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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie den Abstand zwischen folgenden Geraden:
[mm] g_1: \vec{x} [/mm] [mm] \pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] =5
[mm] g_2: \vec{x}= [/mm] [mm] \pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ 2 \\ -1 } [/mm] |
| Aufgabe 2 | Ermitteln Sie den Abstand zwischen den beiden Geraden im [mm] \IR^3.
[/mm]
[mm] g_1: \vec{x}=\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ 2 \\ 3\\1 }
[/mm]
[mm] g_2: \vec{x}=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ 1\\ \bruch{3}{4} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Wie groß ist der Abstand zwischen folgender Ebenen?
[mm] E_1: \vec{x}\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm] =1
[mm] E_2: \vec{x}\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 } [/mm] =5 |
Hallo,
ich habe zurzeit sehr große Schwierigkeiten bei der Berechnung der Abstände von den Vektoren und bräuchte deswegen etwas Hilfe. Die Abstände zwischen zwei verschiedene Punkten kann ich ohne weitere Probleme Lösen, aber sobald es um die Abstände zwischen Ebenen oder Geraden geht, komme ich nicht mehr weiter. Ich habe unten die Formel dafür stehen und hätte gleich dazu eine Frage. Warum ist bei der Formel von Aufgabe 2 ein [mm] \vec{e_a} [/mm] statt [mm] \vec{e_n}?
[/mm]
Bisher weiß ich, dass...
x1 der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden [mm] g_1 [/mm] ist.
x2 der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden [mm] g_2 [/mm] ist.
der Wert hinter [mm] \lambda [/mm] der Richtungsvektor ist.
Ich habe zwar die Lösungen von allen Aufgaben, aber mir geht es darum die Aufgaben und die Vorgehensweisen zu verstehen.
Aufgabe 1: [mm] d=\vmat{ \vec{e_n} * \vec{x_1}-\vec{x_2}} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} * \pmat{1 \\ 2 } * \pmat{1 \\ 2 } - \pmat{0 \\ 1 } }
[/mm]
Bei Aufgabe 1 ist jetzt meine Frage, ob die Zahl [mm] \pmat{1 \\ 2 } [/mm] hinter [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] einfach frei gewählt wurde oder nicht. Falls nein, wie komme ich dann drauf? Die beiden hinteren Zahlen also [mm] \pmat{1 \\ 2 } [/mm] - [mm] \pmat{0 \\ 1 } [/mm] sind ja die Zahlen in der oben vorgegebenen Aufgabe bei [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] vorkamen.
Aufgabe 2: [mm] d=\vmat{ \vec{e_a} \times \vec{x_1}-\vec{x_2}} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}} * \pmat{2 \\ 3 \\ 1 } \times \pmat{1 \\ 2 \\3} - \pmat{1\\0 \\ 0 } }
[/mm]
Hier ist meine Frage, ob die Zahl [mm] \pmat{2 \\ 3 \\ 1 } [/mm] einfach die Zahl bei [mm] g_1 [/mm] hinter [mm] \lambda [/mm] ist oder nicht. Falls nicht, wie komme ich drauf?
Aufgabe 3: [mm] d=\vmat{ \vec{e_n} * \vec{x_1}-\vec{x_2}} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}} * \pmat{1 \\ 2 \\ 3 } \times \pmat{1 \\ 0 \\0} - \pmat{\bruch{1}{2}\\1\\0 }}
[/mm]
Bei der letzten Aufgabe habe ich überhaupt keine Ahnung, woher die ganzen Punkte [mm] \pmat{1 \\ 2 \\ 3 } \times \pmat{1 \\ 0 \\0} [/mm] - [mm] \pmat{\bruch{1}{2}\\1\\0 } [/mm] kommen. Bei [mm] \pmat{1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] kann ich mir schon vorstellen, dass diese Punkte von der Aufgabenstellung stammen, aber woher kommen [mm] \pmat{1 \\ 0 \\0} [/mm] und [mm] \pmat{\bruch{1}{2}\\1\\0}?
[/mm]
Würde mich über Hilfe freuen.
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> Berechnen Sie den Abstand zwischen folgenden Geraden:
> [mm]g_1: \vec{x}[/mm] [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] =5
> [mm]g_2: \vec{x}=[/mm] [mm]\pmat{ 0 \\ 1 }[/mm] + [mm]\lambda \pmat{ 2 \\ -1 }[/mm]
Hallo,
gegeben haben wir hier zwei Geraden in der Ebene.
