Verteilungsdichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Sandno |
| Aufgabe | Die Verteilungsfunktion f einer Zufallsgröße X sei gleich
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/2 x, & \mbox{für } x \in[0,2] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \in\IR \setminus [0,2] \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
a) Ermitteln der Verteilungsfunktion von X.
b) Berechnen des Erwartungswertes und der Varianz von X.
c) welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsgröße -2X?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo und guten Abend, ich hoffe, hier ein wenig Hilfe zu finden.
Ich habe die ersten beiden Teilaufgaben wie folgt gelöst:
a) die Verteilungsfuntion errechnet sich aus dem Integral der Verteilungsdichte. Hierbei habe ich festgestellt, dass es sich um eine stetige Verteilungsfunktion handeln muss:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1/2 x dx}
[/mm]
Erste Frage: bin ich auf dem richtigen Weg?
b) Der erwartungswert berechnet sich obigen Angaben zufolge mit:
EX = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{0}{0 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{1/2 x dx} [/mm] + [mm] \integral_{2}^{\infty}{0 dx}
[/mm]
= x²/4
Wobei das erste und das dritte Intergal jeweils wegen der Null wegfallen.
mein Erwartungswert beträgt somit :
EX = 1.
Die Varianz habe ich schließlich mit Hilfe der Formel
D²X = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(x - EX)² f(x) dx} [/mm] berechnet und kam schließlich auf D²X = 1/3.
Meine erste Frage an dieser Stelle: Stimmen meine Lösungen?
Ich bin leider sehr unsicher, was das betrifft und bin über jegliche Kritik bzw. Hinweise dankbar!
Sandra
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Hallo Sandno,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Verteilungsfunktion f einer Zufallsgröße X sei gleich
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1/2 x, & \mbox{für } x \in[0,2] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \in\IR \setminus [0,2] \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> a) Ermitteln der Verteilungsfunktion von X.
> b) Berechnen des Erwartungswertes und der Varianz von X.
> c) welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsgröße -2X?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo und guten Abend, ich hoffe, hier ein wenig Hilfe zu
> finden.
>
> Ich habe die ersten beiden Teilaufgaben wie folgt gelöst:
>
> a) die Verteilungsfuntion errechnet sich aus dem Integral
> der Verteilungsdichte. Hierbei habe ich festgestellt, dass
> es sich um eine stetige Verteilungsfunktion handeln muss:
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{1/2 x dx}[/mm]
>
> Erste Frage: bin ich auf dem richtigen Weg?
>
> b) Der erwartungswert berechnet sich obigen Angaben zufolge
> mit:
>
> EX = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-\infty}^{0}{0 dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{2}{1/2 x dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{2}^{\infty}{0 dx}[/mm]
>
>
> = x²/4
> Wobei das erste und das dritte Intergal jeweils wegen der
> Null wegfallen.
>
> mein Erwartungswert beträgt somit :
>
> EX = 1.
Hier hast Du nur gezeigt, dass das eine Verteilungsfunktion ist.
Offenbar hast Du hier was verwechselt:
EX = [mm]\integral_{0}^{2}{xf(x) \ dx}=\integral_{0}^{2}{x \bruch{x}{2} \ dx}=\integral_{0}^{2}{\bruch{x^{2}}{2} \ dx}[/mm]
>
> Die Varianz habe ich schließlich mit Hilfe der Formel
>
> D²X = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{(x - EX)² f(x) dx}[/mm]
> berechnet und kam schließlich auf D²X = 1/3.
>
> Meine erste Frage an dieser Stelle: Stimmen meine
> Lösungen?
Da der Erwartungswert nicht stimmt,
stimmt demzufolge auch die Varianz nicht.
> Ich bin leider sehr unsicher, was das betrifft und bin
> über jegliche Kritik bzw. Hinweise dankbar!
>
> Sandra
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Du hast recht MathePower, ich habe da wirklich etwas sehr durcheinandergehauen. Mein Erwartungswert beträgt jetzt:
EX = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
und damit ergibt sich für die Varianz:
D²X = [mm] \bruch{1}{4}. [/mm]
Stimmt das jetzt???
Und dann zugleich meine Frage zum Aufgabenteil c. Ich kann leider gar nichts damit anfangen. Mir fehlt ein entsprechendes Stichwort bzw. ein Hinweis. Kann mir da jemand weiterhelfen??
