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| Aufgabe | Es seien [mm] a_{n} [/mm] iid Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen, [mm] a_{n} \sim [/mm] Ber(1/2). Definiere U = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}2^{-n}.
[/mm]
Zeigen Sie U [mm] \tilde [/mm] U(0,1) |
Ich bearbeite momentan ein paar Aufgaben und habe kleinere Fragen. Vielleicht kann hier ja jemand helfen :)
Und zwar ist als Hinweis gegeben:
Für m [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sei [mm] D_{m} [/mm] = [mm] \{ \sum_{i=1}^{m} b_{i}2^{-i}, b_{i}=0 oder 1\} [/mm] die Menge der m-stelligen dyadischen Zahlen sowie D die Vereinigung dieser über alle m [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] Überprüfen Sie die Verteilungsgleichheit auf der Klasse
E = [mm] \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcup_{z \in D_{m}} [/mm] [z,z + [mm] 2^{-m}) [/mm] und auf der Klasse F = [mm] \bigcup_{z_{1},z_{2} \in D, z_{1} \leq z_{2}}[z_{1},z_{2})
[/mm]
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Ich komme mit dem Hinweis nicht weiter und würde mich dafür interessieren, wie man damit weiterkommt und auch, wie man diesen zeigen würde.
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Ich habe es anders gelöst:
Ich habe U wie in der Aufgabe definiert, d.h. U = [mm] (0.a_{1}a_{2}a_{3}...)_{2}
[/mm]
Dann gilt für [mm] x=(0.x_{1}x_{2}x_{3}...)
[/mm]
[mm] \{U > x \} [/mm] = [mm] \{a_{1} > x_{1}\} \cup [/mm] ( [mm] \{a_{1} = x_{1}\} \cap \{a_{2} > x_{2}\}) \cup [/mm] ...
Ich weiß ja: [mm] P(a_{i} [/mm] > [mm] x_{i}) [/mm] = 0.5 * (1- [mm] x_{i})
[/mm]
Dann habe ich P(U > x) berechnet. Also die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Mengen in der Zerlegung berechnet und komme auf 1-x.
Also P(U [mm] \leq [/mm] x) = x
Aber dann folgt doch sofort meine Aussage. Oder übersehe ich etwas?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Ich habe es anders gelöst:
>
> Ich habe U wie in der Aufgabe definiert, d.h. U =
> [mm](0.a_{1}a_{2}a_{3}...)_{2}[/mm]
Hier wird ein Problem der Aufgabenstellung und bei dir im Beweis deutlich.
Also erstmal ist der Wertebereich von U natürlich [0,1] und nicht (0,1) und dein Beweis schließt den Fall x=1 ja aus.
> Dann gilt für [mm]x=(0.x_{1}x_{2}x_{3}...)[/mm]
>
> [mm]\{U > x \}[/mm] = [mm]\{a_{1} > x_{1}\} \cup[/mm] ( [mm]\{a_{1} = x_{1}\} \cap \{a_{2} > x_{2}\}) \cup[/mm]
Und hier wird's etwas problematsich, denn was passiert bei [mm] $x_i [/mm] = 9$ ab einem $i [mm] \in \IN$?
[/mm]
Du musst halt in der Dezimaldarstellung beachten, dass $1 = [mm] 0.\overline{9}$ [/mm] gilt.
Wenn du den Fall berücksichtigst, kann dein Beweis so stehen bleiben…
Zur Aufgabenstellung: Die Formulierung ist schon etwas krude, ehrlich gesagt.
Denn was ist bei euch denn eine "Klasse"?
Sowohl
$E = [mm] \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcup_{z \in D_{m}} [/mm] [z,z + [mm] 2^{-m})$ [/mm] als auch $F = [mm] \bigcup_{z_{1},z_{2} \in D, z_{1} \leq z_{2}}[z_{1},z_{2}) [/mm] $ sind Mengen, um genau zu sein halboffene Intervalle und keine Klassen im mengentheoretischen Sinn.
Es gilt, so wie von dir aufgeschrieben, schlichtweg $E=F=[0,1)$
Daher die Frage: Aufgabe korrekt abgetippt? Eure Klassendefinition nachreichen und dann sehen wir mal weiter…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 So 02.05.2021 | | Autor: | Mathe1404 |
Erstmal vielen Dank :)
Ich habe mir das Blatt nochmal angesehen und da sind E und F genau so definiert worden. Kann auf Wunsch aber auch ein Bild von der Aufgabe machen.
Also bei meinem Beweis dann eine Fallunterscheidung?
Wir sind ja im Binärsystem. Müssten dann nicht alle [mm] x_{i} [/mm] bereits 1 sein?
Aber ist dann
P(U [mm] \leq [/mm] 1) = 1 nicht trivial?
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Hiho,
> Ich habe mir das Blatt nochmal angesehen und da sind E und
> F genau so definiert worden. Kann auf Wunsch aber auch ein
> Bild von der Aufgabe machen.
Ich glaub dir das auch so.
Ich hab auch eine Idee, was der Autor meint, muss das aber nochmal prüfen (darum lass ich die Frage erstmal auf halb beantwortet)
> Also bei meinem Beweis dann eine Fallunterscheidung?
>
> Wir sind ja im Binärsystem. Müssten dann nicht alle [mm]x_{i}[/mm] bereits 1 sein?
>
> Aber ist dann
>
> P(U [mm]\leq[/mm] 1) = 1 nicht trivial?
Das Problem tritt ja nicht nur bei der 1 auf.
Beispielsweise ist ja $0.2 = [mm] 0.1\overline{9}$
[/mm]
Jetzt müsstest du also zeigen, dass dein Beweis wohldefiniert ist, d.h. nicht von der Wahl der Darstellung abhängt.
Heißt: dass du auf dasselbe Ergebnis kommst, egal ob ich für x die Darstellung $0.2$ oder [mm] $0.1\overline{9}$ [/mm] wähle.
Gruß,
Gono
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Tut mir leid, dass ich so viele Fragen stelle, aber möchte es wirklich verstehen :)
D.h. wenn ab einem i alle [mm] x_{i} [/mm] 1 wären, dann müsste ich zeigen, dass da dasselbe rauskommt, als wenn [mm] x_{i-1} [/mm] =1 und alle anderen 0 wären?
Wobei ich da jetzt keine Idee hätte, wie ich das zeigen sollte. Die Zerlegung in disjunkte Mengen sollte ja trotzdem gehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 05.05.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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