Verständnisfragen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Was trifft beim Würfelwurf unter der Laplace-Annahme für die Ereignisse A = {1, 2, 3},B = {2, 4} und C = {4, 5, 6} zu ?
i. A und B sind unabhängig
ii. B und C sind unabhängig
iii. A und C sind unabhängig. |
| Aufgabe 2 | X sei R(a, b)-verteilt, dann gilt für [mm] \alpha [/mm] ∈ IR:
i. [mm] \alpha*X [/mm] ist [mm] R(\alpha*a, \alpha*b)-verteilt [/mm] für [mm] \alpha [/mm] > 0
ii. [mm] \alpha*X [/mm] ist [mm] R(\alpha*a, \alpha*b)-verteilt [/mm] für [mm] \alpha [/mm] < 0
iii. X − [mm] \alpha [/mm] ist R(a − [mm] \alpha, [/mm] b − [mm] \alpha)-verteilt. [/mm] |
| Aufgabe 3 | X1, . . .Xn seien unabhängig, identisch N(μ, [mm] \sigma^2)-verteilt. [/mm] Dann gilt für Y = X1 + ... + Xn:
i. P(Y ≥ nμ) = 1/2
ii. P(Y ≥ nμ + [mm] √n\sigma) [/mm] = P(X1 ≤ μ − [mm] \sigma)
[/mm]
iii. P(Y ≤ nμ + [mm] \sigma) [/mm] = P(X1 ≥ μ − [mm] \sigma). [/mm] |
Hallo,
das sind Teilaufgaben aus einer Multiplechoiceaufgabe.
Diese Aufgaben konnte ich leider net beantworten. Die Lösungen habe ich, aber kann sie leider net erklären:
A1)i: wahr, ii: wahr, iii: falsch
A2) i: wahr, ii: wahr, iii: wahr
A3) i: wahr, ii: wahr, iii: falsch
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Antworten erklären könnte.
Achso...wegen der Notation, R(a,b) heißt Rechteckverteilt...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für Aufgabe 1:
2 Ereignisse A und B sind genau dann voneinander unabhängig, wenn $p(A)*p(B)=p(A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt!
Zum Rest kann ich leider nichts sagen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
ok danke für die Antwort.
Also ist es so zu verstehen:
Ein Würfel ist laplaceverteilt, also gilt für jedes Ereignis p = 1/6.
Somit ist:
P(A) = 3/6 = 1/2
P(B) = 2/6= 1/3
P(C) = 3/6 = 1/2
i) $ [mm] A\cap [/mm] B $ = {2} -> P($ [mm] A\cap [/mm] B $) = 1/6 = 1/2 * 1/3
ii) $ [mm] B\cap [/mm] C $ = {4} -> P($ [mm] A\cap [/mm] B $) = 1/6 = 1/2 * 1/3
iii) $ [mm] A\cap [/mm] B $ = {} -> P($ [mm] A\cap [/mm] B $) = 0 != 1/2 * 1/2 = 1/4
wäre das so richtig für die erste Aufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau.
Und damit stimmen dann auch die ersten beiden Aussagen und die 3. ist falsch.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Sa 29.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> X sei R(a, b)-verteilt, dann gilt für [mm]\alpha[/mm] ∈ IR:
Ich nehme an, $R(a, b)$ ist die Gleichverteilung auf $[a, b]$ mit $a < b$?
> i. X ist [mm]R(\alpha[/mm] a, [mm]\alpha[/mm] b)-verteilt für [mm]\alpha[/mm] > 0
In dem Fall ist das hier Quark. Soll dort [mm] ``$\alpha [/mm] X$ ist [mm] $R(\alpha [/mm] a, [mm] \alpha [/mm] b)$-verteilt'' stehen?