VG Sandra
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Hallo Sandno,
> Du hast recht MathePower, ich habe da wirklich etwas sehr
> durcheinandergehauen. Mein Erwartungswert beträgt jetzt:
>
> EX = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> und damit ergibt sich für die Varianz:
>
> D²X = [mm]\bruch{1}{4}.[/mm]
>
> Stimmt das jetzt???
Ich hab leider einen anderen Erwartungswert heraus.
Poste doch bitte mal die Rechenschritte, wie Du zu diesem Ergebnis gekommen bist.
>
> Und dann zugleich meine Frage zum Aufgabenteil c. Ich kann
> leider gar nichts damit anfangen. Mir fehlt ein
> entsprechendes Stichwort bzw. ein Hinweis. Kann mir da
> jemand weiterhelfen??
>
> VG Sandra
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Also, ich habe die nachstehende Formel verwendet:
EX = $ [mm] \integral_{0}^{2}{xf(x) \ dx}=\integral_{0}^{2}{x \bruch{x}{2} \ dx}=\integral_{0}^{2}{\bruch{x^{2}}{2} \ dx} [/mm] $
( ... oh man, wie dämlich, ich kann noch nicht einmal mehr kürzen!!! )
= [mm] [\bruch{x³}{6}] [/mm] = F(2)- F(0) = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Damit ergibt sich dann für die Varianz:
D²X = $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(x - EX)² f(x) dx} [/mm] $
= $ [mm] \integral_{0}^{2}{(x - \bruch{4}{3})² f(x) dx} [/mm] $
= $ [mm] \integral_{0}^{2}{( \bruch{x³}{2}) - ( \bruch{8x²}{6}) + ( \bruch{16x}{18})dx} [/mm] $
= [ ( [mm] \bruch{x^{4}}{8}) [/mm] - ( [mm] \bruch{8x^{3}}{18}) [/mm] + ( [mm] \bruch{8x^{2}}{18})
[/mm]
= 0,222.
Hm, ich weiß nicht, irgenwie werde ich im Moment immer unsicherer.... :-(
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Hallo Sando,
> Also, ich habe die nachstehende Formel verwendet:
>
> EX = [mm]\integral_{0}^{2}{xf(x) \ dx}=\integral_{0}^{2}{x \bruch{x}{2} \ dx}=\integral_{0}^{2}{\bruch{x^{2}}{2} \ dx}[/mm]
>
> ( ... oh man, wie dämlich, ich kann noch nicht einmal mehr
> kürzen!!! )
>
> = [mm][\bruch{x³}{6}][/mm] = F(2)- F(0) = [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Damit ergibt sich dann für die Varianz:
>
> D²X = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{(x - EX)² f(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2}{(x - \bruch{4}{3})² f(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2}{( \bruch{x³}{2}) - ( \bruch{8x²}{6}) + ( \bruch{16x}{18})dx}[/mm]
>
> = [ ( [mm]\bruch{x^{4}}{8})[/mm] - ( [mm]\bruch{8x^{3}}{18})[/mm] + (
> [mm]\bruch{8x^{2}}{18})[/mm]
>
> = 0,222.
Das stimmt auch.
Das exakte Ergebnis lautet: [mm]D^{2}X=\bruch{2}{9} \approx 0,222 [/mm]
>
>
> Hm, ich weiß nicht, irgenwie werde ich im Moment immer
> unsicherer.... :-(
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Sandno |
MathePower, ich danke dir!!!!!!!
Jetzt ist mir ein riesiger Stein vom Herzen gefallen!
So, nun wäre da noch der Aufgabenteil c. Mit dem ich leider ganz und gar nichts anfangen kann.
Kannst du mir bitte einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 21.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo sandno,
hier kommt ein kleiner Tipp zum Aufgabenteil c).
Die Dichtefunktion bleibt auch nach dieser Abbildung auf -2X eine Dichtefunktion, das Integral darüber muss also weiterhin 1 ergeben.
Überlege Dir doch mal folgendes: Auf welchen Wertebereich, der ja für die Zufallsvariable X zwischen 0 und 2 liegt,wird denn diese Zufallsvariable abgebildet durch eine Vorschrift, dass man die Werte mal 2 nehmen soll und ein Minuszeichen davorsetzt? Wenn Du diese Grenzen hast, ist es nicht mehr schwer, die neue Dichte auszurechnen, denn Du weisst ja, dass das Integral darüber den Wert Eins ergeben muss.
