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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
| Aufgabe | Von einer Zufallsvariablen X ist bekannt, dass sie eine Dichtefunktion der Form....
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Wie muss a gewählt werden, damit tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte entsteht?
b) berechnen Sie den Erwartungswert von X |
Hallo
Mein Problem ist hier, wie ich die "konstante" der Verteilfunktion rauskriege.
Wie mache ich das am Besten
Ich betrachte nur den Bereich zwischen:
[mm] -\bruch{\pi}{2} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm]
Ich weiss, dass die Verteilfunktion bei F(x = [mm] -\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0 sein muss
F(X) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin x + c
Nun setze ich diesen Wert ein
0 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin( [mm] -\bruch{\pi}{2}) [/mm] + c
c = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also
F(X) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin x + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Oder wie macht man das?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hiho,
> Mein Problem ist hier, wie ich die "konstante" der Verteilfunktion rauskriege.
indem du Eigenschaften der Verteilungsdichte nutzt.
Du sollst hier gar keine Verteilungsfunktion berechnen, sondern a so wählen, dass da eine Dichte herauskommt.
Welche definierenden Eigenschaften einer Verteilungsdichte kennst du denn?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Wie gesagt a habe ich berechnet, a = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] also ist die Dichtefunktion im genannten Bereich f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin x
Um nun die verteilfunktion in diesem Intervall zu Bereich zu errechnen, muss ich ja eine Konstante (c) noch ermitteln
Verteilfunktion
F(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin x + c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 So 02.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
ok, also du hast [mm] f(x)=\frac{1}{2}cos(x) [/mm] für die Dichtefunktion raus, was auch richtig ist! Damit bist du auch schon fertig, was die a) betrifft. Wenn du noch die Verteilungsfunktion haben willst, müsst du über $f$ im gewünschten bereich integrieren, aber das ist hier nicht nötig. Du brauchst auch keine Konstante c mehr. Es gilt halt [mm] F(t)=\integral_{-\infty}^{t}{f(x) dx} [/mm] als Verteilungsfunktion, wenn du das noch ausrechnen willst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Danke für deine Hilfe, versteh leider deine Verteilfunktion
[mm] F(t)=\integral_{-\infty}^{t}{f(x) dx}
[/mm]
nicht
was das t sein soll und was ich da berechnen soll
Aber mir ist wohl nicht mehr zu helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 So 02.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Nicht den Kopf hängen lassen. :)
Also dein f(x) ist die Dichtefunktion. Für die muss eben $f [mm] \ge [/mm] 0$ und die Fläche unter der Kurve muss 1 sein. Die Dichtefunktion sagt dir, anschaulich gesprochen, wo die Werte eher oft und wo weniger oft angenommen werden. In deinem Fall werden also eher Werte um 0 angenommen und je weiter es zum Rand geht, desto unwahrscheinlicher wird es die Werte da zu sehen.
Auf der Dichtefunktion aufbauend gibt es die Verteilungsfunktion F. Für die muss gelten [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}F(x)=1. [/mm] Diese Funktion gibt dir dann die eigentliche Wahrscheinlichkeit an, für die du dich ja im Allgemeinen interessierst.
Mit ihr kannst du berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit du z.B. einen Wert kleiner als [mm] \frac{1}{2} [/mm] erhältst. Das wäre [mm] P=F(\frac{1}{2})=\integral_{-\infty}^{\frac{1}{2}}{f(x) dx}. [/mm] Damit kannst du dann auch ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert zwischen [mm] -\frac{1}{2} [/mm] und [mm] \frac{1}{2} [/mm] angenommen wird, nämlich mit [mm] F(\frac{1}{2})- F(-\frac{1}{2})=\integral_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{f(x) dx}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
> Nicht den Kopf hängen lassen. :)
>
> Also dein f(x) ist die Dichtefunktion. Für die muss eben [mm]f \ge 0[/mm]
> und die Fläche unter der Kurve muss 1 sein. Die
> Dichtefunktion sagt dir, anschaulich gesprochen, wo die
> Werte eher oft und wo weniger oft angenommen werden. In
> deinem Fall werden also eher Werte um 0 angenommen und je
> weiter es zum Rand geht, desto unwahrscheinlicher wird es
> die Werte da zu sehen.
