Verständnissproblem DGLs < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Di 03.04.2007 | | Autor: | Lueger |
Hallo,
wir lösen 2 Arten von Differentialgleichungen.
Separierbare DGLs sind soweit klar.
Dann müssen wir noch linerare DGLs 1 Ordnung lösen können
Form:
[mm]y' + g(x) + y = h(x)[/mm]
Schritte
1. Lösen der homogen DGL (mit Separation) [ist klar]
Dann nehmen wir die Lösung der homogenen DGL und führen eine Variation der Konstanten durch
[mm]c = c(x)[/mm]
Hier meine erste Frage. Warum macht man das? Klar man möchte eine Lösung, aber mir fehlt irgendwie eine Erklärung.
Wenn die homogene [mm]y_{homogen}= c * \bruch{1}{x+1} [/mm]war folgt daraus [mm]c(x) * \bruch{1}{x+1}[/mm]
Warum ist das jetzt auf einmal die inhomogene DGL?
Weil wir haben nun aufgeschrieben
[mm] y_{inhomogen}=c(x) * \bruch{1}{x+1}[/mm]
Dies haben wir dann in die (wirkliche) inhomogene DGL eingesetz und so c(x) ermittelt
Dann galt auf einmal
[mm]y=y_{homogen}+y_{inhomogen}[/mm]
Warum?
Ich hoffe man kann meine Fragen verstehen. Das System kann ich runterrechnen, aber am Verständnis mangelt es sehr :-D
Warum man nur eine Lösungen der inhomogenen DGL braucht um alle Lösungen der "ganzen" DGL zu bekommen, haben wir bewießen und ist auch klar.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Lueger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Di 03.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo Lueger
> Hallo,
>
> wir lösen 2 Arten von Differentialgleichungen.
> Separierbare DGLs sind soweit klar.
>
> Dann müssen wir noch linerare DGLs 1 Ordnung lösen können
> Form:
>
> [mm]y' + g(x) + y = h(x)[/mm]
hier wohl * statt + also
> [mm]y' + g(x)* y = h(x)[/mm]
> Schritte
> 1. Lösen der homogen DGL (mit Separation) [ist klar]
>
> Dann nehmen wir die Lösung der homogenen DGL und führen
> eine Variation der Konstanten durch
> [mm]c = c(x)[/mm]
>
> Hier meine erste Frage. Warum macht man das? Klar man
> möchte eine Lösung, aber mir fehlt irgendwie eine
> Erklärung.
Die beste Erklaerung ist, dass es oft funktioniert.
eine gewisse Erklaerung ist, dass man fuer c(x)=const die Gleichung mit rechter Seite 0 kann, und mit rechter Seite [mm] \ne0 [/mm] ist die Loesung falsch. Warum nicht das einfachste ausprobieren, sehen, ob man durch Veraenderung der konstanten was erreicht? Immer kriegt man das uebrigens nicht hin, die Dgl fuer C(x) kann man nicht immer loesen!
> Wenn die homogene [mm]y_{homogen}= c * \bruch{1}{x+1} [/mm]war folgt
> daraus [mm]c(x) * \bruch{1}{x+1}[/mm]
>
>
> Warum ist das jetzt auf einmal die inhomogene DGL?
Das ist NICHT die inhomogene Dgl, sondern ein Ansatz (Versuch) einer Loesung der inh. Dgl.
NUR WENN man durch differenzieren und einsetzen in die Dgl. ein C(x) findet, so dass die Dgl. erfuellt ist, dann ist erst mit diesem C(x) eine Loesung der inhomogenen gefunden.
Es ist genauso richtig und gut, einfach eine Loesung der inhomogenen zu raten! und durch einsetzen zu bestaetigen! Meistens ist das schneller!
> Weil wir haben nun aufgeschrieben
>
> [mm]y_{inhomogen}=c(x) * \bruch{1}{x+1}[/mm]
>
> Dies haben wir dann in die (wirkliche) inhomogene DGL
> eingesetz und so c(x) ermittelt
>
> Dann galt auf einmal
>
> [mm]y=y_{homogen}+y_{inhomogen}[/mm]
>
> Warum?
