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Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:39 Mi 05/07/2017
Author: noglue

Aufgabe
a) Sei X eine Zufallsvariable mit VErteilung [mm] P(X=j)=pq^{j-1} [/mm] für alle [mm] j\in\IN, [/mm] kurz [mm] X\overset{d}{=}Ge(p). [/mm]

Zeige: X hat Verteilungsfunktion

[mm] F(x)=\begin{cases} 1-q^{\lfloor x \rfloor}, & \mbox{für } x\le 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]

wobei [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor:=sup\{ z\in\IZ| z\le x\}, x\in \IR. [/mm]

b) Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] sei [mm] X_n [/mm] eine Zufallsvariable mit [mm] X_n\overset{d}{=}Ge(p^n). [/mm] Zeige [mm] p^nX_n\overset{\Rightarrow}{d} [/mm] X für [mm] n\rightarrow \infty, [/mm] wobei X eine exponetialverteilt Zufallsvariable mit Paramter 1 ist.

Guten Abend,

Ich habe wie folgt Teil a) gelöst:

Sei [mm] P(X=j)=pq^{j-1} \forall j\in\IN [/mm]

für x=n: F(n)= [mm] P(X\le n)=\summe_{j=1}^n pq^{j-1}=p\summe_{j=1}^{n}q^{j-1}=p\summe_{j=0}^{n-1}q^j=p*\bruch{q^n-1}{\underbrace{q-1}_{=:p}}=1-q^n [/mm]

[mm] \Rightarrow F(n)=1-q^n [/mm] und [mm] F(x)=1-q^{\lfloor x \rfloor } [/mm]

Ist meine Idee richtig?

Zu b) [mm] X_n\overset{d}{=}Ge(p^n), [/mm] also [mm] P(X_n=j)=p^n*q^{n(j-1)} [/mm]

und [mm] X\overset{d}{=}Exp(1) [/mm] also [mm] F(x)=1-e^{-x} [/mm]

Leider komme ich da nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:05 Do 06/07/2017
Author: luis52


> a) Sei X eine Zufallsvariable mit VErteilung
> [mm]P(X=j)=pq^{j-1}[/mm] für alle [mm]j\in\IN,[/mm] kurz
> [mm]X\overset{d}{=}Ge(p).[/mm]
>  
> Zeige: X hat Verteilungsfunktion
>  
> [mm]F(x)=\begin{cases} 1-q^{\lfloor x \rfloor}, & \mbox{für } x\le 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>  
> wobei [mm]\lfloor[/mm] x [mm]\rfloor:=sup\{ z\in\IZ| z\le x\}, x\in \IR.[/mm]
>  
> b) Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] sei [mm]X_n[/mm] eine Zufallsvariable mit
> [mm]X_n\overset{d}{=}Ge(p^n).[/mm] Zeige
> [mm]p^nX_n\overset{\Rightarrow}{d}[/mm] X für [mm]n\rightarrow \infty,[/mm]
> wobei X eine exponetialverteilt Zufallsvariable mit
> Paramter 1 ist.
>  Guten Abend,
>  
> Ich habe wie folgt Teil a) gelöst:
>  
> Sei [mm]P(X=j)=pq^{j-1} \forall j\in\IN[/mm]
>  
> für x=n: F(n)= [mm]P(X\le n)=\summe_{j=1}^n pq^{j-1}=p\summe_{j=1}^{n}q^{j-1}=p\summe_{j=0}^{n-1}q^j=p*\bruch{q^n-1}{\underbrace{q-1}_{=:p}}=1-q^n[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow F(n)=1-q^n[/mm] und [mm]F(x)=1-q^{\lfloor x \rfloor }[/mm]
>  
> Ist meine Idee richtig?

Moin, kann beim besten Willen keinen Fehler entdecken. ;-)

>  
> Zu b) [mm]X_n\overset{d}{=}Ge(p^n),[/mm] also
> [mm]P(X_n=j)=p^n*q^{n(j-1)}[/mm]
>  
> und [mm]X\overset{d}{=}Exp(1)[/mm] also [mm]F(x)=1-e^{-x}[/mm]
>  
> Leider komme ich da nicht weiter. Kann mir jemand einen
> Tipp geben?

Kennst du den Begriff momenterzeugenden Funktion?



Bezug
                
Bezug
Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:46 Do 06/07/2017
Author: noglue

Hallo,

nochmals vielen Dank für's Drüberschauen:)

Also ich musste erstmal danach googlen, da ich das zum ersten mal höre.

Laut Wikipedia ist die momentenerzeugende Funktion der geometrische Verteilung folgend definiert:

[mm] M_X(t)=\bruch{pe^t}{1-(1-p)e^t} [/mm] also in unserem Fall wäre es dann:

[mm] M_X_n(t)=\bruch{p^ne^t}{1-(1-p^n)e^t} [/mm]

und für die exponentialverteilung

[mm] M_X(t)=\bruch{\lambda}{\lambda-t} [/mm] für einen Parameter [mm] \lambda [/mm]
Also in unserem Fall [mm] M_X(t)=\bruch{1}{1-\lambda} [/mm]  für [mm] \lambda=1, [/mm] oder ?

Aber wie mache ich dann weiter?


Bezug
                        
Bezug
Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:18 Do 06/07/2017
Author: luis52


>  
> Aber wie mache ich dann weiter?


Schade, das waere eine elegante Moeglichkeit gewesen, aber wenn du mit MEF nichts anfangen kannst, geht das so nicht.

Dann sehe ich nur noch den folgenden Weg: Bestimme die Verteilungsfunktion [mm] $F_n(x)$ [/mm] von  [mm] $p^nX_n$ [/mm] und zeige, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}F_n(x)\to1-\exp(-x)$ [/mm] fuer beliebiges $x>0$.


Bezug
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