Verständnisfrage zum Beweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei A eine endliche abeslche Gruppe.
Ein Charakter [mm] \mathcal{X} [/mm] von A ist ein Gruppenhomomorphismus [mm] \mathcal{X}:A\rightarrow{\mathbb{T}}, [/mm] sodass für [mm] \mathcal{X} [/mm] gilt:
[mm] \mathcal{X}(ab)=\mathcal{X}(a)\mathcal{X}(b) [/mm] für alle [mm] a,b\in{A}.
[/mm]
In einem Beweis für ein Lemma, das obiger Definiton folgte, wurde gezeigt, dass falls [mm] \mathcal{X} [/mm] ein Charakter von A ist, so auch das zugehörige Inverse [mm] \mathcal{X}^{-1}. [/mm] Dazu wurde die Bedingung [mm] \mathcal{X}^{-1}(a)=\mathcal{X}(a)^{-1} [/mm] benötigt.
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Hallo Leute,
also meine Frage ist nun, wie man auf diese Bedingung kommt, die ich oben angegeben hab.
Kann man das einfach annehmen, weil [mm] \mathcal{X} [/mm] ein Gruppenhomomorphimus ist??
Wär toll, wenn mir dabei jemand weiterhelfen könnte!! Vielen Dank!
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Hiho,
für jeden Gruppenhomomorphismus [mm] $\varphi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H$ gilt doch [mm] $\varphi(g^{-1}) [/mm] = [mm] \varphi(g)^{-1}$
[/mm]
Beweis:
[mm] $\varphi(g)^{-1} [/mm] = [mm] \varphi(g)^{-1}\*e_H [/mm] = [mm] \varphi(g)^{-1}\*\varphi(e_G) [/mm] = [mm] \varphi(g)^{-1}\*\varphi(g \circ g^{-1}) [/mm] = [mm] \varphi(g)^{-1}\*(\varphi(g)\*\varphi(g^{-1})) [/mm] = [mm] (\varphi(g)^{-1}\*\varphi(g))\*\varphi(g^{-1}) [/mm] = [mm] e_H\*\varphi(g^{-1}) [/mm] = [mm] \varphi(g^{-1})$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Danke für die schnelle Antwort.
Allerdings war mir bereits zuvor klar, dass für Gruppenhomomorphismen [mm] \varphi(g^{-1}) [/mm] = [mm] \varphi(g)^{-1} [/mm] bzw. [mm] \mathcal{X}(a^{-1}) [/mm] = [mm] \mathcal{X}(a)^{-1} [/mm] gilt.
Aber das ist doch was anderes als die Bedingung [mm] \mathcal{X}^{-1}(a)=\mathcal{X}(a)^{-1}, [/mm] die im angesprochenen Beweis verwendet wurde oder nicht??
Ansonsten würde ja gelten, dass [mm] \mathcal{X}^{-1}(a)=\mathcal{X}(a^{-1}) [/mm] und das will mir noch nicht so ganz klar werden, warum hierbei Gleichheit gilt.
Könntest du vielleicht noch etwas Licht ins Dunkel bringen? Herzlichen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Do 20.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Aber das ist doch was anderes als die Bedingung
> [mm]\mathcal{X}^{-1}(a)=\mathcal{X}(a)^{-1},[/mm] die im
> angesprochenen Beweis verwendet wurde oder nicht??
Ja, du hast völlig recht.
Die Antwort auf deine Frage ist ziemlich banal: Man definiert [mm] $\mathcal{X}^{-1}:A\to\mathbb{T}$$ [/mm] durch [mm]\mathcal{X}^{-1}(a):=\mathcal{X}(a)^{-1}[/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] A$.
Man kann auf der Menge aller [mm] $\mathbb{T}$-wertigen [/mm] Charaktere von A eine Multiplikation erklären und zeigen, dass diese Menge eine Gruppe bezüglich dieser Multiplikation bildet. Das Inverse eines Charakters [mm] $\mathcal{X}$ [/mm] in dieser Gruppe ist gerade der wie oben definierte Charakter [mm] $\mathcal{X}^{-1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ach so ist das :). Okay dann is alles klar, herzlichen Dank für die Anwort!!
Ich hätte da noch eine kurze Anschlussfrage, bei der es sich kaum lohnt einen neuen Thread aufzumachen.
Und zwar sei nun A eine zyklische Gruppe der Ordnung N, wobei [mm] a\in{A} [/mm] ein Erzeuger von A ist.
Warum ist dann [mm] \mathcal{X}(a)^k=\mathcal{X}(a^k) [/mm] ??
Das hat doch sicher was mit einer Eigenschaft des Gruppernhomomorphimsus zu tun, aber ich komm nicht drauf.
Wär toll, wenn mir das auch noch kurz erklären könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 20.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ach so ist das :). Okay dann is alles klar, herzlichen Dank
> für die Anwort!!
> Ich hätte da noch eine kurze Anschlussfrage, bei der es
> sich kaum lohnt einen neuen Thread aufzumachen.
>
> Und zwar sei nun A eine zyklische Gruppe der Ordnung N,
> wobei [mm]a\in{A}[/mm] ein Erzeuger von A ist.
>
> Warum ist dann [mm]\mathcal{X}(a)^k=\mathcal{X}(a^k)[/mm] ??
> Das hat doch sicher was mit einer Eigenschaft des
> Gruppernhomomorphimsus zu tun, aber ich komm nicht drauf.
> Wär toll, wenn mir das auch noch kurz erklären
> könntest.
Na, das liegt doch daran, dass [mm] $\xi$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist! Es gilt doch z.B. [mm] $\xi(a^3) [/mm] = [mm] \xi(a [/mm] * a * a) = [mm] \xi(a) [/mm] * [mm] \xi(a [/mm] * a) = [mm] \xi(a) [/mm] * [mm] \xi(a) [/mm] * [mm] \xi(a) [/mm] = [mm] \xi(a)^3$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Au man ich Dödel, ja klar :). Vielen Dank!!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:39 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich hätte noch eine letzte abschließende Frage zu den Charakteren.
Bei obiger Antwort wurde von tobit09 schon angesprochen, dass die Menge [mm] \hat{A}, [/mm] also die Menge aller Charaktere [mm] \mathcal{X}:A\rightarrow{\mathbb{T}} [/mm] der Gruppe A, zusammen mit einer geeigneten Multiplikation auch wieder zu einer Gruppe wird.
Meine Frage ist nun, warum auch die Menge aller Abbildungen [mm] \phi:A\rightarrow{\mathbb{T}} [/mm] eine Gruppe bildet.
Das steht genau so in einem Beweis, den ich im Moment versuche zu verstehn. Aber ich tu mich hierbei etwas schwer mit dem Nachprüfen der Eigenschaften einer Gruppe, zumal gar keine Verknüpfung angegeben ist.
Kann da jemand was zu sagen?? Das wär toll. Danke vielmals!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay die Frage hat sich erledigt!!
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