Verständnisfragen zu z^n < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Mi 13.01.2016 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | z.B [mm] z^{4}=-sqr(2)+sqr(2)i
[/mm]
Geben sie ALLE Lösungen dieser Gleichung an. |
Also wie man es macht ist mir klar, zum Beweis:
[mm] z^{4}=-\wurzel{2}+\wurzel{2}i
[/mm]
zuerst in Polardarstellung bringen
[mm] r=\wurzel{(-\wurzel{2})^{2}+(\wurzel{2})^{2}}=\wurzel{2+2}=\wurzel{4}=2
[/mm]
[mm] \phi=arctan(\bruch{\wurzel{2}}{-\wurzel{2}})-\pi=arctan(-1)-\pi=-\bruch{1}{4}-\pi=\bruch{-1-4*\pi}{4}=\bruch{-5}{4}\pi \Rightarrow
[/mm]
[mm] z^{4}=2e^{i\bruch{-5}{4}\pi}\Rightarrow [/mm]
[mm] z=\wurzel[4]{2e^{i\bruch{-5}{4}\pi}}=\wurzel[4]{2}\wurzel[4]{e^{i\bruch{-5}{4}\pi}}=\wurzel[4]{2}e^{\bruch{i\bruch{-5}{4}\pi}{4}}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{-5}{16}\pi}=z_{0}
[/mm]
um alle Lösungen zu bekommen müssen wir noch [mm] \bruch{\phi}{4}+k*2\pi [/mm] rechnen mit k={0,1,2,3} wobei wir k=0 schon haben.
[mm] \phi_{0}=\bruch{-5}{4}\pi+0*2\pi=\bruch{-5}{4}\pi/4=\bruch{-5}{16}\pi
[/mm]
[mm] \phi_{1}=\bruch{-5}{4}\pi+1*2\pi=\bruch{3}{4}\pi/4=\bruch{3}{16}\pi
[/mm]
[mm] \phi_{2}=\bruch{-5}{4}\pi+2*2\pi=\bruch{11}{4}\pi/4=\bruch{11}{16}\pi
[/mm]
[mm] \phi_{3}=\bruch{-5}{4}\pi+3*2\pi=\bruch{19}{4}\pi/4=\bruch{19}{16}\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] z_{0}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{-5}{16}\pi}
[/mm]
[mm] z_{1}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{3}{16}\pi}
[/mm]
[mm] z_{2}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{11}{16}\pi}
[/mm]
[mm] z_{3}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{19}{16}\pi}
[/mm]
Soweit so Falsch. In der Lösung gehen sie dieses mal von k={1,2,3,4} aus womit [mm] z_{0} [/mm] zu [mm] z_{1} [/mm] wird und dementsprechend es von [mm] z_{1} [/mm] bis [mm] z_{4} [/mm] geht. In anderen Lösungen ist es wieder von [mm] z_{0} [/mm] bis [mm] z_{3}. [/mm]
Kann man sich das aussuchen ? Was wäre nun Korrekt ?
Ausserdem verstehe ich nicht wieso man das [mm] k*2\pi [/mm] dazurechnet. Ich verstehe das es komplexe Vielfache der Lösung sind. Müsste man aber wenn man ALLE Lösungen will dann nicht von k=0 bis k=unendlich gehen ? Wieso nur bis k=4 bzw k=3 ?
Vielen Dank für eure Antworten =)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:06 Mi 13.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> z.B [mm]z^{4}=-sqr(2)+sqr(2)i[/mm]
>
> Geben sie ALLE Lösungen dieser Gleichung an.
> Also wie man es macht ist mir klar, zum Beweis:
>
> [mm]z^{4}=-\wurzel{2}+\wurzel{2}i[/mm]
>
> zuerst in Polardarstellung bringen
>
> [mm]r=\wurzel{(-\wurzel{2})^{2}+(\wurzel{2})^{2}}=\wurzel{2+2}=\wurzel{4}=2[/mm]
>
> [mm]\phi=arctan(\bruch{\wurzel{2}}{-\wurzel{2}})-\pi=arctan(-1)-\pi=-\bruch{1}{4}-\pi=\bruch{-1-4*\pi}{4}=\bruch{-5}{4}\pi \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]z^{4}=2e^{i\bruch{-5}{4}\pi}\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]z=\wurzel[4]{2e^{i\bruch{-5}{4}\pi}}=\wurzel[4]{2}\wurzel[4]{e^{i\bruch{-5}{4}\pi}}=\wurzel[4]{2}e^{\bruch{i\bruch{-5}{4}\pi}{4}}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{-5}{16}\pi}=z_{0}[/mm]
>
> um alle Lösungen zu bekommen müssen wir noch
> [mm]\bruch{\phi}{4}+k*2\pi[/mm] rechnen mit k={0,1,2,3} wobei wir
> k=0 schon haben.
>
> [mm]\phi_{0}=\bruch{-5}{4}\pi+0*2\pi=\bruch{-5}{4}\pi/4=\bruch{-5}{16}\pi[/mm]
>
> [mm]\phi_{1}=\bruch{-5}{4}\pi+1*2\pi=\bruch{3}{4}\pi/4=\bruch{3}{16}\pi[/mm]
>
> [mm]\phi_{2}=\bruch{-5}{4}\pi+2*2\pi=\bruch{11}{4}\pi/4=\bruch{11}{16}\pi[/mm]
>
> [mm]\phi_{3}=\bruch{-5}{4}\pi+3*2\pi=\bruch{19}{4}\pi/4=\bruch{19}{16}\pi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]z_{0}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{-5}{16}\pi}[/mm]
> [mm]z_{1}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{3}{16}\pi}[/mm]
> [mm]z_{2}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{11}{16}\pi}[/mm]
> [mm]z_{3}=\wurzel[4]{2}e^{i\bruch{19}{16}\pi}[/mm]
>
> Soweit so Falsch. In der Lösung gehen sie dieses mal von
> k={1,2,3,4} aus womit [mm]z_{0}[/mm] zu [mm]z_{1}[/mm] wird und
> dementsprechend es von [mm]z_{1}[/mm] bis [mm]z_{4}[/mm] geht. In anderen
> Lösungen ist es wieder von [mm]z_{0}[/mm] bis [mm]z_{3}.[/mm]
>
> Kann man sich das aussuchen ? Was wäre nun Korrekt ?
Die Nummerierung ist doch völlig schnuppe !!
Üblich ist aber [mm] z_0,...,z_3,
[/mm]
oder bei n-ten Wurzeln [mm] z_0,....,z_{n-1}.
[/mm]
>
> Ausserdem verstehe ich nicht wieso man das [mm]k*2\pi[/mm]
> dazurechnet.
Weil man damit alle(!) Lösungen der Gleichung $ [mm] z^{4}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i [/mm] $ bekommt.
> Ich verstehe das es komplexe Vielfache der
> Lösung sind. Müsste man aber wenn man ALLE Lösungen will
> dann nicht von k=0 bis k=unendlich gehen ? Wieso nur bis
> k=4 bzw k=3 ?
Die Gl. $ [mm] z^{4}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i [/mm] $ hat genau die Lösungen
[mm] z_0,...,z_3.
[/mm]
Für k [mm] \ge [/mm] 4 oder k [mm] \le [/mm] -1 ist
[mm] z_k \in \{ z_0,...,z_3\}
[/mm]
FRED
> Vielen Dank für eure Antworten =)
>
|
|
|
|
