Verstd.frage Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 19.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | Sei W ein Vektorraum und seien [mm] w_1,...,w_m \in [/mm] W. [mm] \nu [/mm] ist die Menge aller Untervektorräume V [mm] \subset [/mm] W mit [mm] w_1,...,w_m [/mm] in V.
Beweise V [mm] \in \nu \gdw \subset [/mm] V |
Ok, ich verstehe das so:
[mm] w_1,...,w_m \in [/mm] W sind Vektoren
V ist Teilmenge aus W und somit ein Untervektorraum in welchem auch die Vektoren [mm] w_1,...,w_m [/mm] enthalten sind
[mm] [/mm] das entspricht der Menge aller Linearkombinationen bzw. der Linearen Hülle welche auch als [mm] span(w_m) [/mm] geschrieben werden kann, oder?
Stimmt das mal alles soweit?
Um das nun zu beweisen, lässt sich sagen, dass: das wenn alle [mm] w_m, [/mm] also alle Vektoren in V enthalten sind, so sind auch alle Linearkombinationen aus den Vektoren [mm] w_m [/mm] in V enthalten, stimmt das soweit? oder ist das kein Beweis?
liebe grüsse und danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 19.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Das stimmt schon! Daraus, dass V ein Untervektorraum ist, folgt ja bereits, dass der Span von beliebigen Vektoren aus V wieder in V liegt.
Allerdings musst du noch die umgekehrte Richtung zeigen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Das stimmt schon! Daraus, dass V ein Untervektorraum ist,
> folgt ja bereits, dass der Span von beliebigen Vektoren aus
> V wieder in V liegt.
>
> Allerdings musst du noch die umgekehrte Richtung zeigen!
nur wieso, mit der Aussage wäre es ja gezeigt das die Linearkombinationen Teilmenge von V sind. Wieso braucht es dann noch eine "umgekehrte Richtung"?
liebe grüsse
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> > Das stimmt schon! Daraus, dass V ein Untervektorraum ist,
> > folgt ja bereits, dass der Span von beliebigen Vektoren aus
> > V wieder in V liegt.
> >
> > Allerdings musst du noch die umgekehrte Richtung zeigen!
>
> nur wieso, mit der Aussage wäre es ja gezeigt das die
> Linearkombinationen Teilmenge von V sind. Wieso braucht es
> dann noch eine "umgekehrte Richtung"?
Hallo,
weil die Aufgabenstellung so ist.
Es ist unter den gemachten Voraussetzungen zu zeigen, daß gilt:
V $ [mm] \in \matcal{V} \gdw \subset [/mm] $ V.
Das bedeutet, daß zweierlei zu zeigen ist:
i. V $ [mm] \in \mathcal{V} [/mm] ==> [mm] \subset [/mm] $ V
und
ii. [mm] \subset [/mm] $ V ==> V $ [mm] \in \mathcal{V}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
ja natürlich stimmt, der Pfeil zeigt ja in beide Richtungen..
also ich versuch nochmal einen Ansatz, weiss nicht ob der so 100% stimmt:
also einerseits zu zeigen [mm] [/mm] ist Teilmenge von W und somit Untervektorraum, da [mm] \nu [/mm] die Menge aller Untervektorräume von V [mm] \subset [/mm] W ist wäre es ja auch [mm]
[/mm]
und andererseits das was ich schon in der 1. Frage geschrieben habe.
ist jetzt etwas frei interpretiert aber kann man das so sagen.
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> ja natürlich stimmt, der Pfeil zeigt ja in beide
> Richtungen..
Hallo,
genau.
"genau dann, wenn" bedeutet immer, daß zwei Richtungen zu zeigen sind.
> und andererseits das was ich schon in der 1. Frage
> geschrieben habe.
In Deinem Eingangspost hattest Du angedeutet, wie man
(i)V $ [mm] \in \matcal{V} [/mm] ==> [mm] \subset [/mm] $ V
zeigen würde.
