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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:32 Mi 15/08/2018
Author: Takota

Hallo,

in meinem Buch steht ohne Beweis, der "Satz über die Vertauschbarkeit von Differenziation und Integration im Mehrdimensionalen".

Den Satz für den eindimensionalen Fall, wo gleichmäßige Konvergenz Voraussetzung ist kenne ich. Meine Frage, kann man sich den Satz für den Mehrdimensionalen Fall mit dem Fall für den eindimensionallen irgendwie vergleichen, bzw., plausibel machen? Oder hat sonst jemand eine Idee  wie man sich das klar machen kann?

LG
Takota

        
Bezug
Vertauschbarkeit Diff / Integr: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:22 Mi 15/08/2018
Author: fred97


> Hallo,
>  
> in meinem Buch steht ohne Beweis, der "Satz über die
> Vertauschbarkeit von Differenziation und Integration im
> Mehrdimensionalen".
>  
> Den Satz für den eindimensionalen Fall, wo gleichmäßige
> Konvergenz Voraussetzung ist kenne ich. Meine Frage, kann
> man sich den Satz für den Mehrdimensionalen Fall mit dem
> Fall für den eindimensionallen irgendwie vergleichen,
> bzw., plausibel machen? Oder hat sonst jemand eine Idee  
> wie man sich das klar machen kann?
>  


Auf Deine Frage kann man so nicht antworten. In der Analysis gibt es Sätze über die  Vertauschbarkeit von Differentiation und Integration haufenweise!

Willst  Du also  eine  Antwort,  so zitiere den  Satz  aus  Deinem Buch mit allem  Drumm und Dran .

Noch  was :  im eindimensionalen gibt es jede  Menge  Sätze, in denen gleichmäßige Konvergenz nicht Voraussetzung ist (Lebesgue,  Fatou,  Beppo Levi,  .....)



> LG
>  Takota


Bezug
                
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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Frage (reagiert)
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 15:59 Do 16/08/2018
Author: Takota

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo fred, wie gewünscht habe ich dir den Satz aufgeschrieben.

Betrachtet man für $n \varepsilon \IN$ den n dimensionalen abgeschlossenen Quader

$Q_n:= \left\{\vec x \varepsilon\IR^n|a_1 \le x_1 \le b_1, a_2 \le x_2 \le b_2,...,a_n \le x_n \le b_n \right\}$

und darauf eine stetige Funktion

$f:Q_n \to \IR, \vec x \mapsto f(x_1,x_2,...,x_n)$

Weiter sei auf dem abgeschlossenen n-1 dimensionalen Quader

$Q_n:= \left\{\vec x':= \begin{pmatrix} x_2 \\ .\\.\\. \\ x_n \end{pmatrix} \varepsilon\IR^n^-^1|a_2 \le x_2 \le b_2,...,a_n \le x_n \le b_n \right\}\subset \IR^n^-^1$

die Funktion

$F:Q_n_-_1 \to \IR, \quad \vec x'\mapsto F(x_2,x_3,...,x_n):= \integral_{a_1}^{b_1}{f(x_1,x_2,...,x_n) dx_1}$

definiert. Dann gilt der folgende Satz:

Satz-Anfang

Mit den eben eingeführten Voraussetzungen gilt:

1) Aus der Stetigkeit von f folgt die Stetigkeit von F

2) Ist die Funktion f zusätzlich stetig partiell differenzierbar nach den Variablen $x_2, x_3, ..., x_n$ auf der Menge

$\left\{\vec x \varepsilon\IR^n|a_1 \le x_1 \le b_1, a_2 \le x_2 \le b_2,...,a_n \le x_n \le b_n \right\}\subset \ Q_n$

dann ist F partiell nach $x_2, x_3, ..., x_n$ differenzierbar mit den stetigen partiellen Ableitungen

${\frac{\partial F}{\partial x_k} (x_2,x_3,...,x_n)= \integral_{a_1}^{b_1}{\frac{\partial F}{\partial x_k} (x_1,x_2,...,x_n) dx_1}$

für alle $k \varepsilon {2,3,...,n}$

Satz-Ende

Bezug
                        
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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:53 Do 16/08/2018
Author: fred97


> Hallo fred, wie gewünscht habe ich dir den Satz
> aufgeschrieben.
>  
> Betrachtet man für [mm]n \varepsilon \IN[/mm] den n dimensionalen
> abgeschlossenen Quader
>  
> [mm]Q_n:= \left\{\vec x \varepsilon\IR^n|a_1 \le x_1 \le b_1, a_2 \le x_2 \le b_2,...,a_n \le x_n \le b_n \right\}[/mm]
>  
> und darauf eine stetige Funktion
>  
> [mm]f:Q_n \to \IR, \vec x \mapsto f(x_1,x_2,...,x_n)[/mm]
>  
> Weiter sei auf dem abgeschlossenen n-1 dimensionalen
> Quader
>  
> [mm]Q_n:= \left\{\vec x':= \begin{pmatrix} x_2 \\ .\\.\\. \\ x_n \end{pmatrix} \varepsilon\IR^n^-^1|a_2 \le x_2 \le b_2,...,a_n \le x_n \le b_n \right\}\subset \IR^n^-^1[/mm]
>  
> die Funktion
>  
> [mm]F:Q_n_-_1 \to \IR, \quad \vec x'\mapsto F(x_2,x_3,...,x_n):= \integral_{a_1}^{b_1}{f(x_1,x_2,...,x_n) dx_1}[/mm]
>  
> definiert. Dann gilt der folgende Satz:
>  
> Satz-Anfang
>  
> Mit den eben eingeführten Voraussetzungen gilt:
>  
> 1) Aus der Stetigkeit von f folgt die Stetigkeit von F
>  
> 2) Ist die Funktion f zusätzlich stetig partiell
> differenzierbar nach den Variablen [mm]x_2, x_3, ..., x_n[/mm] auf
> der Menge
>  
> [mm]\left\{\vec x \varepsilon\IR^n|a_1 \le x_1 \le b_1, a_2 \le x_2 \le b_2,...,a_n \le x_n \le b_n \right\}\subset \ Q_n[/mm]
>  
> dann ist F partiell nach [mm]x_2, x_3, ..., x_n[/mm] differenzierbar
> mit den stetigen partiellen Ableitungen
>  
> [mm]{\frac{\partial F}{\partial x_k} (x_2,x_3,...,x_n)= \integral_{a_1}^{b_1}{\frac{\partial F}{\partial x_k} (x_1,x_2,...,x_n) dx_1}[/mm]
>  
> für alle [mm]k \varepsilon {2,3,...,n}[/mm]
>  
> Satz-Ende


