form F(x,y,z)=0, zumindest lokal, oder?
Fasst man nun V=F(x,y,z) als skalares Potenzial auf, so ist die Fläche eine Äquipotenzialfläche zum Potenzial V=0. Wenn wir "außen" als Ort mit größerem Potenzial definieren, dann müssen wir in Richtung des Gradienten schauen, denn dort gibt es den größten Anstieg. Der Gradient steht senkrecht auf der Äquipotenzialfläche und gibt die Richtung des größten Anstiegs an. Alles richtig?
In unserem Fall ist [mm] V=x^2+y^2-z^2 [/mm] und damit [mm] \nabla{V}=(2x,2y,-2z)=2z(cos\delta,sin\delta,-1).
[/mm]
D.h. wenn z>0 muss ein nach außen zeigender Normalenvektor wie [mm] (cos\delta,sin\delta,-1) [/mm] orientiert sein, und für z<0 wie [mm] (-cos\delta,-sin\delta,1), [/mm] was auch Sinn macht, denn oberhalb der xy-Ebene muss er z-abwärts und unterhalb z-aufwärts zeigen, da der Kegel rotationssymmetrisch um die z-Achse mit Zentrum im Koordinatenursprung liegt.
Was meinst Du?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 03.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Fasst man nun V=F(x,y,z) als skalares Potenzial auf, so ist
> die Fläche eine Äquipotenzialfläche zum Potenzial V=0.
Mit F ist lokal auch -F ein solches Potential.
> Wenn wir "außen" als Ort mit größerem Potenzial
> definieren, dann müssen wir in Richtung des Gradienten
> schauen, denn dort gibt es den größten Anstieg. Der
> Gradient steht senkrecht auf der Äquipotenzialfläche und
> gibt die Richtung des größten Anstiegs an. Alles
> richtig?
Ja, aber die Wahl von F ist eine Wahl - mit F ist immer auch -F ein solches - was im Allgemeinen den Normalenvektor kippt.
> In unserem Fall ist [mm]V=x^2+y^2-z^2[/mm] und damit
> [mm]\nabla{V}=(2x,2y,-2z)=2z(cos\delta,sin\delta,-1).[/mm]
Natürlich mit einer Singularität in 0 - und natürlich könnten wir -V betrachten, was hier genau den Normalenvektor kippt.
> Was meinst Du?
Überzeugt mich nicht. Auch haben wir hier einen offenen Kegel.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Do 04.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Fasst man nun V=F(x,y,z) als skalares Potenzial auf, so ist
> > die Fläche eine Äquipotenzialfläche zum Potenzial V=0.
>
> Mit F ist lokal auch -F ein solches Potential.
>
> > Wenn wir "außen" als Ort mit größerem Potenzial
> > definieren, dann müssen wir in Richtung des Gradienten
> > schauen, denn dort gibt es den größten Anstieg. Der
> > Gradient steht senkrecht auf der Äquipotenzialfläche und
> > gibt die Richtung des größten Anstiegs an. Alles
> > richtig?
>
> Ja, aber die Wahl von F ist eine Wahl - mit F ist immer
> auch -F ein solches - was im Allgemeinen den Normalenvektor
> kippt.
>
> > In unserem Fall ist [mm]V=x^2+y^2-z^2[/mm] und damit
> > [mm]\nabla{V}=(2x,2y,-2z)=2z(cos\delta,sin\delta,-1).[/mm]
>
> Natürlich mit einer Singularität in 0 - und natürlich
> könnten wir -V betrachten, was hier genau den
> Normalenvektor kippt.
>
> > Was meinst Du?
>
> Überzeugt mich nicht.
Wie liegen die Äquipotenzialflächen für [mm] V=F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 [/mm] zu [mm] V_{1,2} [/mm] mit [mm] V_1
>Auch haben wir hier einen offenen Kegel.
