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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilung von XY bestimmen
Verteilung von XY bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilung von XY bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mi 18.09.2013
Autor: mugglematts

Aufgabe
Gegeben ist eine Matrix mit gemeinsamer Verteilung von 2 abhängigen ZV X und Y  [mm] \pmat{ X,Y & 1 & 2 \\ 3 & a & b \\ 4 & c & d } [/mm]
(X-Werte in der Spalte, Y-Werte in der Reihe)
a) Bestimmte Randverteilungen von X und Y
b) Bestimme die Wkt-Verteilung von Z=XY

zu a): Habe ich gelöst mittels dem Satz der totalen Wkt:
P(X=3) = P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=a+b und  P(X=4) = P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)=c+d. Analog für Y...

zu b): Da habe ich Probleme. Z kann nun die Werte von X mal Y annehmen, also 3, 4, 6 und 8. Nun wie kann ich P(Z=3), P(Z=4), P(Z=6) und P(Z=8) bestimmen?

        
Bezug
Verteilung von XY bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mi 18.09.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist eine Matrix mit gemeinsamer Verteilung von 2
> abhängigen ZV X und Y [mm]\pmat{ X,Y & 1 & 2 \\ 3 & a & b \\ 4 & c & d }[/mm]

>

> (X-Werte in der Spalte, Y-Werte in der Reihe)
> a) Bestimmte Randverteilungen von X und Y
> b) Bestimme die Wkt-Verteilung von Z=XY
> zu a): Habe ich gelöst mittels dem Satz der totalen Wkt:
> P(X=3) = P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=a+b und P(X=4) =
> P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)=c+d. Analog für Y...

Ja, das ist richtig. [ok]

>

> zu b): Da habe ich Probleme. Z kann nun die Werte von X mal
> Y annehmen, also 3, 4, 6 und 8.

Ja, das passt auch. [ok]

> Nun wie kann ich P(Z=3),

> P(Z=4), P(Z=6) und P(Z=8) bestimmen?

Es ist bspw.

P(Z=4)=P(X=4,Y=1)

Es ist hier alles ziemlich einfach, da es für jeden Wert von Z genau eine Realisierung gibt...


Gruß, Diophant

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Bezug
Verteilung von XY bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 18.09.2013
Autor: mugglematts

Okay das ist ja schön :) Danke.

Wenn nun sich das Produkt Z=XY nicht eindeutig zerlegen lässt, sprich Z = 2*3 und Z = 1*6, hätte man zwei Ansätze:
P(Z=6) = P(X=2,Y=3) und P(Z=6) = P(X=1, Y=6)

Ist das überhaupt dann erlaubt? Was ist wenn die jeweils letzten Wkten gleich/unterschiedlich sind->wozu führt das? (Hat man dann eine/mehrere Wktverteilugnen von Z?)

Bezug
                        
Bezug
Verteilung von XY bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Mi 18.09.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Okay das ist ja schön :) Danke.

>

> Wenn nun sich das Produkt Z=XY nicht eindeutig zerlegen
> lässt, sprich Z = 2*3 und Z = 1*6, hätte man zwei
> Ansätze:
> P(Z=6) = P(X=2,Y=3) und P(Z=6) = P(X=1, Y=6)

>

> Ist das überhaupt dann erlaubt? Was ist wenn die jeweils
> letzten Wkten gleich/unterschiedlich sind->wozu führt das?

Dann wäre ganz einfach

P(Z=6)=P(X=2,Y=3)+P(X=1,Y=6)

Das ist ja das Wesen einer VErteilungsfunktion, dass sie - gerade im diskreten Fall - die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elementarereignisse 'aufsummiert'.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Verteilung von XY bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Mi 18.09.2013
Autor: mugglematts

Aaaah, danke sehr!

Bezug
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