Die noch zu zeigende andere Richtung ist
ii. $ [mm] \subset [/mm] $ $ V ==> V $ $ [mm] \in \mathcal{V} [/mm] $
Hier setzt Du voraus, daß Du einen Untervektorraum V von W hast, welcher den Untervektorraum [mm] [/mm] von W enthält.
Zeigen mußt Du nun, daß dies zur Folge hat, daß V ein Element von [mm] \mathcal{V} [/mm] ist.
(Das ist sehr, sehr einfach. Trotz alledem muß man es richtig aufschreiben.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 20.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Die noch zu zeigende andere Richtung ist
>
> ii. [mm] \subset[/mm] [mm]V ==> V[/mm] [mm]\in \mathcal{V}[/mm]
>
> Hier setzt Du voraus, daß Du einen Untervektorraum V von W
> hast, welcher den Untervektorraum [mm][/mm] von W
> enthält.
> Zeigen mußt Du nun, daß dies zur Folge hat, daß V ein
> Element von [mm]\mathcal{V}[/mm] ist.
Also dann muss ich schon mal nicht mehr zeigen das [mm] [/mm] Untervektorraum von W ist, so wie ich das vorhin noch dachte,(ist ja schon vorausgesetzt). Da nun [mm] [/mm] Untervektorraum von W ist und [mm] \mathcal{V} [/mm] die Menge aller V [mm] \subset [/mm] W mit [mm] w_1,..,w_m [/mm] muss ja V [mm] \in \mathcal{V} [/mm] sein da [mm] \subset [/mm] W und [mm] \subset [/mm] V ist
also bildlich: [mm] [/mm] wäre wie im innersten Kreis, umschlossen von V welcher seinerseits nur ein Teil von W wäre uns somit von W umschlossen wird und da [mm] [/mm] im innersten Kreis, folgt das V [mm] \in \mathcal{V}
[/mm]
> (Das ist sehr, sehr einfach. Trotz alledem muß man es
> richtig aufschreiben.)
Das ist jetzt alles wohl viel zu umständlich und kompliziert geschrieben ev. ginge es einfach so: [mm] \subset [/mm] V [mm] \subset [/mm] W
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 Di 21.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Die noch zu zeigende andere Richtung ist
> >
> > ii. [mm] \subset[/mm] [mm]V ==> V[/mm] [mm]\in \mathcal{V}[/mm]
> >
> > Hier setzt Du voraus, daß Du einen Untervektorraum V von W
> > hast, welcher den Untervektorraum [mm][/mm] von W
> > enthält.
> > Zeigen mußt Du nun, daß dies zur Folge hat, daß V ein
> > Element von [mm]\mathcal{V}[/mm] ist.
>
> Also dann muss ich schon mal nicht mehr zeigen das
> [mm][/mm] Untervektorraum von W ist, so wie ich das
> vorhin noch dachte,(ist ja schon vorausgesetzt). Da nun
> [mm][/mm] Untervektorraum von W ist und [mm]\mathcal{V}[/mm] die
> Menge aller V [mm]\subset[/mm] W mit [mm]w_1,..,w_m[/mm] muss ja V [mm]\in \mathcal{V}[/mm]
> sein da [mm] \subset[/mm] W und [mm]\subset[/mm] V ist
>
> also bildlich: [mm][/mm] wäre wie im innersten Kreis,
> umschlossen von V welcher seinerseits nur ein Teil von W
> wäre uns somit von W umschlossen wird und da [mm][/mm]
> im innersten Kreis, folgt das V [mm]\in \mathcal{V}[/mm]
>
> > (Das ist sehr, sehr einfach. Trotz alledem muß man es
> > richtig aufschreiben.)