Es gibt nur zwei Möglichkeiten: entweder sie schneiden sich, oder sie sind parallel.
Im zweiten Fall interessiert man sich für ihren Abstand.
[mm] g_2 [/mm] ist in Parameterform. Diese Form ist Dir vergleichsweise vertraut.
[mm] \pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden (also liegt P(0|1) auf der Geraden),
[mm] \pmat{ 2 \\ -1 } [/mm] ist der Richtungsvektor, der angibt, in welche Richtung die Gerade verläuft.
[mm] g_1 [/mm] ist in Normalenform.
[mm] \vec{n}=\pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] ist ein Normalenvektor von [mm] g_1, [/mm] also ein Vektor, welcher senkrecht zu [mm] g_1 [/mm] ist.
Auf der Geraden [mm] g_1 [/mm] liegen alle Punkte, deren Ortsvektoren [mm] \vec{x} [/mm] die Gleichung [mm] \vec{x}\pmat{ 1 \\ 2 }=5 [/mm] lösen.
Schau mal: der Richtungsvektor von [mm] g_1 [/mm] ist senkrecht zum Normalenvektor von [mm] g_2.
[/mm]
Also sind beide Geraden parallel. (Überlege Dir das genau. Bildchen malen...)
Wir können also den Abstand von [mm] g_2 [/mm] zu [mm] g_1 [/mm] bestimmen, indem wir einfach einen Punkt von [mm] g_2 [/mm] nehmen und gucken, wie weit der von [mm] g_1 [/mm] entfernt ist, denn alle Punkte von [mm] g_2 [/mm] haben denselben Abstand zu [mm] g_1.
[/mm]
Den Abstand kann man verschieden berechnen.
Du möchtest es mit der Formel d=| [mm] \vec{e_n} [/mm] * [mm] \red{(}\vec{x_1}-\vec{x_2}\red{)}| [/mm]
tun, welche aus der Hesseschen Normalform entstanden ist.
[mm] \vec{e_n} [/mm] ist der normierte Normalenvektor, also ein Vektor, der die Länge 1 hat und in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] zeigt.
Man bekommt den Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{e_n} [/mm] so: [mm] \vec{e_n}=\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|},
[/mm]
Hier:
[mm] \vec{n}=\pmat{ 1 \\ 2 }, [/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{1^2+2^2}=\wurzel{5},
[/mm]
[mm] \vec{e_n}=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 \\ 2 }.
[/mm]
[mm] \vec{x_1} [/mm] und [mm] \vec{x_2} [/mm] sind Ortsvektoren von Punkten auf [mm] g_1 [/mm] bzw. [mm] g_2.
[/mm]
Für [mm] \vec{x_2}können [/mm] wir einfach den Stützvektor von [mm] g_2 [/mm] nehmen, also [mm] \vektor{0\\1}.
[/mm]
Jetzt muß man noch einen Punkt auf [mm] g_1 [/mm] finden, also einen Vektor [mm] \vec{x_1} [/mm] der die Gleichung von [mm] g_1 [/mm] löst.
Man kann z.B. nehmen [mm] \vec{x_1}=\vektor{35\\-15} [/mm] - probier's aus!
Damit hätten wir dann:
d=| [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] * [mm] \red{(}\vektor{35\\-15}-\vektor{0\\1}\red{)}| [/mm]
=| [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 1 \\ 2 } *vektor{35\\-16}|=\bruch{3}{\wurzel{5}}
[/mm]
In Deiner Lösung wurde ein anderer [mm] Vektor{x_1} [/mm] verwendet, nämlich [mm] \vec{x_1}=\vektor{1\\2}, [/mm] welcher die Gleichung von [mm] g_1 [/mm] ebenfalls löst.
(Überzeuge Dich davon).
Mit diesem Vektor sollte man denselben Abstand erhalten. Rechne es nach.
> Aufgabe 1: [mm]d=\vmat{ \vec{e_n} * \vec{x_1}-\vec{x_2}}[/mm] =
> [mm]\vmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} * \pmat{1 \\ 2 } * \pmat{1 \\ 2 } - \pmat{0 \\ 1 } }[/mm]
>
> Bei Aufgabe 1 ist jetzt meine Frage, ob die Zahl [mm]\pmat{1 \\ 2 }[/mm]
> hinter [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] einfach frei gewählt wurde
> oder nicht. Falls nein, wie komme ich dann drauf?
