matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikVerteilung zeigen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Stochastik" - Verteilung zeigen
Verteilung zeigen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verteilung zeigen: Hilfe, Überprüfung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 So 02.05.2021
Autor: Mathe1404

Aufgabe
Es seien [mm] a_{n} [/mm] iid Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen, [mm] a_{n} \sim [/mm] Ber(1/2). Definiere U = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}2^{-n}. [/mm]

Zeigen Sie U [mm] \tilde [/mm] U(0,1)

Ich bearbeite momentan ein paar Aufgaben und habe kleinere Fragen. Vielleicht kann hier ja jemand helfen :)

Und zwar ist als Hinweis gegeben:

Für m [mm] \in \mathbb{N} [/mm] sei [mm] D_{m} [/mm] = [mm] \{ \sum_{i=1}^{m} b_{i}2^{-i}, b_{i}=0 oder 1\} [/mm] die Menge der m-stelligen dyadischen Zahlen sowie D die Vereinigung dieser über alle m [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] Überprüfen Sie die Verteilungsgleichheit auf der Klasse
E = [mm] \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcup_{z \in D_{m}} [/mm] [z,z + [mm] 2^{-m}) [/mm] und auf der Klasse F = [mm] \bigcup_{z_{1},z_{2} \in D, z_{1} \leq z_{2}}[z_{1},z_{2}) [/mm]


-------------------------------

Ich komme mit dem Hinweis nicht weiter und würde mich dafür interessieren, wie man damit weiterkommt und auch, wie man diesen zeigen würde.

---------------------------

Ich habe es anders gelöst:

Ich habe U wie in der Aufgabe definiert, d.h. U = [mm] (0.a_{1}a_{2}a_{3}...)_{2} [/mm]

Dann gilt für [mm] x=(0.x_{1}x_{2}x_{3}...) [/mm]

[mm] \{U > x \} [/mm] = [mm] \{a_{1} > x_{1}\} \cup [/mm] ( [mm] \{a_{1} = x_{1}\} \cap \{a_{2} > x_{2}\}) \cup [/mm] ...

Ich weiß ja: [mm] P(a_{i} [/mm] > [mm] x_{i}) [/mm] = 0.5 * (1- [mm] x_{i}) [/mm]

Dann habe ich P(U > x) berechnet. Also die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Mengen in der Zerlegung berechnet und komme auf 1-x.

Also P(U [mm] \leq [/mm] x) = x

Aber dann folgt doch sofort meine Aussage. Oder übersehe ich etwas?

Vielen Dank.





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Verteilung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 So 02.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe es anders gelöst:
>  
> Ich habe U wie in der Aufgabe definiert, d.h. U =
> [mm](0.a_{1}a_{2}a_{3}...)_{2}[/mm]

Hier wird ein Problem der Aufgabenstellung und bei dir im Beweis deutlich.
Also erstmal ist der Wertebereich von U natürlich [0,1] und nicht (0,1) und dein Beweis schließt den Fall x=1 ja aus.

> Dann gilt für [mm]x=(0.x_{1}x_{2}x_{3}...)[/mm]
>  
> [mm]\{U > x \}[/mm] = [mm]\{a_{1} > x_{1}\} \cup[/mm] ( [mm]\{a_{1} = x_{1}\} \cap \{a_{2} > x_{2}\}) \cup[/mm]

Und hier wird's etwas problematsich, denn was passiert bei [mm] $x_i [/mm] = 9$ ab einem $i [mm] \in \IN$? [/mm]
Du musst halt in der Dezimaldarstellung beachten, dass $1 = [mm] 0.\overline{9}$ [/mm] gilt.
Wenn du den Fall berücksichtigst, kann dein Beweis so stehen bleiben…

Zur Aufgabenstellung: Die Formulierung ist schon etwas krude, ehrlich gesagt.
Denn was ist bei euch denn eine "Klasse"?
Sowohl
$E =  [mm] \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcup_{z \in D_{m}} [/mm]  [z,z +  [mm] 2^{-m})$ [/mm] als auch $F = [mm] \bigcup_{z_{1},z_{2} \in D, z_{1} \leq z_{2}}[z_{1},z_{2}) [/mm] $ sind Mengen, um genau zu sein halboffene Intervalle und keine Klassen im mengentheoretischen Sinn.

Es gilt, so wie von dir aufgeschrieben, schlichtweg $E=F=[0,1)$

Daher die Frage: Aufgabe korrekt abgetippt? Eure Klassendefinition nachreichen und dann sehen wir mal weiter…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Verteilung zeigen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:49 So 02.05.2021
Autor: Mathe1404

Erstmal vielen Dank :)

Ich habe mir das Blatt nochmal angesehen und da sind E und F genau so definiert worden. Kann auf Wunsch aber auch ein Bild von der Aufgabe machen.

Also bei meinem Beweis dann eine Fallunterscheidung?

Wir sind ja im Binärsystem. Müssten dann nicht alle [mm] x_{i} [/mm] bereits 1 sein?

Aber ist dann

P(U [mm] \leq [/mm] 1) = 1 nicht trivial?

Bezug
                        
Bezug
Verteilung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 So 02.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe mir das Blatt nochmal angesehen und da sind E und
> F genau so definiert worden. Kann auf Wunsch aber auch ein
> Bild von der Aufgabe machen.

Ich glaub dir das auch so.
Ich hab auch eine Idee, was der Autor meint, muss das aber nochmal prüfen (darum lass ich die Frage erstmal auf halb beantwortet)

  

> Also bei meinem Beweis dann eine Fallunterscheidung?
>  
> Wir sind ja im Binärsystem. Müssten dann nicht alle [mm]x_{i}[/mm] bereits 1 sein?
>  
> Aber ist dann
>
> P(U [mm]\leq[/mm] 1) = 1 nicht trivial?

Das Problem tritt ja nicht nur bei der 1 auf.
Beispielsweise ist ja $0.2 = [mm] 0.1\overline{9}$ [/mm]
Jetzt müsstest du also zeigen, dass dein Beweis wohldefiniert ist, d.h. nicht von der Wahl der Darstellung abhängt.

Heißt: dass du auf dasselbe Ergebnis kommst, egal ob ich für x die Darstellung $0.2$ oder  [mm] $0.1\overline{9}$ [/mm] wähle.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Verteilung zeigen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:27 So 02.05.2021
Autor: Mathe1404

Tut mir leid, dass ich so viele Fragen stelle, aber möchte es wirklich verstehen :)

D.h. wenn ab einem i alle [mm] x_{i} [/mm] 1 wären, dann müsste ich zeigen, dass da dasselbe rauskommt, als wenn [mm] x_{i-1} [/mm] =1 und alle anderen 0 wären?

Wobei ich da jetzt keine Idee hätte, wie ich das zeigen sollte. Die Zerlegung in disjunkte Mengen sollte ja trotzdem gehen?



Bezug
                                        
Bezug
Verteilung zeigen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 05.05.2021
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]