>
> Auf der Dichtefunktion aufbauend gibt es die
> Verteilungsfunktion F. Für die muss gelten
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}F(x)=1.[/mm] Diese Funktion gibt dir
> dann die eigentliche Wahrscheinlichkeit an, für die du
> dich ja im Allgemeinen interessierst.
>
> Mit ihr kannst du berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit
> du z.B. einen Wert kleiner als [mm]\frac{1}{2}[/mm] erhältst. Das
> wäre
> [mm]P=F(\frac{1}{2})=\integral_{-\infty}^{\frac{1}{2}}{f(x) dx}.[/mm]
Ich habe ja die Verteilfunktion berechnet, also wieso das ganze über das Integral der Dichtefunktion berechnen?
[mm] P=F(\frac{1}{2})=\integral_{-\infty}^{\frac{1}{2}}{f(x) dx}
[/mm]
wobei [mm] -\infty [/mm] = - [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
P(x = [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{ - \bruch{\pi}{2}}^{\bruch{1}{2}}{cos x dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (sin [mm] (\bruch{1}{2}) [/mm] - (sin (- [mm] \bruch{\pi}{2})) [/mm] = 0.7397
Aber eben wieso so kompliziert wenn
F(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * sin x
F(x [mm] =\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * sin ( [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = 0.7397
Aber offenbar will ja niemand etwas von der Konstante c = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wissen....
Auch beim Aufstellen der Verteilfunktion mit den Bereichen kommt die konstante wieder ins Spiel.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber offenbar versteht mich niemand
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 02.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, jetzt sehe ich, was du meinst. Die Verteilungsfunktion ist korrekt, ja. Sorry für das Missverständnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Teufel
Und wie würdest du die Verteilfunktion berechnen?
Wie ich das hier gemacht habe: https://matheraum.de/read?i=910672 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 02.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, das kannst du sicher so berechnen. Der (für mich) normale Weise ist aber eher so etwas:
F(x)=0 für alle [mm] x<-\frac{\pi}{2} [/mm] (klar).
Dann kann man für [mm] $-\frac{\pi}{2}\le [/mm] x < [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] die Verteilungsfunktion über die Stammfunktion berechnen via [mm] F(x)=\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}{f(t) dt}. [/mm] Das ist das, was ich vorhin auch andeuten wollte. Das Ergebnis ist dann das, was du auch raus hattest, nämlich [mm] \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}{\frac{1}{2}cos(t) dt}=[\frac{1}{2}sin(x)]^x_{-\frac{\pi}{2}}= \frac{1}{2}sin(x)+\frac{1}{2}.
[/mm]
und für x [mm] \ge \frac{\pi}{2} [/mm] hast du dann F(x)=1, was auch klar ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
> Hi!
>
> ok, also du hast [mm]f(x)=\frac{1}{2}cos(x)[/mm] für die
> Dichtefunktion raus, was auch richtig ist! Damit bist du
> auch schon fertig, was die a) betrifft. Wenn du noch die
> Verteilungsfunktion haben willst, müsst du über [mm]f[/mm] im
> gewünschten bereich integrieren, aber das ist hier nicht
> nötig. Du brauchst auch keine Konstante c mehr. Es gilt
> halt [mm]F(t)=\integral_{-\infty}^{t}{f(x) dx}[/mm] als
> Verteilungsfunktion, wenn du das noch ausrechnen willst.
>
>
......................................
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 02.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Sorry, falls dich der lange Text verwirrt hat. Ich wollte nur sagen, dass du mit [mm] f(x)=\frac{1}{2}cos(x) [/mm] komplett mit Aufgabe a) fertig warst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 So 02.09.2012 | | Autor: | Kuriger |
Danke für die Antwort
Besser noch paar gute Hinweise geben.
Aber ja ich bin momentan schon bisschen verwirrt, aber die steht nicht im geringsten in Abhängigkeit von dir
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