Na, das ist aber auch kein Argument. ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
Wenn Du nicht gerade in Mantel-Richtung fährst, wirst Du irgenwann gegen den Kegel stoßen, entweder von innen oder von außen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Do 04.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wie liegen die Äquipotenzialflächen für
> [mm]V=F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2[/mm] zu [mm]V_{1,2}[/mm] mit [mm]V_1
Was sollen [m]V_{1,2}[/m] denn sein? Du hast dich gar nicht mit -V auseinandergesetzt!
> >Auch haben wir hier einen offenen Kegel.
>
> Na, das ist aber auch kein Argument.
Ich sollte offen vielleicht genauer beschreiben: ich fixiere einen Punkt x auf dem Kegel und einen Normalenvektor dann folge ich dem Kegel zum Randkreis, springe auf die andere Seite und finde zu x zurück, dabei flippe ich den Normalenvektor.
Aners gesagt: Der Raum ohne dem Kegel ist offen und zusammenhängend. Es gibt kein Innen und kein Außen.
> Wenn Du nicht gerade in Mantel-Richtung fährst, wirst Du
> irgenwann gegen den Kegel stoßen, entweder von innen oder
> von außen, oder?
und was dies ist, ist willkürlich festgelegt.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Do 04.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Wie liegen die Äquipotenzialflächen für
> > [mm]V=F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2[/mm] zu [mm]V_{1,2}[/mm] mit [mm]V_1
>
> Was sollen [m]V_{1,2}[/m] denn sein? Du hast dich gar nicht mit -V
> auseinandergesetzt!
Deine Einwände sind absolut berchtigt. Meine Vorschläge beziehen sich auf dieses konkrete Problem. Beim recherchieren bin ich nicht fündig geworden wie die Konvention "Normalenvektor zeigt nach aussen" anhand einer allgemeingültigen Regel für zumindest geschlossene glatte Flächen formuliert ist.
Der gegebene Kegel wird durch die Gleichung [mm] x^2+y^2-z^2=0 [/mm] beschrieben
Das Potential für [mm] V=x^2+y^2-z^2 [/mm] ist das die Äquipotentialfläche zu V=0. Natürlich auch für das Potantial V'=-V.
Ich wähle aber V, weil dann die Äquipotentialflächen mit wachsendem V weiter außen liegen.
>
> > >Auch haben wir hier einen offenen Kegel.
> >
> > Na, das ist aber auch kein Argument.
>
> Ich sollte offen vielleicht genauer beschreiben: ich
> fixiere einen Punkt x auf dem Kegel und einen
> Normalenvektor dann folge ich dem Kegel zum Randkreis,
> springe auf die andere Seite und finde zu x zurück, dabei
> flippe ich den Normalenvektor.
Um was zu entscheiden? Verstehe ich nicht.
Habe meiner Tochter (4) einen Kegel gezeigt und eine Kugel hinein gelegt. Sie sagte die, Kugel wäre innen. Dann habe ich die Kugel neben den Kegel gelegt. Sie sagte, sie wäre draußen.
Offenbar gibt es in dieser Situation intuitive eine Anschauung dessen, was innen und außen ist, oder?
Wie würdest Du es denn machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Do 04.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich wähle aber V, weil dann die Äquipotentialflächen mit
> wachsendem V weiter außen liegen.
Das sei dir gegönnt. Aber ia. wird man so etwas nicht konsistent machen könenn.
> > Ich sollte offen vielleicht genauer beschreiben: ich
> > fixiere einen Punkt x auf dem Kegel und einen
> > Normalenvektor dann folge ich dem Kegel zum Randkreis,
> > springe auf die andere Seite und finde zu x zurück, dabei
> > flippe ich den Normalenvektor.
>
> Um was zu entscheiden? Verstehe ich nicht.
Die Wahl innen oder außen ist nicht klar - wenn man in den Randbereich geht weiß man es nicht, und wenn man konsistent sein möchte, kan nman nichts mehr sagen.
> Habe meiner Tochter (4) einen Kegel gezeigt und eine Kugel
> hinein gelegt. Sie sagte die, Kugel wäre innen. Dann habe
> ich die Kugel neben den Kegel gelegt. Sie sagte, sie wäre
> draußen.