Der Vektor hinter dem Bruch ist der Normalenvektor. Unter dem Bruchstrich steht seine Länge.
> Die
> beiden hinteren Zahlen also [mm]\pmat{1 \\ 2 }[/mm] - [mm]\pmat{0 \\ 1 }[/mm]
> sind ja die Zahlen in der oben vorgegebenen Aufgabe bei [mm]g_1[/mm]
> und [mm]g_2[/mm] vorkamen.
Nein, nict ganz.
[mm] \vektor{0\\1}ist [/mm] der Stützvektor von [mm] g_2, [/mm] den konntest Du direkt sehen.
[mm] \vektor{1\\2} [/mm] mußte ma erst ausrechnen. Man braucht an dieser Stelle einen Punkt, der auf [mm] g_1 [/mm] liegt, welchen man der Gleichung von [mm] g_1 [/mm] nicht sofort ansehen kann.
LG Angela
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> [mm]g_1[/mm] ist in Normalenform.
> [mm]\vec{n}=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] ist ein Normalenvektor von [mm]g_1,[/mm] also ein Vektor, welcher senkrecht zu [mm]g_1[/mm] ist.
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 \\ -1} [/mm] = 1*2 + 2*(-1) = 2 - 2 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 90 Grad
Die Zahl [mm] \pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] habe ich von dem Normalenvektor von [mm] g_1 [/mm] und die Zahl [mm] \pmat{ 2 \\ -1} [/mm] ist der Richtungsvektor von [mm] g_2.
[/mm]
Das sie senkrecht sind bekommt man doch so raus, oder?
> Jetzt muß man noch einen Punkt auf [mm]g_1[/mm] finden, also einen Vektor [mm]\vec{x_1}[/mm] der die Gleichung von [mm]g_1[/mm] löst. Man kann z.B. nehmen [mm]\vec{x_1}=\vektor{35\\-15}[/mm] - probier's aus!
Wie konntest du jetzt die Zahl [mm] \vektor{35\\-15} [/mm] rausbekommen?
Aber mit dieser Antwort konntest du mir wirklich weiterhelfen. Der Vektor der 2 mal vorkommt, also [mm] \pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] hatte mich einfach verwirrt.
> In [mm] E_1 [/mm] liegen also z.B. die Punkte [mm] P_1(3|-1|0), Q_1(-4|1|1), [/mm] und [mm] R_1(1|0|0). [/mm] (Prüfe es nach!)
Habe die Punkte überprüft und es kommt immer eine 1 raus.
> In [mm] E_2 [/mm] liegen also z.B. die Punkte [mm] P_2(0|0|\bruch{5}{6}), Q_2(0|\bruch{1}{2}|\bruch{1}{2}), [/mm] und [mm] R_2(\bruch{1}{2}|1|0). [/mm] (Prüfe es nach!)
Hier kommt immer 5 raus, genau wie oben in der Gleichung.
> Wenn Du scharf hinguckst, siehst Du, daß die Normalenvektoren beider Ebenen parallel sind. Also sind die Ebenen parallel, und es ist sinnvoll, sich für deren Abstand zu interessieren.
Sie sind ja parallel, weil [mm] \vec{x}\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm] *2 ergibt [mm] \vec{x}\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 }.
[/mm]
> Und Klammern setzen.
Ich hatte keine großen Eckigen Klammern gefunden, deswegen habe ich sie komplett weggelassen.
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Hallo,
> > [mm]g_1[/mm] ist in Normalenform.
> > [mm]\vec{n}=\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] ist ein Normalenvektor von [mm]g_1,[/mm]
> also ein Vektor, welcher senkrecht zu [mm]g_1[/mm] ist.
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] * [mm]\pmat{ 2 \\ -1}[/mm] = 1*2 + 2*(-1)
> = 2 - 2 = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 90 Grad
> Die Zahl [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] habe ich von dem Normalenvektor
> von [mm]g_1[/mm] und die Zahl [mm]\pmat{ 2 \\ -1}[/mm] ist der
> Richtungsvektor von [mm]g_2.[/mm]
> Das sie senkrecht sind bekommt man doch so raus, oder?
Hm, du solltest mal als erstes damit beginnen, Zahlen von Vektoren zu unterscheiden, denn sonst ist deine Argumentation nur sehr schwer nachvollziehbar.
