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Hallo und guten Abend allerseits,
ich bereite gerade mein Proseminar vor über das Thema "Stumpfe Winkel" aus "Das Buch der Beweise". Dabei hatte ich gleich auf Seite eins ein kleines Verständnisproblem, das ich nach langem nachdenken ignoriert habe und gehofft habe, dass es mir im Verlauf des restlichen Kapitels klar wird...leider war dem nicht so. Es geht um Folgenden Satz:
"Klee hat gefragt, wie groß eine Punktmenge im [mm] R^d [/mm] sein könnte, die die folgende Antipodalitätseigenschaft" hat: "Für beliebige zwei Punkte der Menge gibt es immer einen Streifen (durch zwei parallele Hyperebenen begrenzt), der die ganze Punktmenge enthält und der die beiden ausgewählten Punkte auf verschiedenen Seiten es Randes hat." Die Antwort auf diese Frage ist, dass die Menge höchstens [mm] 2^d [/mm] Punkte enthalten darf.
Ich habe mir das anhand d=2 überlegt, also im zweidimensionalen Raum. Ich habe mir vier beliebige Punkte gezeichnet (vier, weil [mm] 2^2=4), [/mm] zum Beispiel so:
1 2
3 4
Meine Frage wäre nun: Wie kann ich die Hyperebenen einzeichnen durch die Punkte 3 und 4? Einfach senkrecht nach oben geht ja nicht, da dann die Punkte 1 und 2 nicht mehr in dem Streifen enthalten sind.
Ist das einzig mögliche Beispiel ein Quadrat? Dann liegen jeweils die beiden anderen Punkte auf den Hyperebenen, aber nicht dazwischen (vielleicht können sie erst ab d=3 dazwischen liegen?)
Ich hoffe, das war nun einigermaßen verständlich. :) Ich freue mich auf eure Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo und guten Abend allerseits,
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> ich bereite gerade mein Proseminar vor über das Thema
> "Stumpfe Winkel" aus "Das Buch der Beweise". Dabei hatte
> ich gleich auf Seite eins ein kleines Verständnisproblem,
> das ich nach langem nachdenken ignoriert habe und gehofft
> habe, dass es mir im Verlauf des restlichen Kapitels klar
> wird...leider war dem nicht so. Es geht um Folgenden Satz:
>
> "Klee hat gefragt, wie groß eine Punktmenge im [mm]R^d[/mm] sein
> könnte, die die folgende Antipodalitätseigenschaft" hat:
> "Für beliebige zwei Punkte der Menge gibt es immer einen
> Streifen (durch zwei parallele Hyperebenen begrenzt), der
> die ganze Punktmenge enthält und der die beiden
> ausgewählten Punkte auf verschiedenen Seiten es Randes
> hat." Die Antwort auf diese Frage ist, dass die Menge
> höchstens [mm]2^d[/mm] Punkte enthalten darf.
>
> Ich habe mir das anhand d=2 überlegt, also im
> zweidimensionalen Raum. Ich habe mir vier beliebige Punkte
> gezeichnet (vier, weil [mm]2^2=4),[/mm] zum Beispiel so:
>
>
> 1 2
>
> 3 4
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> Meine Frage wäre nun: Wie kann ich die Hyperebenen
> einzeichnen durch die Punkte 3 und 4? Einfach senkrecht
> nach oben geht ja nicht, da dann die Punkte 1 und 2 nicht
> mehr in dem Streifen enthalten sind.
>
> Ist das einzig mögliche Beispiel ein Quadrat?
Quadrat geht sicher, aber man kann es bestimmt
auch noch affin verzerren zu einem Rechteck oder
Parallelogramm. Im [mm] \IR^3 [/mm] analog die Ecken eines
Würfels, Quaders oder Spats.
> Dann liegen jeweils die beiden anderen Punkte auf den
> Hyperebenen, aber nicht dazwischen (vielleicht können
> sie erst ab d=3 dazwischen liegen?)
Für zwei diagonal gegenüberliegende Ecken hat man
grosse Freiheit in der Wahl der Hyperebenen. In der
Regel liegt dann kein weiterer Punkt auf dem Rand.
Hello MoonTiger,
ich glaube, es ist ein falscher Ansatz, wenn du denkst,
du könntest irgendeine beliebige Anordnung von 4 Punkten im
[mm] \IR^2 [/mm] als Beispiel nehmen und dann annehmen, dass
die "Antipodalitätseigenschaft" erfüllt sei.
Die zu beweisende Vermutung ist etwas ganz anderes, nämlich:
"Falls eine Menge von n Punkten im d-dimensionalen
euklidischen Raum [mm] \IR^d [/mm] die Antipodalitätseigenschaft
besitzt, dann ist [mm] n\le 2^d [/mm] "
[Deine obige Punktanordnung besitzt offenbar diese
Eigenschaft nicht, deshalb sagt die Vermutung in
dieser Situation gar nichts aus, was man allenfalls
widerlegen könnte]
Mit einer konkreten Punktanordnung könntest du
allenfalls ein Gegenbeispiel liefern, das zeigen würde,
dass die Vermutung falsch ist. Wenn es dir also
z.B. gelänge, eine Anordnung von 5 Punkten in der
Ebene zu finden, welche die Antipodalitätseigenschaft
besitzt, obwohl [mm] 5>2^2, [/mm] dann hättest du bewiesen,
dass die Vermutung falsch ist.
Gruß Al-Chw.
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