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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
(a) Für eine Meinungsumfrage werden aus der Bevölkerung (80 Millionen Personen, davon genau 50% Frauen) zufällige 100 Personen ausgewählt.
(i) [4 Punkte] Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Frauen unter den ausgewählten Personen genau? Wie müssen die Parameter dieser Verteilung gewählt werden?
(ii) [5 Punkte] Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mehr als 60 Frauen sind.
(b) Bei der Erhebung von Zeitspannen zwischen aufeinander folgenden Schadensereignissen ergeben sich Stichprobenmittelwert 1.98 und Stichprobenvarianz 3.96.
(i) [3 Punkte] Spricht dies für eine Exponentialverteilung der Zeitspannen?
(ii) [4 Punkte] Wie groß müsste der Stichprobenmedian etwa sein, wenn die Zeitspannen wirklich exponentialverteilt sind?
(c) Eine faire M¨unze werde viermal geworfen (”fair“ heißt, dass Zahl und Kopf jeweils genau mit Wahrscheinlichkeit 0.5 auftreten). A sei das Ereignis, dass die Münze in mindestens zwei aufeinander folgenden Würfen” Kopf“ zeigt.
(i) [5 Punkte] Beschreiben Sie das Ereignis A in einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.
(ii) [3 Punkte] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis A. |
Hi zusammen,
zu a)
X H(n,M,N) mit n=100, M=40.000.000, N=80.000.000
zu b)
Hier ist doch nach P(X > 60) gefragt.
Ich kann doch nun nicht jetzt 1 - (P(X=60) + P(X=59) ....) rechnen. Das würde ja ewig dauern.
Oder kann ich hier einfach P(X=61) rechnen, was aber nicht genau >60 beschreibt ?
Danke schonmal für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Di 12.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Aufgabe 1:
> (a) Für eine Meinungsumfrage werden aus der Bevölkerung
> (80 Millionen Personen, davon genau 50% Frauen) zufällige
> 100 Personen ausgewählt.
> (i) [4 Punkte] Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der
> Frauen unter den ausgewählten Personen genau? Wie müssen
> die Parameter dieser Verteilung gewählt werden?
> (ii) [5 Punkte] Bestimmen Sie approximativ die
> Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mehr als 60
> Frauen sind.
> Hi zusammen,
>
> zu a)
> X H(n,M,N) mit n=100, M=40.000.000, N=80.000.000
Ich könnte mir vorstellen, dass hier möglicherweise eine ausführlichere Antwort erwartet wird, bei der du in Worten beschreibst, um welche Größen es sich handelt (Losumfang, Stichprobkenumfang,...). Wenn du mit H Hypergeometrische Verteilung meinst, bist du am richtigen Weg.
> zu b)
du meinst ii)
> Hier ist doch nach P(X > 60) gefragt.
Ja.
> Ich kann doch nun nicht jetzt 1 - (P(X=60) + P(X=59) ....)
> rechnen. Das würde ja ewig dauern.
Nun das wäre richtig, aber sehr mühsam ohne entsprechende Hilfsmittel. Zum Glück steht in der Angabe approximativ!
> Oder kann ich hier einfach P(X=61) rechnen, was aber nicht
> genau >60 beschreibt ?
Und auch nicht mal näherungsweise. Du müsstest P(X=61)+P(X=62)+...P(X=100) berechnen. Das ist auch mühsam (aber etwas weniger und direkter als dein Ansatz).
Gesucht ist doch nur ein Näherungsergebnis und ihr habt sicher in der Vorlesung besprochen, dass man die HG Verteilung durch die Binomialverteilung nähern kann und diese wiederum durch die Normalverteilung. Es gibt auch Faustregeln, unter welchen Voraussetzungen man hier einen passablen Näherungswert erwarten darf.
Mittels Normalverteilung und Benutzung einer entsprechenden Tabelle sollte sich der Rechenaufwand somit in Grenzen halten.
Überlege also zuerst, wie du von deinen Parametern zu jenen der Normalverteilung kommst (Mittelwert und Standardabweichung).