Deine Überlegung ist aber richtig: das Skalarprodukt des Normalenvektors von [mm] g_1 [/mm] mit dem Richtungsvektor von [mm] g_2 [/mm] ist gleich Null, diese beiden bilden also einen rechten Winkel und die beiden Geraden sind somit parallel. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Jetzt muß man noch einen Punkt auf [mm]g_1[/mm] finden, also einen
> Vektor [mm]\vec{x_1}[/mm] der die Gleichung von [mm]g_1[/mm] löst. Man kann
> z.B. nehmen [mm]\vec{x_1}=\vektor{35\\-15}[/mm] - probier's aus!
>
> Wie konntest du jetzt die Zahl [mm]\vektor{35\\-15}[/mm]
> rausbekommen?
>
Eine Gerade besteht ja immerhin aus nichts weniger als aus unendlich vielen Punkten, so dass man schon den einen oder anderen finden kann. 
Jeder Punkt, der die Gleichung
[mm] x_1+2x_2=5
[/mm]
löst, liegt auf [mm] g_1. [/mm] Vielleicht hätte es nicht unbedingt den verwirrenden Vektor [mm] \vektor{35\\-15} [/mm] gebraucht, der Vektor [mm] \vektor{1\\2} [/mm] tut es ebenso, wie jeder andere, der obige Gleichung löst.
> Aber mit dieser Antwort konntest du mir wirklich
> weiterhelfen. Der Vektor der 2 mal vorkommt, also [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm]
> hatte mich einfach verwirrt.
Das kann man nicht wirklich nachvollziehen bzw. verstehen. Formuliere deine Anliegen präziser!
Und berechne dann jetzt noch den gesuchten Abstand wie beschrieben!
> > In [mm]E_1[/mm] liegen also z.B. die Punkte [mm]P_1(3|-1|0), Q_1(-4|1|1),[/mm]
> und [mm]R_1(1|0|0).[/mm] (Prüfe es nach!)
> Habe die Punkte überprüft und es kommt immer eine 1
> raus.
Ja, und das heißt, dass die Punkte in [mm] E_1 [/mm] liegen!
>
> > In [mm]E_2[/mm] liegen also z.B. die Punkte [mm]P_2(0|0|\bruch{5}{6}), Q_2(0|\bruch{1}{2}|\bruch{1}{2}),[/mm]
> und [mm]R_2(\bruch{1}{2}|1|0).[/mm] (Prüfe es nach!)
> Hier kommt immer 5 raus, genau wie oben in der Gleichung.
Dito, nur liegen sie hier in [mm] E_2.
[/mm]
> > Wenn Du scharf hinguckst, siehst Du, daß die
> Normalenvektoren beider Ebenen parallel sind. Also sind die
> Ebenen parallel, und es ist sinnvoll, sich für deren
> Abstand zu interessieren.
>
> Sie sind ja parallel, weil [mm]\vec{x}\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm] *2
> ergibt [mm]\vec{x}\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 }.[/mm]
>
> > Und Klammern setzen.
> Ich hatte keine großen Eckigen Klammern gefunden, deswegen
> habe ich sie komplett weggelassen.
Und was ist jetzt hier deine Frage?
Also mein ehrlicher Ratschlag an dich wäre der, bevor du hier weitermachst nochmals dein Schulbuch/Skript oder was auch immer zur Hand zu nehmen und die wichtigsten Basics nachzulesen. Denn die Aufgaben hier sind ehrlich gesagt so einfach, dass sie für jeden, der den Stoff gelernt und verstanden hat, im Handumdrehen lösbar sind. Und deine Verwendung der Begrifflichkeiten rund um die Vektorrechnung zeigt eben, dass du dich mit dem Stoff noch nicht wirklich gründlich auseinandergesetzt hast.
Gruß, Diophant
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>
> Ermitteln Sie den Abstand zwischen den beiden Geraden im
> [mm]\IR^3.[/mm]
> [mm]g_1: \vec{x}=\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]\lambda \pmat{ 2 \\ 3\\1 }[/mm]
>
> [mm]g_2: \vec{x}=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda \pmat{ 1\\ \bruch{3}{4} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Aufgabe 2: [mm]d=\vmat{ \vec{e_a} \times \vec{x_1}-\vec{x_2}}[/mm] =
> [mm]\vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}} * \pmat{2 \\ 3 \\ 1 } \times \pmat{1 \\ 2 \\3} - \pmat{1\\0 \\ 0 } }[/mm]
>
> Hier ist meine Frage, ob die Zahl [mm]\pmat{2 \\ 3 \\ 1 }[/mm]
> einfach die Zahl bei [mm]g_1[/mm] hinter [mm]\lambda[/mm] ist oder nicht.
