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Verteilungfkt. eines W-Maßes: Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:44 Di 28.07.2020
Autor: Boogie2015

Hallo

In einem kurzen Abschnitt im Skript wird erklärt, wie die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zustande kommt (also eher eine Herleitung).

Der Abschnitt:

"Eine W- keit $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] ist nach dem Eindeutigkeitssatz 5.10 (wähle [mm] $\mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ (- \infty, x ]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \}$ [/mm] und verwende [mm] $\mathcal{F}(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \mathcal{B})$ [/mm] durch ihre sog. Verteilungsfunktion $F$,

$F(x) := P((- [mm] \infty, [/mm] x [mm] ])\quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] eindeutig bestimmt."

Was genau heißt das ? Dass man aus einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] genau eine Verteilungsfunktion konstruieren kann oder dass man aus einer Verteilungsfunktion genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm]  konstruieren kann ? Ich denke mal ersteres.
Aber dann verstehe ich nicht, wie man die Eindeutigkeit der Verteilungsfunktion gezeigt hat. Weiter im Skript zeigt man, dass $F$ die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion erfüllt (ist hier nicht wichtig). Aber die Eindeutigkeit fehlt mir. Warum kann ich aus $P$ nicht mehrere Verteilungsfunktionen konstruieren ?

Wir haben den Maßeindeutigkeitssatz in der Vorlesung so definiert:

"Sei [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ein [mm] $\cap$ [/mm] - stabiles System von Teilmengen von [mm] $\Omega$. [/mm]
Sind [mm] $\mu_{1}$ [/mm] und [mm] $\mu_{2}$ [/mm] zwei Maße auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F}(\mathcal{E}))$, [/mm] die auf [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] übereinstimmen und [mm] $\sigma$ [/mm] - endlich in [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] sind, so stimmen sie auf [mm] $\mathcal{F}(\mathcal{E})$ [/mm] überein."


Ich habe versucht, selber den Maßeindeutigkeitssatz anzuwenden:

Wir haben eine nicht - leere Menge [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \mathbb{R}$ [/mm] und ein System von Teilmengen von [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \mathbb{R}$, [/mm] nämlich  [mm] $\mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ (- \infty, x ]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \}$. [/mm] Die Menge [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ist [mm] $\cap$ [/mm] - stabil, denn für zwei beliebige reelle Zahl $x$ und $y$ gilt:  $ (- [mm] \infty, [/mm] x ] [mm] \cap [/mm]  (- [mm] \infty, [/mm] y ] =  (- [mm] \infty, \max(x, [/mm] y) ] [mm] \in \mathcal{E}$ [/mm]
Dann haben wir noch zwei Wahrscheinlichkeitsmaße  $P: [mm] \mathcal{B} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] P(A)$ und $Q: [mm] \mathcal{B} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] Q(A)$ mit [mm] $P(\varepsilon) [/mm] = [mm] Q(\varepsilon)\quad \varepsilon \in \mathcal{E}$. [/mm]
Wahrscheinlichkeitsmaße sind per Definition [mm] $\sigma$ [/mm] - endlich in [mm] $\mathcal{E}$. [/mm]
Damit sind alle Voraussetzungen des Maßeindeutigkeitssatzes erfüllt und nach diesem Satz gilt $P = Q$.

Bisher ist alles ok. Wo hat man aber gezeigt, dass $P$ genau eine Verteilungsfunktion besitzt ?

Ich bin seit Tagen verwirrt, obwohl die Antwort bestimmt nicht schwierig ist. Aber irgendwie macht es bei mir nicht "Klick"...

Bedanke mich schon mal im Voraus.

lg, Boogie






        
Bezug
Verteilungfkt. eines W-Maßes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Di 28.07.2020
Autor: Marc

Hallo Boogie,

> In einem kurzen Abschnitt im Skript wird erklärt, wie die
> Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
> zustande kommt (also eher eine Herleitung).
>  
> Der Abschnitt:
>  
> "Eine W- keit [mm]P[/mm] auf [mm](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/mm] ist nach dem
> Eindeutigkeitssatz 5.10 (wähle [mm]\mathcal{E} := \{ (- \infty, x ]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \}[/mm]
> und verwende [mm]\mathcal{F}(\mathcal{E}) = \mathcal{B})[/mm] durch
> ihre sog. Verteilungsfunktion [mm]F[/mm],
>  
> [mm]F(x) := P((- \infty, x ])\quad \forall x \in \mathbb{R}[/mm]
> eindeutig bestimmt."
>  
> Was genau heißt das ? Dass man aus einem
> Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P[/mm] auf [mm](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/mm]
> genau eine Verteilungsfunktion konstruieren kann oder dass
> man aus einer Verteilungsfunktion genau ein
> Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P[/mm] auf [mm](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/mm]  
> konstruieren kann ? Ich denke mal ersteres.

Weder noch :-)
Da steht nichts über die Eindeutigkeit einer Verteilungsfunktion, sondern:
Wenn man diese Verteilungsfunktion kennt (also weiß, was das Maß diesen halboffenen Intervallen [mm] $(-\infty,x]$ [/mm] zuordnet), dann ist das Maß  bereits eindeutig bestimmt (d.h. P(B) ist für alle [mm] $B\in\mathcal{B}$ [/mm] bereits eindeutig festgelegt, nicht nur für [mm] $B=(-\infty,x]$). [/mm]

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Verteilungfkt. eines W-Maßes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Di 28.07.2020
Autor: Boogie2015

Hallo. Vielen Dank, Marc!

