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| Aufgabe | Ein Händler kauft eine große Ladung Glühbirnen. Er weiß, dass die Birnen in den Ländern A, B und C produziert werden. Die Qualität und produzierte Menge sind durch die Parameter
[mm] \vmat{0 & A & B & C \\ p & 5/100 & 2/100 & 1/100 \\ q & 1/2 & 1/3 & 1/6 } [/mm] (soll man sich als Tabelle vorstellen, mit 0 als Lückenfüller)
gegeben. q gibt den Anteil der gesamten Produktion an, die im entsprechenden Land produziert wird, p den Anteil der Glühbirnen, die einer Qualitätskontrolle nicht genügen. Der Händler weiß nicht, aus welchem der drei Länder seine Glühbirnen stammen. Er testet 10 Birnen (alle aus demselben Land). Sei nun K die Anzahl der Birnen, die die Kontrolle nicht bestehen.
i) Bestimmen Sie die Verteilung von K
ii) Es wird K = 1 beobachtet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Birnen aus dem Land A, B oder C stammen. |
Guten Tag Matheraum,
zur Lösung der Teilaufgabe i) habe ich mir überlegt, dass eine Binomialverteilung Sinn machen würde, die ich mir wie folgt überlegt habe:
Die Verteilung von K wäre dann bei mir:
[mm] \bruch{1}{2}\vektor{10 \\ K}(\bruch{95}{100})^{10-K}(\bruch{5}{100})^K [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}\vektor{10 \\ K}(\bruch{98}{100})^{10-K}(\bruch{2}{100})^K [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}\vektor{10 \\ K}(\bruch{99}{100})^{10-K}(\bruch{1}{100})^K [/mm] (= P(K) ???)
ich hoffe es ist verständlich, wie ich auf diese Verteilung gekommen bin, ansonsten schreibe ich meine Idee ein wenig ausführlicher auf.
bei der Teilaufgabe ii) habe ich mir überlegt, dass ich diese mit der bedingten Wahrscheinlichkeit ausrechnen kann, mit den Ereignissen A:= Glühbirne kommt aus Land A und K:= K Glühbirnen fallen durch die Qualitätskontrolle, wobei K = 1 ist:
[mm] P(A|K)=\bruch{P(A\cap K)}{P(K)}=\bruch{\bruch{1}{2}\vektor{10 \\ 1}(\bruch{95}{100})^9(\bruch{5}{100})}{P(K)} [/mm] = 0,69
Bei den anderen Wahrscheinlichkeiten kommt raus:
P(B|K)= 0,2432 und P(C|K)=0,0666
zusammenaddiert kommt man auch auf 1, weswegen ich glaube, dass meine Berechnungen stimmen.
Bei Stochastik bin ich mir irgendwie immer unsicher, ob meine Vorgehensweise korrekt ist und wollte mir bei euch Sicherheit verschaffen :)
Beste Grüße,
Alex
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Hallo Alex,
die Funktion, die du da angegeben hast, ist die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion zu der vorliegenden Verteilung. Es ist ja sozusagen ein mehrstufiges Experiment, zuerst die Auswahl des Herkunftslandes und nachgeschaltet jeweils ein bin omialverteiltes Experiment. Aber ein Wahrscheinlichkeitsverteilung wird streng genommen erst daraus, wenn man die Dichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion aufsummiert. Da aber auf der anderen Seite diese Verteilung durch ihre Dichte hinreicehnd beschrieben ist, ist es bei diskreten Problemen ja üblich, die Wahrsscheinlichkeitsfunktion anzugeben auf die Frage nach der Verteilung. Soweit, so gut.
Bei Aufgabenteil ii) sollte jedoch die Wahrscheinlichkeit für P(1) aus eben diesem Grund mit genau dieser Verteilung berechnet werden, d.h. mit dem Ansatz
P(K=1)=p(K=0)+P(K=1)
Ansonsten ist der Weg über die bedingte Wahrscheinlichkeit wiederum richtig.
> zusammenaddiert kommt man auch auf 1, weswegen ich glaube,
> dass meine Berechnungen stimmen.
das ist keine so gute Argumentation. Du multiplizierst ja im Zähler stets die Brüche 1/2, 1/3 und 1/6 mit einer anderen Wahrscheinlichkeit, d.h., da kommt auch 1 heraus, wenn diese gar nicht stimmt.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
danke für deine Hilfe, doch ich bin jetzt ein wenig konfus ... heißt dass dann etwa in Aufgabenteil ii), dass ich dann folgende Rechnung durchführen müsste:
[mm] P(A|K)=\bruch{P(A \cap K=0) + P(A \cap K=1)}{P(K=0) + P(K=1)}
[/mm]
Gruß,
Alex
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Hallo Quadratur,
Asche auf mein Haupt...
Ich habe die Aufgabe nochmal durchgelesen, deine ursprüngliche Rechnung war richtig.
Ich persönlich falle immer mal wieder auf den bei solchen Aufgaben etwas inflationären Gebrauch des Wortes Verteilung herein, was aber keine Ausrede sein soll: es steht ja klipp und klar da, dass K die Anzahl der als defekt getesteten Birnen ist, und eben dies habe ich leider überlesen. Sorry dafür!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Quadratur |
Ich schaffe es des öfteren die Begriffe durcheinander zu bringen :)
Dennoch bin ich für deine Hilfe dankbar! Ich hoffe, dass ich die Thematik so langsam verstanden habe.
Gruß,
Alex
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