> Falls nicht, wie komme ich drauf?
Hallo,
[mm] \vec{e_a} [/mm] ist der Einheitsvektor in Richtung des Richtungsvektors der ersten Geraden,
also ist [mm] \vec{e_a} =\bruch{\pmat{ 2 \\ 3\\1 }}{|\pmat{ 2 \\ 3\\1 }|}=\bruch{\pmat{ 2 \\ 3\\1 }}{\wurzel{2^2+3^2+1^2}}=\bruch{\vektor{ 2 \\ 3\\1 }}{\wurzel{14}}=\bruch{1}{\wurzel{14}}\pmat{ 2 \\ 3\\1 }.
[/mm]
[mm] \vec{x_1} [/mm] und [mm] \vec{x_2} [/mm] sind die Stützvektoren der beiden Geraden.
LG Angela
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Wie groß ist der Abstand zwischen folgender Ebenen?
> [mm]E_1: \vec{x}\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm] =1
> [mm]E_2: \vec{x}\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 }[/mm] =5
Hallo,
wir haben hier zwei Geraden in Normalenfom.
der Vektor [mm] \vektor{1\\2\\3}ist [/mm] ein Normalenvektor der Ebene [mm] E_1.
[/mm]
also ein Vektor, der senkrecht auf [mm] E_1 [/mm] steht.
Alle Punkte, deren Ortsvektoren [mm] \vec{x} [/mm] die Gleichung lösen, liegen in [mm] E_1.
[/mm]
In [mm] E_1 [/mm] liegen also z.B. die Punkte [mm] P_1(3|-1|0), Q_1(-4|1|1), [/mm] und [mm] R_1(1|0|0).
[/mm]
(Prüfe es nach!)
Der Vektor [mm] \vektor{2\\4\\6} [/mm] ist ein Normalenvektor der Ebene [mm] E_2.
[/mm]
also ein Vektor, der senkrecht auf [mm] E_2 [/mm] steht.
Alle Punkte, deren Ortsvektoren [mm] \vec{x} [/mm] die Gleichung lösen, liegen in [mm] E_2.
[/mm]
In [mm] E_2 [/mm] liegen also z.B. die Punkte [mm] P_2(0|0|\bruch{5}{6}), Q_2(0|\bruch{1}{2}|\bruch{1}{2}), [/mm] und [mm] R_2(\bruch{1}{2}|1|0).
[/mm]
(Prüfe es nach!)
Wenn Du scharf hinguckst, siehst Du, daß die Normalenvektoren beider Ebenen parallel sind.
Also sind die Ebenen parallel, und es ist sinnvoll, sich für deren Abstand zu interessieren.
[mm] d=\vmat{ \vec{e_n} *\red{(} \vec{x_1}-\vec{x_2}\red{)}}
[/mm]
[mm] \vec{e_n} [/mm] ist der Normaleneinheitsvektor der ersten Ebene, [mm] \vec{x_1} [/mm] bzw. [mm] \vec{x_2} [/mm] sind Ortsvektoren von Punkten auf [mm] E_1 [/mm] bzw. [mm] E_2.
[/mm]
Den Normaleneinheitsvektor bekommst Du so: [mm] \vec{e_n}=\bruch{\vec{e_n}}{|\vec{e_n}|},
[/mm]
einige Punkte der Ebenen habe ich oben ausgerechnet.
> Aufgabe 3: [mm]d=\vmat{ \vec{e_n} * \red{(} \vec{x_1}-\vec{x_2} \red{)}}[/mm] =
[mm] >\green{ \vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}} * \pmat{1 \\ 2 \\ 3 } \times \pmat{1 \\ 0 \\0} - \pmat{\bruch{1}{2}\\1\\0 }}}
[/mm]
Neiiiiin!!!! Kein Kreuzprodukt! Skalarprodukt.
Und Klammern setzen.
Also:
...= [mm] \vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}} \pmat{1 \\ 2 \\ 3 }*(\pmat{1 \\ 0 \\0} - \pmat{\bruch{1}{2}\\1\\0 })}
[/mm]
Mit anderen Punkten solltest Du zum selben Ergebnis kommen.
Probier's aus.
LG Angela
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