O.k, jetzt bin ich im Bilde. Aber was ist denn Deine Frage?

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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:19 Do 16/08/2018
Author: Takota

Hallo fred,
die Frage habe ich ja Eingangs gestellt. Ich dachte du könntest mir den Satz irgendwie plausibel machen. Vielleicht kann man sich den Satz anschaulich klar machen, etwa im 3 Dimensionalen? Kann man den Satz vielleicht mit dem 1-Dimensionalen in Verbindung bringen? Es wird ja nach jeweils einer Variablen abgeleitet und die andern jeweils konstant gehalten, in dem Moment ist das sowas wie ableiten im 1-Dimensionalen und dort kann man ja das Integralzeichen mit dem Ableitungsoperator vertauschen - vorausgesetzt f ist gleichmäßig konvergent. Gleichmäßige Konvergenz habe ich aber in den Voraussetzungen nicht gefunden...soweit mein Versuch das irgendwie plausibel zu machen - was ja kein Beweis sein soll.

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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:20 Fr 17/08/2018
Author: fred97


> Hallo fred,
> die Frage habe ich ja Eingangs gestellt. Ich dachte du
> könntest mir den Satz irgendwie plausibel machen.

Was verstehst Du darunter. Ein Beweis ? Wenn ja, so findest Du den Beweis in jedem vernünftigen Analysisbuch.


> Vielleicht kann man sich den Satz anschaulich klar machen,
> etwa im 3 Dimensionalen? Kann man den Satz vielleicht mit
> dem 1-Dimensionalen in Verbindung bringen?

Es genügt den Fall n=2 zu betrachten, ist Dir klar warum ?


> Es wird ja nach
> jeweils einer Variablen abgeleitet und die andern jeweils
> konstant gehalten, in dem Moment ist das sowas wie ableiten
> im 1-Dimensionalen und dort kann man ja das Integralzeichen
> mit dem Ableitungsoperator vertauschen -


> vorausgesetzt f
> ist gleichmäßig konvergent.

Puuh ! Jetzt zeigt sich, dass Du mit elementaren Begriffen nicht vertraut bist. "f ist gleichmäßig konvergent " ist völlig sinnlos. Gleichmäßige Konvergenz ist eine Eigenschaft von Funktionenfolgen (Funktionenreihen).




> Gleichmäßige Konvergenz
> habe ich aber in den Voraussetzungen nicht
> gefunden...soweit mein Versuch das irgendwie plausibel zu
> machen - was ja kein Beweis sein soll.

Wie gesagt: schau Dir einen Beweis des obigen Satzes an !


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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 10:18 Sa 18/08/2018
Author: Takota

Hallo fred,

ich kann verstehen, das es einem Profi wie dir, manchmal nicht leicht fällt einem Laien wie ich es bin, mathematische, komplexe Sachverhalte auf relativ einfaches Niveau runterzubrechen, weil man da ja auch nicht mehr ganz exakt mathematisch begründen kann. Ich versuche die Beweise, die der Autor in meinen Büchern behandelt so gut es geht nachzuvollziehen. Für manche Beweise werden dann wieder Sätze benötigt, die zu Beweisen den Rahmen des Buches sprengen würden und man von einem großen Themenbereich in den anderen kommt. Diese Sätze aber nur einfach hinzunehmen ist für mich unbefriedigend und ich versuche mir das halt irgendwie plausibel zu machen, so das ich zumindestens ansatzweise den Beweis für den Satz verstehe.

Das wollte ich jetzt nur mal zu meiner Rechtfertigung sagen :-)

Aber zurück zum Thema:

Fall n=2

Folgende "Vermutung" könnte hinter dem Beweis stecken, bzw. das könnte auch die Beweisidee sein:

$   [mm] F(x_2):= \integral_{a}^{b}{f(x_1,x_2) dx_1} [/mm] $

[mm] $\frac{dF(x_2)}{dx_2} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\frac{F(x_2+h)- F(x_2)}{h}$ =\limes_{h\rightarrow 0} \frac{\integral_{a}^{b}{f(x_1,x_2+h) dx_1} - \integral_{a}^{b}{f(x_1,x_2) dx_1}}{h}=\integral_{a}^{b}{\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_1,x_2+h)-f(x_1,x_2)}{h}dx_2}=\integral_{a}^{b}{\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}dx_2}$ [/mm]

Wobei ich mir mit dem lim-Zeichen nicht sicher bin, ob ich den einfach so in das Integral ziehen kann. Zur Begründung habe ich mir gedacht, wenn im Integranden der Differntialquotient steht, ich auch das lim-Zeichen davor schreiben kann. Ich betrachte ja [mm] $h\to0$. [/mm]  

Ich denke so könnte man das auch auf mehr als 2 Variablen ausweiten...

Gruß
Takota




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Vertauschbarkeit Diff / Integr: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:20 Fr 24/08/2018
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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