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Hallo zusammen!
Also ich habe da mal kurz ein paar Fragen zur Diagonalisierung.
Und zwar kann es sein, dass eine Matrix, dessen Determinante 0 ist (also nicht invertierbar) trotzdem diagonalsierbar ist?
Und wenn ja, MUSS dann mind. ein Eigenwert 0 sein?
Weil wenn dem nicht so wäre, könnte ich ja quasi die Inverse bestimmen, über die Diagonalierung (Wäre dann ein EW 0, hätte man einen Bruch mit 1/0)
Und wie immer:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.^^
Gruß Mattes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 31.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Guck dir doch einfach mal [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] an. Dann kannst du deine Fragen sicher beantworten. Kannst du daraus z.Bsp. irgendwie ne Matrix konstruieren, so dass die zwei mult. [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] ergeben?(also ne Inverse? Wie sieht das char. Polynom aus? usw.
Gruss leduart
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Nein kann ich nicht, alleine, weil die Det [mm] \not= [/mm] 0
Aber ich dachte mir halt, dass man über diagonalisierung Inverse auch bestimmen kann, d.h. wenn man die (orthonomale) Affinitätsmatrix hat kann man die Diaag.Matrix einfach invertieren.
Sollte in dieser Diag-Matrix ein Eintrag 0 sein, bedeutet das, dass ich die Inverse der Diag-Matrix nicht aufstellen kann!
Deswegen fragte ich mich halt, ob deswegen die Invertierbarkeit von Matrizen udn die Diagonalisierung an einen Eigenwert mit dem Wert 0 gekoppelt ist, weil ich ja ALLE anderen Wetre ausser der 0 invertieren kann [mm] x^{-1}
[/mm]
Gruß und danke für die schnelle Antwort!
Mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 01.09.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Mattes,
unabhängig von der Diagonalisierbarkeit sind die Eigenschaften "ein Eigenwert = 0" und "nicht invertierbar" äquivalent.
"=>" A habe einen Eigenwert 0, d.h. [mm] \exists 0\not=v\in [/mm] V mit Av=0.
Damit ist der A zugeordnete Endomorphismus aber nicht mehr injektiv (v und 0 werden auf 0 abgebildet), dann kann A nicht invertierbar sein.
"<=" Ist A nicht invertierbar, dann bedeutet das nach der Dimensionsformel ja, dass der Kern von A nicht der Nullraum ist. D.h. [mm] \exists 0\not=v\in [/mm] V mit Av=0 - und das ist ja gerade wieder die Bedingung für einen Eigenwert 0.
Gruß
piet
P.S.: Wir reden hier natürlich von endlichdimensionalen Vektorräumen. Bei unendlicher Dimension klappt das wohl nicht mehr so gut...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
OK habe mir das heute nochmal von einem Tutor erklären lassen danke euch auf jeden Fall, aber die Hoffnug bleibt, dass sowas in der Prüfung dann doch nit dran kommt ;)
Gruß
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