Verständnisproblem Restglied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Sa 17.09.2011 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Satz:
Die Exponentialreihe konvergiert für alle x [mm] \in \IR [/mm] absolut, und es gilt die Restgliedabschätzung:
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{k!}+r_{n+1}(x),
[/mm]
wobei [mm] |r_{n+1}(x)| \le 2*\bruch{|x|^n+1}{(n+1)!} [/mm] |
Guten Abend,
ich habe ein Verständnisproblem bei dem Beweis des obigen Satzes bezüglich der Restgliedabschätzung. Ich zitiere: "Wir setzen [mm] r_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] an.
[mm] r_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} \le r_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{|x^k|}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} [/mm] * ( 1+ [mm] \bruch{|x|}{(n+2)} [/mm] + ... + [mm] \bruch{|x|^{j}}{(n+2)*..*(n+j+1)}+..) \le \bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{|x|}{n+2})^{k}. [/mm] " Bis hier ist mir noch alles klar. Aber nun kommts:
"Die Behauptung folgt für [mm] \bruch{|x|}{n+2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1, denn..." Wieso darf ich diese Ungleichung einfach so voraussetzen? Das verstehe ich leider nicht. Der darauffolgende Rest ist mir dann wieder klar: " [mm] \bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{|x|}{n+2})^{k} \le \bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}*\bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} [/mm] = [mm] 2*\bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!}."
[/mm]
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Hi,
du kannst die Ungleichung voraussetzen, weil du sie voraussetzt. D.h. betrachtest nicht mehr alle möglichen Werte, sondern nur die für die die Ungleichung gilt, und dann kannst du das natürlich voraussetzten. Für solche Werte, die die nicht erfüllen, gilt der Beweis jedoch nicht.
LG Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 So 18.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julia,
> Hi,
>
> du kannst die Ungleichung voraussetzen, weil du sie
> voraussetzt. D.h. betrachtest nicht mehr alle möglichen
> Werte, sondern nur die für die die Ungleichung gilt, und
> dann kannst du das natürlich voraussetzten. Für solche
> Werte, die die nicht erfüllen, gilt der Beweis jedoch
> nicht.
kurzgesagt: Der obige Beweis gilt, wenn $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest ist, nur ab dem [mm] $n\,,$ [/mm] ab dem
$$|x|/(n+2) < 1/2$$
gilt.
Das ist eigentlich nur einer von 2 möglichen Fällen. In dem Beweis wäre also noch zu ergänzen, was für die (endlich vielen) [mm] $n\,$'s [/mm] ist, die
$$|x|/(n+2) [mm] \ge [/mm] 1/2$$
erfüllen.
Vielleicht steht in der Aufgabe aber auch sowas wie, dass die Restgliedabschätzung "für alle hinreichend große [mm] $n\,$" [/mm] gilt (wobei diese "Größe" von $x [mm] \in \IR$ [/mm] abhängen darf und wird). Dann wäre der Beweis in der Tat so vollständig.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 So 18.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Satz:
> Die Exponentialreihe konvergiert für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> absolut, und es gilt die Restgliedabschätzung:
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{k!}+r_{n+1}(x),[/mm]
>
> wobei [mm]|r_{n+1}(x)| \le 2*\bruch{|x|^n+1}{(n+1)!}[/mm]
> Guten
> Abend,
>
> ich habe ein Verständnisproblem bei dem Beweis des obigen
> Satzes bezüglich der Restgliedabschätzung. Ich zitiere:
> "Wir setzen [mm]r_{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
> an.
>
> [mm]r_{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} \le r_{n+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{|x^k|}{k!}[/mm] =
> [mm]\bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!}[/mm] * ( 1+ [mm]\bruch{|x|}{(n+2)}[/mm] + ... +
> [mm]\bruch{|x|^{j}}{(n+2)*..*(n+j+1)}+..) \le \bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{|x|}{n+2})^{k}.[/mm]
> " Bis hier ist mir noch alles klar. Aber nun kommts:
> "Die Behauptung folgt für [mm]\bruch{|x|}{n+2}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> < 1, denn..." Wieso darf ich diese Ungleichung einfach so
> voraussetzen? Das verstehe ich leider nicht. Der
> darauffolgende Rest ist mir dann wieder klar: "
> [mm]\bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{|x|}{n+2})^{k} \le \bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!} \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{k}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}*\bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!}[/mm] =
> [mm]2*\bruch{|x^{n+1}|}{(n+1)!}."[/mm]
was auf jeden Fall geht, ist, dass Du, da das [mm] $x\,$ [/mm] zwar beliebig, aber fest ist, und damit $|x| < [mm] \infty$ [/mm] ist, zunächst einmal annehmen kannst, dass $n [mm] \ge [/mm] N$ ist mit einem $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass
$$|x|/(N+2) < [mm] 1/2\,.$$
[/mm]
Solch ein [mm] $N\,$ [/mm] gibt es, weil $1/n [mm] \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Und damit gilt natürlich auch
$$|x|/(n+2) [mm] \le [/mm] |x|/(N+2) < 1/2$$
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Damit hätte man gezeigt, dass es für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] jedenfalls ein $N=N(x) [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$e^x=\sum_{k=0}^n \ldots+ r_{n+1}(x)$$ [/mm]
mit
[mm] $$|r_{n+1}(x)| \le \ldots$$
[/mm]
gibt. Nämlich jedenfalls dann, wenn $N=N(x)$ so gewählt ist, dass
$$|x|/(N+2) < 1/2$$
ist.