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
zu ii)
Aus H(n,M,N) kann ich [mm] B(n,\bruch{M}{N})
[/mm]
Aus [mm] B(n,\bruch{M}{N}) [/mm] wird N(np, np(1-p)) mit p = [mm] \bruch{M}{N}
[/mm]
Muss ich dann nur noch P(X>60) = 1 - [mm] \Phi (\bruch{60 - np}{\wurzel{np(1-p)}}) [/mm] rechnen und den entsprechende Wert aus der Tabelle holen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 12.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hi,
> zu ii)
>
> Aus H(n,M,N) kann ich [mm]B(n,\bruch{M}{N})[/mm]
>
> Aus [mm]B(n,\bruch{M}{N})[/mm] wird N(np, np(1-p)) mit p =
> [mm]\bruch{M}{N}[/mm]
>
> Muss ich dann nur noch P(X>60) = 1 - [mm]\Phi (\bruch{60 - np}{\wurzel{np(1-p)}})[/mm]
> rechnen und den entsprechende Wert aus der Tabelle holen ?
Ja genau. Besser noch du verwendest die sogenannte Stetigkeitskorrektur, d.h. du ersetzt den Wert 60 durch 60+0,5.
"Genaue" Rechnung mit Hypergeometrischer Verteilung liefert als Ergebnis 1,760004 %.
Näherung mit Binomialverteilung (ebenfalls aufwändig ohne Hilfsmittel) liefert 1,760010 %. Wegen der sehr großen Grundgesamtheit im Vergleich zur Stichprobengröße verwundert diese Genauigkeit nicht.
Näherung mit Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur ergibt 2,275 % und Näherung mit Stetigkeitskorrektur liefert 1,786 %. Die Werte wurden mithilfe eines CAS ermittelt, mit Tabellen lookup kannst du da auf geringfügig andere Werte kommen.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
zu c)ii)
Ich habe 8 mögliche Ereignisse für A.
Muss ich nun wissen wieviele Ereignisse, bzw. Kombinationen, es bei 4 Würfen geben kann und dann kann ich [mm] \bruch{8}{Summe aller möglichen Ereignisse} [/mm] rechnen und dann habe ich die Wahrscheinlichkeit ?
Wie kann ich die Summe aller möglichen Ereignissen berechnen ?
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Hallo,
> zu c)ii)
> Ich habe 8 mögliche Ereignisse für A.
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich nun wissen wieviele Ereignisse, bzw.
> Kombinationen, es bei 4 Würfen geben kann und dann kann
> ich [mm]\bruch{8}{Summe aller möglichen Ereignisse}[/mm] rechnen
> und dann habe ich die Wahrscheinlichkeit ?
>
> Wie kann ich die Summe aller möglichen Ereignissen
> berechnen ?
Die Anzahl der möglichen Ereignisse ist hier [mm] 2^4=16. [/mm] Es sollte dir zu denken geben, wenn du da nicht drauf kommst (bitte: nicht als Boshaftigkeit auffassen sondern als sachliche Kritik): du musst solche Aufgaben einfach methodischer angehen und versuchen, sie gedanklich besser zu durchdringen. Übrigens heißen solche Möglichkeiten in der Kombinatorik oft Variationen. Sie entsprechen dem Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
PS: wie viele Punkte eine Aufgabe einbringt, interessiert uns hier nicht. Das kann und sollte weggelassen werden. Der Originaltext einer Aufgabe hingegen interessiert uns. Ich habe so meine leisen Zweifel, ob bspw. ein solcher Satz wie: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis A wirklich original wiedergegeben ist. Das klingt mit Verlaub schon ziemlich holprig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ok die Punkteangabe lasse ich in Zukunft weg.
Den Text habe ich jedoch genau 1 zu 1 kopiert. Also für die Aufgabenstellung kann ich in diesem Fall nichts.
Meine Frage wieviel Variationen es gibt habe ich deswegen gestellt, da es für A(mind. 2 mal Kopf hintereinander) 8 Variationen gibt und das gleiche dann auch für "mind 2 mal Zahl hintereinander" der Fall ist.
Jedoch kann doch bei 4maligen werfen auch KZKZ erscheinen, was ja dann für mehr als 16 Variationen sprechen würde.
Habe ich hier einen Denkfehler eingebaut?
Ich dachte auch zuerst an P(A) = [mm] \bruch{8}{16}.
[/mm]
Dann habe ich an KZKZ und ZKZK gedacht und dachte P(A) = [mm] \bruch{8}{18}.
[/mm]
Ja ich ich weiß das kann man noch kürzen.
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Hallo,
> Hi,
> ok die Punkteangabe lasse ich in Zukunft weg.
