Verteilung des Produkts < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 15.07.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Wir haben schon die Verteilungsfunktionen von X+Y, min(X,Y), max(X,Y) bestimmt, wenn wir die von den Zufallsvariablen X und Y kannten.
Nun frage ich mich aber, wie das funktioniert, wenn ich die Verteilungsfunktion von X [mm] \cdot [/mm] Y bestimmen will.
Also irgendwie so:
[mm] F_{X \cdot Y}(XY \leq [/mm] n) Wann ist ein Produkt denn kleiner einer vorgegebenen Zahl? Wie drücke ich das aus?
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 17.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wir haben schon die Verteilungsfunktionen von X+Y,
> min(X,Y), max(X,Y) bestimmt, wenn wir die von den
> Zufallsvariablen X und Y kannten.
>
> Nun frage ich mich aber, wie das funktioniert, wenn ich die
> Verteilungsfunktion von X [mm]\cdot[/mm] Y bestimmen will.
>
> Also irgendwie so:
> [mm]F_{X \cdot Y}(XY \leq[/mm] n) Wann ist ein Produkt denn kleiner
Du meinst eher [mm] $F_{X \cdot Y}(n) [/mm] = P(X Y [mm] \le [/mm] n)$?
> einer vorgegebenen Zahl? Wie drücke ich das aus?
Vielleicht hilft das weiter: Angenommen, $X [mm] \neq [/mm] 0$ fast sicher. Dann gilt [mm] $F_{XY}(n) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] P(X Y [mm] \le [/mm] n [mm] \mid [/mm] X = x) P(X = x) [mm] d\mu(x) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] P(Y [mm] \le \frac{n}{x} \mid [/mm] X = x) P(X = x) [mm] d\mu(x)$. [/mm] Wenn $X$ und $Y$ unabhaengig sind, ist das gerade [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] P(Y [mm] \le \frac{n}{x}) [/mm] P(X = x) [mm] d\mu(x)$.
[/mm]
Ob dir das in einem konkreten Fall weiterhilft, ist natuerlich eine ganz andere Frage :)
LG Felix
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