Da fehlen aber (für jedes [mm] $x\,$ [/mm] jeweils) noch endlich viele [mm] $n\,$'s, [/mm] für die der Beweis noch erbracht werden muss. Nämlich alle [mm] $n\,,$ [/mm] für die
$$|x|/(n+2) [mm] \ge [/mm] 1/2$$
ist. Steht dazu nichts in dem Beweis? Evtl. ist die Aussage dann vielleicht trivial (ich habe es mir nur momentan auch noch nicht wirklich angeguckt).
Prinzipiell sollte in dem Beweis eigentlich eine Fallunterscheidung sein. Wobei der von Dir erwähnte Fall aber in der Tat auch der interessantere ist. Denn dort geht es "um alle bis auf endlich viele [mm] $n\,$" [/mm] (wenngleich die Anzahl der endlich vielen auch von [mm] $x\,$ [/mm] abhängen).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 So 18.09.2011 | | Autor: | diab91 |
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> Da fehlen aber (für jedes [mm]x\,[/mm] jeweils) noch endlich viele
> [mm]n\,[/mm]'s, für die der Beweis noch erbracht werden muss.
> Nämlich alle [mm]n\,,[/mm] für die
> [mm]|x|/(n+2) \ge 1/2[/mm]
> ist. Steht dazu nichts in dem Beweis?
> Evtl. ist die Aussage dann vielleicht trivial (ich habe es
> mir nur momentan auch noch nicht wirklich angeguckt).
>
> Prinzipiell sollte in dem Beweis eigentlich eine
> Fallunterscheidung sein. Wobei der von Dir erwähnte Fall
> aber in der Tat auch der interessantere ist. Denn dort geht
> es "um alle bis auf endlich viele [mm]n\,[/mm]" (wenngleich die
> Anzahl der endlich vielen auch von [mm]x\,[/mm] abhängen).
Der Beweis ist so, laut Buch vollständig. Ich denke ich habe ihn nun verstanden. Danke :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 So 18.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Beweis ist so, laut Buch vollständig. Ich denke ich
> habe ihn nun verstanden. Danke :).
gerne. Zwei Sachen:
1.) Dann ist der Fall für die (endlich vielen) anderen [mm] $n\,$'s [/mm] (für den Autor jedenfalls) vermutlich sehr leicht.
2.) Aus welchem Buch ist denn der Beweis?
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 18.09.2011 | | Autor: | diab91 |
Zu 2) "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1". Autoren sind Florian Modler und Martin Kreh.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 So 18.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu 2) "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1". Autoren
> sind Florian Modler und Martin Kreh.
okay, ich werd' mal schauen, ob ich da demnächst mal reingucken kann. Danach sag' ich Dir, ob da noch was fehlt oder nicht - sofern ich reingucken kann 
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Di 20.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Satz:
> Die Exponentialreihe konvergiert für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> absolut, und es gilt die Restgliedabschätzung:
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{k!}+r_{n+1}(x),[/mm]
> wobei $ [mm] |r_{n+1}(x)| \le 2\cdot{}\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] $
diese Abschätzung gilt nicht für alle, sondern nur für (je nach [mm] $x\,$) [/mm] genügend große [mm] $n\,.$ [/mm] (Das erkennt man auch an dem Beweis!)
Beispiel:
[mm] $$e^5=148,4... \ge [/mm] 148$$
und mit $n=1$ ist
[mm] $$e^5=1+5+r_{1+1}\,,$$
[/mm]
also [mm] $|r_2|\ge 142\,.$
[/mm]
Jedoch ist
[mm] $$2*|5|^2/(1+1)!=25$$
[/mm]
damit sicher nicht [mm] $\ge |r_2|\,$!!!
[/mm]
Auch für [mm] $n=2\,$ [/mm] wäre
[mm] $$1+5+25/2+r_3 \ge 148\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$r_3 \ge 129\,,$$
[/mm]
allerdings ist damit
[mm] $$|r_3| \le 2*|5|^3/3!=125/3$$
[/mm]
sicher auch falsch.
Daher: Der Satz sollte dahingehend "genauer" formuliert werden - zum Beispiel sollte dort stehen, dass die Abschätzung für fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) [mm] $n\,$ [/mm] gilt.
Grüße,
Marcel
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