Jetzt nimm die Kugel langsam raus - deine Tochster soll schreien, wenn die Kugel draußen ist. Ich bin mir sicher, dass sie das irgendwan tun wird - wohlmöglich dort, wo die Kugel über den gedachten Abschluss des Kegels zum Vollkegel geht.
Von mir aus machen wir es so: wir haben den Randkreis des Kegels, dann suchen wir eine Minimalfläche bzw. eine minimaler Fäche, die den Kegel zu einer topologioschen Mgf. macht, bzw. zu eienr Mgf. mit Ecken und Kanten (ohne Selbstdurchschneiodung). Dann sind deine intuitiven Normalenvektoren die "richtigen" inneren. Im Allgemeinen wird das nicht hinhauen - die Objekte können kompliziert sein.
Zeige deiner Tochter einen Kreis und lege die Kugel danebene - dann frage sie, ob die Kugel innen oder außen ist. Ich glaube, sie zeigt dir den Vogel - ob wohl der KReis nur ein verformter Kegel ist. 
> Offenbar gibt es in dieser Situation intuitive eine
> Anschauung dessen, was innen und außen ist, oder?
Weil man den KEgel hier schließt, intuitiv.
> Wie würdest Du es denn machen?
Gar nicht. Es ist eine willkürliche Wahl und es gibt kein richtig und falsch.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Fr 05.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Gar nicht. Es ist eine willkürliche Wahl und es gibt kein
> richtig und falsch.
Gegeben sei eine Menge [mm] B\subset \IR^n [/mm] (muss nicht kompakt sein).
Die Menge definiert eine Trennung des [mm] \IR^n [/mm] in B und [mm] \IR^n\backslash [/mm] B.
Für Punkte p des Rands setzen wir die Existenz von [mm] C^1 [/mm] - Funktionen
[mm] g_p:U(p)\to \IR [/mm]
voraus, so dass [mm] B\cap U(p)=\{x\in U(p):g_p(x)\le 0\}.
[/mm]
Das Normalenfeld N(p) definieren wir dann mit
[mm] N(p)\perp T_p(\partial [/mm] B)
[mm] a+\epsilon [/mm] N(p) [mm] \not\in [/mm] B
[mm] a-\epsilon [/mm] N(p) [mm] \in [/mm] B
für alle hinreichend kleinen positiven [mm] \epsilon.
[/mm]
Was hältst Du davon?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 05.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Gegeben sei eine Menge [mm]B\subset \IR^n[/mm] (muss nicht kompakt
> sein).
>
> Die Menge definiert eine Trennung des [mm]\IR^n[/mm] in B und
> [mm]\IR^n\backslash[/mm] B.
>
> Für Punkte p des Rands setzen wir die Existenz von [mm]C^1[/mm] -
> Funktionen
>
> [mm]g_p:U(p)\to \IR[/mm]
>
> voraus, so dass [mm]B\cap U(p)=\{x\in U(p):g_p(x)\le 0\}.[/mm]
Du wilslt das B eine n-dim. Mgf. mit Rand im n-dim. Raum ist, oder? Das sieht man daran, dass der rand bei dir an jedem Punkt ein Tangentialraum haben soll. Das solche Mgf. ein Äußeres und Ineeres haben bestreite ich nicht.
> Das Normalenfeld N(p) definieren wir dann mit
>
> [mm]N(p)\perp T_p(\partial[/mm] B)
> [mm]a+\epsilon[/mm] N(p) [mm]\not\in[/mm] B
> [mm]a-\epsilon[/mm] N(p) [mm]\in[/mm] B
Hast du das mal mit dem Kegel gemacht? Was passiert dort am Randkreis? Dort geht diese Definition schief - denn dort gibt es kein Normalenfeld. Auch ist für den Mantel beide Seiten außerhalb des Kegels - da geht das auch nicht.
> Was hältst Du davon?