Unten schreibst du, dass du das mit der einen Loesg der inh. verstanden hast, und nachdem man c(x) hat hat man ja eine spezielle loesung. dass es eine ist hat man durch einsetzen bewiesen.
Ich hoff das macht es etwas klarer.
Gruss leduart
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Lueger |
Hallo leduart,
vielen Dank für deine Antwort.
Stehe wohl etwas auf dem Schlauch.
Zusammenfassend kann man sagen ich errechne mir die Lösungen der homogen DGL, mache die Konstante variabel und setze diese in die eigentlich zu lösende inhomogene DGL ein und hoffe, dass ich eine Lösung finde. Das gefunden c(x) setze ich in die homogene DGL ein und habe nun eine eine Lösung der inhomogenen DGL
Um alle Lösungen zu erhalten bilde ich die Summe aus der homogenen DGL(mit Konstante C) und der einen Lösung der inhomogenen DGL, da sich die Lösungen der inhomgenen DGL nur um vielfache der homogenen DGL unterscheiden.
Ist das richtig?????
Eine Lösung zu erraten ist bei uns aufgrund der Aufgabenstellung nicht möglich. In den Prüfungsbüchern steht überall Lsg. durch Variation der Konstanten...
Trotzdem würde mich es sehr interessieren wie man bei solchen Termen eine Lösung "errät".
z.B. bei unserm Einführungsbeispiel.
[m]y'+\bruch{1}{x+1}*y=(x+1)^3[/m]
Gibt es irgendwelche Seiten im Internet wo das noch mal anschaulich erklärt ist? In unserm Schulbuch ist leider nichts darüber zu finden.
Liebe Grüße
Lueger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Mi 04.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Lueger
> Zusammenfassend kann man sagen ich errechne mir die
> Lösungen der homogen DGL, mache die Konstante variabel und
> setze diese in die eigentlich zu lösende inhomogene DGL ein
Nein, du setzt nicht die Konstante sondern f(x)=C(x)*g(x) in die Dgl. ein, wenn c*g(x)die Loesung der homogenen ist.
> und hoffe, dass ich eine Lösung finde. Das gefunden c(x)
> setze ich in die homogene DGL ein und habe nun eine eine
> Lösung der inhomogenen DGL
Du setzt nicht in die Dgl sondern in f(x) ein!
>
> Um alle Lösungen zu erhalten bilde ich die Summe aus der
> homogenen DGL(mit Konstante C) und der einen Lösung der
> inhomogenen DGL, da sich die Lösungen der inhomgenen DGL
> nur um vielfache der homogenen DGL unterscheiden.
>
> Ist das richtig?????
Mit meinen Korrekturen ja.
>
> Eine Lösung zu erraten ist bei uns aufgrund der
> Aufgabenstellung nicht möglich. In den Prüfungsbüchern
> steht überall Lsg. durch Variation der Konstanten...
Das klappt auch bei Dgl. ersten Grades immer!
> Trotzdem würde mich es sehr interessieren wie man bei
> solchen Termen eine Lösung "errät".
> z.B. bei unserm Einführungsbeispiel.
>
> [m]y'+\bruch{1}{x+1}*y=(x+1)^3[/m]
Ich finde man sieht direkt, dass das ne Loesung der Form [mm] y=A*(x+1)^4 [/mm] hat. weil y' dann ja hoch 3 ist .
also probier ich das aus und setz es in die Dgl ein und bestimme A sodass sie stimmt.
stuende rechts nur x+1 wuerd ich [mm] A*(x+1)^2 [/mm] probieren. stuende rechts 7 wuerd ich A*(x+1) probieren usw.
Seiten , wo das anschaulich erklaert ist, weiss ich leider keine
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:49 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Lueger |
Hallo leduart
danke für deine umfassende Antwort.
hab mich falsch ausgedrückt, habe es jetzt (aber) verstanden.
Danke noch einmal ....
Grüße
Lueger
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