> Den Text habe ich jedoch genau 1 zu 1 kopiert. Also für
> die Aufgabenstellung kann ich in diesem Fall nichts.
>
> Meine Frage wieviel Variationen es gibt habe ich deswegen
> gestellt, da es für A(mind. 2 mal Kopf hintereinander) 8
> Variationen gibt und das gleiche dann auch für "mind 2 mal
> Zahl hintereinander" der Fall ist.
> Jedoch kann doch bei 4maligen werfen auch KZKZ erscheinen,
> was ja dann für mehr als 16 Variationen sprechen würde.
Wieso?
>
> Habe ich hier einen Denkfehler eingebaut?
Ja, definitiv.
>
> Ich dachte auch zuerst an P(A) = [mm]\bruch{8}{16}.[/mm]
> Dann habe ich an KZKZ und ZKZK gedacht und dachte P(A) =
> [mm]\bruch{8}{18}.[/mm]
> Ja ich ich weiß das kann man noch kürzen.
Für den ersten Wurf gibt es zwei Möglichkeiten, richtig?
Für den zweiten Wurf gibt es dann ebenfalls zwei Möglichkeiten. Für zwei Würfe gibt es somit 2*2=4 Möglichkeiten, auch richtig?
Wieviele Möglichkeiten gibt es dann wohl für drei bzw. vier Würfe? Das wäre die Preisfrage des Tages.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich nehme aller meine Überlegungen zurück.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Di 12.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
Unter den Möglichkeiten, zwei Mal hintereinander Kopf zu werfen, befinden sich zwei, bei denen zusätzlich auch zwei Mal Zahl hintereinander kommt. Diese hast du damit bei deiner Zählweise doppelt gezählt und kamst damit auf die falsche Anzahl 18.
RMix
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Hallo,
> (b) Bei der Erhebung von Zeitspannen zwischen aufeinander
> folgenden Schadensereignissen ergeben sich
> Stichprobenmittelwert 1.98 und Stichprobenvarianz 3.96.
> (i) [3 Punkte] Spricht dies für eine
> Exponentialverteilung der Zeitspannen?
> (ii) [4 Punkte] Wie groß müsste der Stichprobenmedian
> etwa sein, wenn die Zeitspannen wirklich
> exponentialverteilt sind?
Hier könnte man mit dem Variationskoeffizienten argumentieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
zu b)
i)
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{1,98}
[/mm]
[mm] s_{N}^2 [/mm] = 1 / [mm] \lambda^2 [/mm] = 3,920 [mm] \approx [/mm] 3,96
Und wir haben in der Vorlesung gelernt das die Exponentialverteilung bei Wartezeiten zwischen 2 Ereignissen geeignet ist.
ii)
[mm] \dot x_{N} [/mm] = ln(2) / [mm] \lambda [/mm] = 1,372
Das müsste korrekt sein.
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Hallo,
> zu b)
> i)
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{1}{1,98}[/mm]
> [mm]s_{N}^2[/mm] = 1 / [mm]\lambda^2[/mm] = 3,920 [mm]\approx[/mm] 3,96
>
> Und wir haben in der Vorlesung gelernt das die
> Exponentialverteilung bei Wartezeiten zwischen 2
> Ereignissen geeignet ist.
Ja, so ist es. Die Exponentialverteilung ist grundsätzlich geeignet und die Maßzahlen bestätigen dies.
>
> ii)
> [mm]\dot x_{N}[/mm] = ln(2) / [mm]\lambda[/mm] = 1,372
>
> Das müsste korrekt sein.
Ja, nur dass du nach wie vor mit dem Gleichheitszeichen einen zu lockeren Umgang pflegst (oben hast du es noch richtig gemacht!). Es ist
[mm] \tilde{x}=\bruch{ln(2)}{\lambda}\approx{1.372}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Di 12.08.2014 | | Autor: | Bindl |
Unsere Tutoren schreiben auch immer = und nicht [mm] \approx, [/mm] also habe ich mich mir das etwas nicht ganz so korrektes angewöhnt.
Versuche in Zukunft daran zu denken.
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). Aber hier geht es darum, dass die Bedeutung des Gleichheitszeichens eben die ist, dass beide Seiten gleich sind. Exakt gleich, ohne irgendeine Abweichung. Und daran gibt es nichts zu rütteln, sonst hat das mit Mathematik nichts mehr zu tun. Vielleicht wäre das diese sagenumwobene ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Arithmantik