>
> Das ist jetzt alles wohl viel zu umständlich und
> kompliziert geschrieben ev. ginge es einfach so:
> [mm] \subset[/mm] V [mm]\subset[/mm] W
machen wir's nochmal getrennt und schreiben das mal alles sauber auf:
zu zeigen: V $ [mm] \in \nu \gdw \subset [/mm] $ V (wobei man in der Aufgabenstellung hier schon bei der [mm] $\gdw$-Aussage [/mm] rechterhand dazuschreiben müsste, dass $V [mm] \subset [/mm] W$ auch ein Unterraum von $W$ sein soll; dass das so gemeint ist, ist nur deshalb naheliegend, weil man oben von der Menge "aller Untervektorräume V $ [mm] \subset [/mm] $ W..." spricht).
1.) [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Sei $V [mm] \in \nu$. [/mm] Nach Definition von [mm] $\nu$ [/mm] ist dann $V$ ein Unter(vektor)raum von $W$ mit der Eigenschaft, dass [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] V$. Damit ist auch die Menge aller Linearkombinationen von [mm] $w_1,...,w_m$ [/mm] ein Untervektorraum von $V$ [mm] [($\star$), [/mm] siehe unten], und damit gilt insbesondere [mm] $ \subset [/mm] V$. (Ist $A$ ein Unterraum von $B$, so gilt ja insbesondere $A [mm] \subset [/mm] B$.)
2.) [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Gelte nun umgekehrt [mm] $ \subset [/mm] V$ für einen Unterraum $V [mm] \subset [/mm] W$. Wir haben nun $V [mm] \in \nu$ [/mm] zu zeigen, also zu zeigen sind zwei Dinge:
a) $V$ ist ein Unterraum von $W$
und es gilt
b) [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] V$.
Bei a) ist nichts mehr zu zeigen, denn dies wird ja insbesondere mit vorausgesetzt. Es bleibt noch b) zu zeigen.
Also:
Für beliebiges $j [mm] \in \{1,...,m\}$ [/mm] ist zu begründen, dass [mm] $w_j \in [/mm] V$. Wegen [mm] $ \subset [/mm] V$ reicht es dazu, zu begründen, dass [mm] $w_j \in $ [/mm] für jedes $j=1,...,m$.
Tipp:
[mm] $=\{\lambda_1 w_1+...+\lambda_m w_m; \text{mit Skalaren }\lambda_1,...,\lambda_m\}$ [/mm] und z.B. wäre [mm] $w_3=0*w_1+0*w_2+1*w_3+0*w_4+...+0*w_m$
[/mm]
(Wie sieht das allgemein für [mm] $w_j$ [/mm] aus?)
Das ist der Wink mit dem Zaunpfahl, und sollte Dir zeigen, dass man in einer Zeile begründen kann, dass [mm] $w_j \in [/mm] V$ für alle $j [mm] \in \{1,...,m\}$.
[/mm]
(Formal sauber kann man hier übrigens sehr schön mit dem ![[]](/images/popup.gif) Kronecker-Delta arbeiten.)
Ergänzung:
[mm] ($\star$)
[/mm]
Vll. kannst Du es auch so nachvollziehen: [mm] $w_1,...,w_m \in [/mm] V [mm] \Rightarrow <\{w_1,...,w_m\}> \subset [/mm] <V>=V$. Dabei meine ich mit [mm] $<\{w_1,...,w_m\}>$ [/mm] das gleiche wie [mm] $$ [/mm] und ich hoffe, Dir ist klar, was damit $<V>$ bedeutet - andernfalls schreibe meinetwegen anstatt $<V>$ sowas wie $<v: v [mm] \in [/mm] V>$.
Man sollte nur bei der Notation beachten, dass $V$ i.a. nicht notwendig abzählbar sein muss, ja, i.a. noch nicht mal eine abzählbare Basis haben muss (insbesondere muss i.a. eine Basis von $V$ nicht endlich sein)...
(Wobei es auch verschiedene Basisbegriffe gibt wie z.b. die Hamelbasis oder Schauderbasis...)
Gruß,
Marcel
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