Unglaublich, wie doof man sich manchmal anstellen kann. Danke, dass du mich aufgeklärt hast!

Ich denke, ich verstehe nun. Der Abschnitt sagt im Prinzip aus:

Jedes W-Maß $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] definiert eine Verteilungsfunktion $F$ via $F(x) = P((- [mm] \infty, x])\quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm]

(Ob jedes W- Maß $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] GENAU EINE Verteilungsfunktion definiert, weiß man nicht. Ist das überhaupt so ? Oder hat ein W - Maß auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] mehrere Verteilungsfunktionen ?).
Und wenn man die Werte  $P((- [mm] \infty, [/mm] x])$ für ein $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] kennt, da kennt man auch schon das ganze W - Maß $P$ auf  $P((- [mm] \infty, [/mm] x])$ für ein $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$. [/mm]
Hättest du nebenbei eine Idee, wie man aus den Werten  $P((- [mm] \infty, [/mm] x])$ für ein $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] das zugehörige W - Maß auf  $P((- [mm] \infty, [/mm] x])$ für ein $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] rekonstruieren könnte ?


Mich verwirrt in der Hinsicht noch der letzte Abschnitt der Bemerkung im Skript. Und zwar der 2. Abschnitt. Ich tippe die gesamte Bemerkung kurz ab, wobei nur der letzte Teil relevant ist.



Bemerkung 6.13
_____________

1. Eine W-keit $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] ist nach dem Eindeutigkeitssatz $5.10$ (wähle [mm] $\mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ (- \infty, x ]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \}$ [/mm] und verwende [mm] $\mathcal{F}(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \mathcal{B}$) [/mm] durch ihre sig. Verteilungsfunktion $F$,

$F(x) := P(( - [mm] \infty, x])\quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] eindeutig bestimmt.

2. Umgekehrt definiert jede Verteilungsfunktion $F$ nach dem Fortsetzungssatz in eindeutigerweise eine W-keit $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] und die Verteilungsfunktionen $f$ und die W-keiten $P$ entsprechen sich eindeutig via $P((- [mm] \infty, [/mm] x)) = F(x)$.

Im zweiten Abschnitt wird also ganz klar eine Eindeutigkeitsaussage getroffen. Jede Verteilungsfunktion definiert GENAU EIN W-Maß auf  [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$. [/mm]

Im ersten Abschnitt steht aber nichts davon, dass es umgekehrt auch so ist.
Das Wort "umgekehrt" im 2. Abschnitt gibt mir aber das Gefühl, als hätte man im ersten Abschnitt indirekt gezeigt, dass auch jedes W - Maß auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] GENAU EINE Verteilungsfunktion definiert. Das geht aber nirgends hervor, wenn das stimmen sollte.


Also meine Frage: Definiert jedes W-Maß auf  $P((- [mm] \infty, [/mm] x])$ für ein $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] GENAU EINE Verteilungfunktion ?
Falls ja, geht das aus der obigen Bemerkung irgendwo hervor ?


Würde mich auf eine Rückmeldung freuen!

Liebe Grüße,

Boogie


Bezug
                        
Bezug
Verteilungfkt. eines W-Maßes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Di 28.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also so wie 1.) und 2.) formuliert sind, sagen sie de facto dasselbe aus.

Dass jede Wahrscheinlichkeit eine und nur eine Verteilungsfunktion definiert, ist irgendwie trivial und sofort klar…

Es ist ja $F(x) = P((- [mm] \infty, [/mm] x])$. Sei nun $G$ eine zweite Verteilungsfunktion von $P$, d.h. es gilt ebenso $ G(x) = P((- [mm] \infty, x])\quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $

Daraus folgt sofort $G(x) = P((- [mm] \infty, [/mm] x]) = F(x) [mm] \quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $, d.h. $F [mm] \equiv [/mm] G$


Was die Bemerkung eigentlich aussagen will: Jedes W-Maß definiert eine Verteilungsfunktion (klar, per definitionem), aber umgekehrt definiert eben jede Verteilungsfunktion auch ein W-Maß dank des Maßeindeutigkeitsatzes.

> Hättest du nebenbei eine Idee, wie man aus den Werten  $ P((- [mm] \infty, [/mm] x]) $ für ein $ P $ auf $ [mm] (\mathbb{R}, \mathcal{B}) [/mm] $ das zugehörige W - Maß auf  $ P((- [mm] \infty, [/mm] x]) $ für ein $ P $ auf $ [mm] (\mathbb{R}, \mathcal{B}) [/mm] $ rekonstruieren könnte ?

Das ist im Allgemeinen nicht möglich. Der Maßeindeutigkeitssatz liefert dir nur die Existenz eines eindeutigen Maßes auf $ [mm] \mathcal{B}$, [/mm] wie das aber konkret für eine meßbare Menge aussieht, die kein Intervall ist, ist nicht klar.

Das gelingt dir ja schon nicht für bekannte Maße wie das Borel-Lebesgue-Maß.
Oder kannst du mir da eine konkrete Bildungsvorschrift für beliebige meßbare Mengen nennen?

Gruß,
Gono  

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