Vertauschungsoperator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | a) Der Vertauschungsoperator von Impuls und Ort erfüllt folgende Gleichung
[mm] $[\hat{p}_x, \hat{x}] [/mm] = i [mm] \hbar$ [/mm]
Zeigen Sie dies.
b) Wende Sie hierzu den Vertauschungsoperator auf eine ebene Welle
$ [mm] \Psi [/mm] = A * [mm] e^{i/\hbar(p_x x-Et)} [/mm] $
an. Hieraus lässt sich folgende Gleichung ableiten:
[mm] $\Rightarrow \hat{p}_x \hat{x} [/mm] = i [mm] \hbar [/mm] + [mm] \hat{x} \hat{p}_x$
[/mm]
c) Zeigen Sie mit Hilfe dieser Gleichung, dass die Komponenten des Drehimpulsoperatoren [mm] $\hat{L} [/mm] = [mm] \hat{r} \times \hat{p}$ [/mm] wie folgt vertauschen:
[mm] $[\hat{L}_x, \hat{L}_y] [/mm] = i [mm] \hbar \hat{L}_z$ [/mm] |
Hey,
alle gucken Fußball und ich sitze hier und muss Physik machen. Die Motivation ist also gerade im Keller. Was muss, das muss...
Zu a) Für einen Vertauschungsoperator gilt ja eine Vertauschungsrelation, da die Operatoren für Impuls und Ort nicht vertauschbar sind:
[mm] $[\hat{p}_x, \hat{x}] [/mm] = [mm] \hat{p}_x [/mm] * [mm] \hat{x} -\hat{x}*\hat{p}_x$
[/mm]
Naja, aber da mir die Vorlesung fehlt zu den Operatoren, hänge ich da gerade... aber ich denke, das kürzt sich ganz gut raus...
zu b) Mache ich dann
[mm] $<\Psi|\hat{p}_x \hat{x}|\Psi>$ [/mm] ? Oder wie wende ich den an?
Viele Fragen, aber ich denke viel, war in der fehlenden Vorlesung. So ein Misst.
Ich danke für jeden Tipp und Denkanstoß.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Do 14.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> a) Der Vertauschungsoperator von Impuls und Ort erfüllt
> folgende Gleichung
> [mm][\hat{p}_x, \hat{x}] = i \hbar[/mm]
> Zeigen Sie dies.
>
> b) Wende Sie hierzu den Vertauschungsoperator auf eine
> ebene Welle
>
> [mm]\Psi = A * e^{i/\hbar(p_x x-Et)} [/mm]
>
> an. Hieraus lässt sich folgende Gleichung ableiten:
> [mm]\Rightarrow \hat{p}_x \hat{x} = i \hbar + \hat{x} \hat{p}_x[/mm]
>
> c) Zeigen Sie mit Hilfe dieser Gleichung, dass die
> Komponenten des Drehimpulsoperatoren [mm]\hat{L} = \hat{r} \times \hat{p}[/mm]
> wie folgt vertauschen:
>
> [mm][\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i \hbar \hat{L}_z[/mm]
> Hey,
>
> alle gucken Fußball und ich sitze hier und muss Physik
> machen. Die Motivation ist also gerade im Keller. Was muss,
> das muss...
>
> Zu a) Für einen Vertauschungsoperator gilt ja eine
> Vertauschungsrelation, da die Operatoren für Impuls und
> Ort nicht vertauschbar sind:
>
> [mm][\hat{p}_x, \hat{x}] = \hat{p}_x * \hat{x} -\hat{x}*\hat{p}_x[/mm]
>
> Naja, aber da mir die Vorlesung fehlt zu den Operatoren,
> hänge ich da gerade... aber ich denke, das kürzt sich
> ganz gut raus...
Was soll sich da kürzen? Dort steht nichtmal ein Bruch...
Wie ist denn der Imuplsoperator definiert?
Denk daran, dass ein Kommutator immer in Anwendung auf eine (Wellen-)Funktion zu verstehen ist, also so:
[mm] $[\hat A,\hat B]\psi(\vec [/mm] x,t)$
Jetzt kannst Du mit Kenntnis der entsprechenden Operatoren losrechnen.
>
> zu b) Mache ich dann
>
> [mm]<\Psi|\hat{p}_x \hat{x}|\Psi>[/mm] ? Oder wie wende ich den an?
So, wie ich es auch schon zu a) beschrieben habe.
>
> Viele Fragen, aber ich denke viel, war in der fehlenden
> Vorlesung. So ein Misst.
>
> Ich danke für jeden Tipp und Denkanstoß.
>
> Liebe Grüße,
> Ana-Lena
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Dank dir notinX!
Was ist denn ein Kommutator? Kannst mir das mit den Operatoren bildlich erklären. Die Aufgabe habe ich rechnerisch hinbekommen, aber ich weiß noch nicht so recht, was ich da tue. Ich stecke eine Funktion in den Operator und bekomme ein gewisse Größe. Gibt's das auch in der Mechanik?
LG,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 15.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Dank dir notinX!
>
> Was ist denn ein Kommutator?
Ein Kommutator zweier Operatoren [mm] $\hat [/mm] A$ und [mm] $\hat [/mm] B$ ist definiert ist durch
[mm] \left[\hat A,\hat B\right] := \hat A \hat B - \hat B \hat A [/mm] ,
also als ein n euer Operator, der sich durch die Hintereinanderausführung von Operatoren und Differenz des Ergebnisses ergibt.
> Kannst mir das mit den
> Operatoren bildlich erklären. Die Aufgabe habe ich
> rechnerisch hinbekommen, aber ich weiß noch nicht so
> recht, was ich da tue. Ich stecke eine Funktion in den
> Operator und bekomme ein gewisse Größe.
Ich verstehe nicht so recht, was du fragst. Der Kommutator ist einfach so definiert. Die Beziehung
[mm] [\hat p_x,\hat x] = i\hbar [/mm]
gilt ganz allgemein. In der Aufgabe sollst du explizit nachrechnen, dass diese Beziehung stimmt, wenn du den Operator [mm] $[\hat p_x,\hat [/mm] x]$ auf die gegebene Wellenfunktion anwendest. Weisst du, wie der Impuls- und Ortsoperator aussehen?
> Gibt's das auch in der Mechanik?
Ja, es gibt eine Analogie der Kommutatoren zu den Poissonklammern der hamiltonschen Mechanik.
Viele Grüße
Rainer
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