> ii. [mm]\alpha[/mm] X ist [mm]R(\alpha[/mm] a, [mm]\alpha[/mm] b)-verteilt für
> [mm]\alpha[/mm] < 0
Und hier [mm] ``$\alpha [/mm] X$ ist [mm] $R(\alpha [/mm] b, [mm] \alpha [/mm] a)$-verteilt''?
> iii. X − [mm]\alpha[/mm] ist R(a − [mm]\alpha[/mm] , b − [mm]\alpha[/mm]
> )-verteilt.
Die Abbildung [mm] $\IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] x - [mm] \alpha$ [/mm] bildet das Intervall $[a, b]$ auf $[a - [mm] \alpha, [/mm] b - [mm] \beta]$ [/mm] ab: anschaulich wird es um [mm] $\alpha$ [/mm] nach links verschoben. Insofern wird aus der Gleichverteilung auf $[a, b]$ einfach eine auf $[a - [mm] \alpha, [/mm] b - [mm] \beta]$.
[/mm]
> X1, . . .Xn seien unabhängig, identisch N(μ,
> [mm]\sigma^2)-verteilt.[/mm] Dann gilt für Y = X1 + ... + Xn:
> i. P(Y ≥ nμ) = 1/2
Wegen der ![[]](/images/popup.gif) Invarianz der Normalverteilung unter Faltung ist $Y$ $N(n [mm] \mu, [/mm] n [mm] \sigma^2)$-verteilt. [/mm] Daraus folgt $P(Y [mm] \ge [/mm] n [mm] \mu) [/mm] = 1/2$.
> ii. P(Y ≥ nμ + [mm]√n\sigma)[/mm] = P(X1 ≤ μ − [mm]\sigma)[/mm]
Die Zufallsvariable [mm] $\frac{Y - n \mu}{\sqrt{n}}$ [/mm] ist $N(0, [mm] \sigma^2)$-verteilt, [/mm] also identisch verteilt wie [mm] $X_1 [/mm] - [mm] \mu$. [/mm] Damit gilt $P(Y [mm] \ge [/mm] n [mm] \nu [/mm] + [mm] \sqrt{n} \sigma) [/mm] = [mm] P(\frac{Y - n \mu}{\sqrt{n}} \ge \sigma) [/mm] = [mm] P(X_1 [/mm] - [mm] \mu \ge \sigma)$. [/mm] Da die Verteilung von [mm] $X_1 [/mm] - [mm] \mu$ [/mm] symmetrisch um den Urpsurng ist, folgt [mm] $P(X_1 [/mm] - [mm] \mu \ge \sigma) [/mm] = [mm] P(X_1 [/mm] - [mm] \mu \le -\sigma) [/mm] = [mm] P(X_1 \le \mu [/mm] - [mm] \sigma)$.
[/mm]
> iii. P(Y ≤ nμ + [mm]\sigma)[/mm] = P(X1 ≥ μ − [mm]\sigma).[/mm]
Wie gerade gilt $P(Y [mm] \le [/mm] n [mm] \mu [/mm] + [mm] \sqrt{n} \sigma) [/mm] = [mm] P(X_1 \ge \mu [/mm] − [mm] \sigma)$. [/mm] Allerdings ist $P(Y [mm] \le [/mm] n [mm] \mu [/mm] + [mm] \sqrt{n} \sigma) [/mm] = P(Y [mm] \le [/mm] n [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma)$ [/mm] nur dann der Fall, wenn [mm] $\sigma [/mm] = 0$ ist. Damit sind sie nicht gleich.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
zuerst mal danke für die Antworten.
"Ich nehme an, $ R(a, b) $ ist die Gleichverteilung auf $ [a, b] $ mit $ a < b $? "
Ja R(a,b) ist die stetige Gleichverteilung.
"In dem Fall ist das hier Quark. Soll dort ''$ [mm] \alpha [/mm] X $ ist $ [mm] R(\alpha [/mm] a, [mm] \alpha [/mm] b) $-verteilt'' stehen? "
Ja, ich hab leider mein [mm] \alpha [/mm] beim abtippen vergessen. Wegen dem Leerzeichen...irgendwie wurde es ohne Leerzeichen falsch angezeigt bei mir.