Ich möchte nicht weiter Ratespielchen machen - bitte lege mir eine (natürliche) Definition von Innen und Außen vor für beliebige (orientierbare) 2-dim. Mgf. im [m]\IR^3[/m], die für den Kegel die Normalenvektoren Richtung z-Achse zeigen lässt. Ansosntne können wir es auch bei "willkürliche Wahl" aus mathematischer PErspektive sein lassen. ;)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 05.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Ich möchte nicht weiter Ratespielchen machen - bitte lege
Schade, wenn das für Dich nur ein Spielchen ist. Ich mache keine Spielchen und stelle Fragen, wenn ich etwas nicht verstehe.
> mir eine (natürliche) Definition von Innen und Außen vor
> für beliebige (orientierbare) 2-dim. Mgf. im [m]\IR^3[/m], die
> für den Kegel die Normalenvektoren Richtung z-Achse zeigen
> lässt. Ansosntne können wir es auch bei "willkürliche
> Wahl" aus mathematischer PErspektive sein lassen. ;)
Ich sehe nicht, wo es Schwierigkeiten geben sollte (außer da, wo der Kegel auf einen Punkt eingeschnürt ist):
Sei p=(x,y,z) und [mm] g(p)=x^2+y^2-z^2 [/mm] und sei [mm] K=\{p\in\IR^3: g(p)\le 0\}.
[/mm]
Der Rand [mm] R=\partial(K) [/mm] von K besteht aus den Punkten für die g(p)=0 gilt, denn gilt für ein q g(q)<0, so gibt es eine Umgebung von q, die ganz in K liegt und gelte g(q)>0, dann gibt es eine Umgebung, die nicht in K liegt. Natürlich gilt genauso -g(p)=0 auf diesem Rand, aber die Willkür ist dadurch beseitigt, dass g herangezogen wurde, um erst einmal K zu definieren und da ist das Vorzeichen relevant.
Um den äußeren Normalenvektor zu bestimmen, bilde [mm] \nabla{g}(p)=2(x,y,-z)
[/mm]
Sei [mm] p\in [/mm] R, [mm] s\in\IR [/mm] und [mm] v=p+s\nabla{g}(p). [/mm] Dann gilt g(v)=g(p)+ s [mm] (\nabla{g}(p))^2 [/mm] + ...=s [mm] (\nabla{g}(p))^2 [/mm] + ... und für hinreichend kleine s gilt dann, dass für für s>0 [mm] v\not\in [/mm] K und für s<0 [mm] v\in [/mm] K. Also können wir als Normalenvektor [mm] N(p)=\nabla{g}(p)/|\nabla{g}(p)|=\frac{1}{|p|}(x,y,-z) [/mm] wählen.
Ich glaube der wesentliche Punkt ist der, dass nicht von vornherein eine 2-dim. Mannigfaltigkeit gegeben ist, für die man innen und außen für das Normalenfeld bestimmen soll, sondern dass der Rand R eines 3-dim. Gebildes K betrachtet wird, welches durch eine Bedingung für den Wertebereich bei einer Abbildung [mm] g:K\subset\IR^3\to I\subset\IR [/mm] gegeben ist.
Was meinst Du?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Fr 05.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaube der wesentliche Punkt ist der, dass nicht von
> vornherein eine 2-dim. Mannigfaltigkeit gegeben ist, für
> die man innen und außen für das Normalenfeld bestimmen
> soll, sondern dass der Rand R eines 3-dim. Gebildes K
> betrachtet wird,
Wenn man das so macht - sicher. Habe ich nie bestritten, sondern sogar vorher ach gepostet. Davon war in der Aufgabe aber nie explizit die Regel. Dann sind wir uns wohl einig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 05.03.2010 | | Autor: | gfm |
Na ja, er erwähnt ja, dass die parametrisch gegebenen Fläche der Mantel eines Kegels sein soll. Und wenn er explizit "Mantel des Kegels" schreibt, hat er implizit auch den Kegel referenziert.
LG
gfm
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