Aufgabe 3 habe ich leider immer noch nicht verstanden.
i.) Wieso ist das überhaupt ne Faltung?
ii) "Die Zufallsvariable $ [mm] \frac{Y - n \mu}{\sqrt{n}} [/mm] $ ist $ N(0, [mm] \sigma^2) [/mm] $-verteilt, also identisch verteilt wie $ [mm] X_1 [/mm] - [mm] \mu [/mm] $."
wieso gilt das? Sind alle Zufallsvariablen, die $ N(0, [mm] \sigma^2) [/mm] $-verteilt sind identisch verteilt? Wieso ist µ = 0?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 30.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> "In dem Fall ist das hier Quark. Soll dort ''[mm] \alpha X[/mm] ist
> [mm]R(\alpha a, \alpha b) [/mm]-verteilt'' stehen? "
> Ja, ich hab leider mein [mm]\alpha[/mm] beim abtippen vergessen.
> Wegen dem Leerzeichen...irgendwie wurde es ohne Leerzeichen
> falsch angezeigt bei mir.
Ok, dann macht das mehr Sinn.
>
> Aufgabe 3 habe ich leider immer noch nicht verstanden.
>
> i.) Wieso ist das überhaupt ne Faltung?
Du addierst unabhaengige Zufallsvariablen zusammen. Die Verteilung der Summe ist dann die Faltung der einzelnden Verteilungen.
> ii) "Die Zufallsvariable [mm]\frac{Y - n \mu}{\sqrt{n}}[/mm] ist
> [mm]N(0, \sigma^2) [/mm]-verteilt, also identisch verteilt wie [mm]X_1 - \mu [/mm]."
>
> wieso gilt das?
Das sind allgemeine Rechenregeln fuer die Normalverteilung. Es gilt ja $E(t X + [mm] \lambda) [/mm] = t E(X) + [mm] \lambda$; [/mm] hat also $X$ den Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] hat, dann hat $t X + [mm] \lambda$ [/mm] den Erwartungswert $t [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda$. [/mm] Und wenn $t = 1$ und [mm] $\lambda [/mm] = [mm] -\mu$ [/mm] ist, dann hat $X - [mm] \mu$ [/mm] den Erwartungswert 0.
Fuer die Varianz gilt $Var(t X + [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \mu^2 [/mm] Var(X)$; hat also $X$ die Varianz [mm] $\sigma^2$, [/mm] so hat $t X + [mm] \lambda$ [/mm] die Varianz [mm] $t^2 \sigma^2$. [/mm] Ist also $t = [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] und [mm] $\lambda [/mm] = [mm] -\frac{n \mu}{\sqrt{n}}$, [/mm] so hat [mm] $\frac{Y - n \mu}{\sqrt{n}} [/mm] = t Y + [mm] \lambda$ [/mm] die Varianz [mm] $\frac{Var(Y)}{n}$ [/mm] (und nach dem oben den Erwartungswert [mm] $\frac{E(Y) - n \mu}{\sqrt{n}}$).
[/mm]
> Sind alle Zufallsvariablen, die [mm]N(0, \sigma^2) [/mm]-verteilt
> sind identisch verteilt?
Ja: identisch verteilt heisst ja gerade, das sie die selbe Verteilung haben.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 30.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Anstelle den Zustand der Frage einfach wieder auf "unbeantwortet" zu stellen koenntest du auch verraten, was deiner Meinung nach noch nicht beantwortet ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
tut mir leid wegen dem unbeantwortet. Ich bin da versehentlich draufgekommen und wusste net wie ich das wieder zurücksetzen könnte.
|
|
|
| |
|
Kann mir jemand noch die 2. Aufgabe erklären? Mit der R(a,b) Verteilung?
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 15.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