Ich glaube, jetzt kommst Du selbst auf die Lösung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Danke für den Tipp, Infnit.
Ich hoffe, diesen richtig verstanden zu haben:
f(x) = [mm] \integral_{ }^{ }{-2x dx} [/mm] = 1
als Grenzen fand ich -1 und 0 also:
f(x) = [mm] \integral_{-1 }^{0 }{-2x dx} [/mm] = 1
f(x) = [-x²] = 1Allerdings bin ich mir noch immer nicht sicher, ob das so stimmt.
Wäre mein Ergebnis dann das zuletzt genannte Integral?
bzw.:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 1/2 x, & \mbox{für } x \in[0,2] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \in\IR \setminus [0,2] \mbox{ } \\ -2 x, & \mbox{für } x \in[-1,0]\end{cases} [/mm] $ ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 21.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo sandno,
ganz hast Du es noch nicht verinnerlicht. Die Zufallsvariablen geben die Grenzen des Integrals an, nicht den Integranden.
Wenn die ursprünglichen Werte der Zufallsvariablen zwischen 0 und 2 liegen, und Du bildest eine neue Zufallsvariable der Größe -2X, wo liegen dann die Grenzen?
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Du hast Recht, bei mir hängt es.
Ich habe mich jetzt noch einmal belesen.
Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich so vorgehen:
F(x) = P(-2X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(X\ge [/mm] - [mm] \bruch{x}{2}) [/mm] = F(- [mm] \bruch{x}{2})
[/mm]
... stimmt das?
Ich schau noh einmal, wie es jetzt weitergeht, bin da noch sehr unsicher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 So 21.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Sandno,
Du bringst hier Definitionen rein, von denen Du allerdings augenscheinlich nicht weisst, was sie bedeuten. Also, versuchen wir es doch noch mal zusammen.
Der Ausgang eines Zufallsexperimentes wird durch die Definitionen auf einen Wertebereich abgebildet, in Deinem Fall sind es die reellen Zahlen, die in einem Bereich zwischen 0 und 2 liegen können. Im Aufgabenteil c) geht es nun darum, dass dieser Wertebereich durch eine Vorschrift auf einen anderen Wertebereich abgebildet wird. Wenn Du möchtest, kannst Du dieser neuen Zufallsvariablen, die dadurch entsteht, einen neuen Namen geben, z.B. Z. Das heisst, Du hast eine Funktion mit der Eigenschaft
$$ Z = -2 X [mm] \, [/mm] . $$
Jetzt mal langsam. Du weisst, die alte Zufallsvariable X liegt in einem Wertebereich zwischen 0 und 2. jetzt beantworte mir und Dir erst mal die einfache Frage (nicht so kompliziert denken  ),welche Werte die neue Zufallsvariable Z annehmen kann. Dann machen wir weiter.
VG,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Der neue Wertebereich liegt also zwischen 0 und -4....
richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 So 21.09.2008 | | Autor: | Infinit |
So ist es.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Das integriere ich jetzt und erhalte somit die Verteilungsfunktion, stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Also, ich meinte, ich integrierte die obige Dichtefunktion und erhalte:
F(x) = [mm] \begin{cases} x²/4, & \mbox{für } x \in[-4,0] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 21.09.2008 | | Autor: | luis52 |
> Also, ich meinte, ich integrierte die obige Dichtefunktion
> und erhalte:
>
> F(x) = [mm]\begin{cases} x²/4, & \mbox{für } x \in[-4,0] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
Moin Sandno,
das *kann* nicht stimmen. Beachte, dass $F(x)$ eine Wsk ist. Nach deiner
Formel ist aber [mm] $F(-4)=(-4)^2/4=4$!
[/mm]
Versuch es doch einmal so. Gesucht [mm] $P(-2X\le [/mm] y)$ fuer $-4<y<0$ (andere
y-Werte sind uninteressant). Was heisst das fuer $X$, wenn das Ereignis
[mm] $(-2X\le [/mm] y)$ eintritt? Kannst du es auf eine Form bringen, wo ein
Ausdruck der Form [mm] $(X\le [/mm] z)$ vorkommt? Das waere schoen, da du ja die
Verteilung von $X$ schon kennst...
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 21.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Weswegen willst Du auf einmal integrieren, wo es doch wohl um die Bestimmung der neuen Verteilungsdichte geht. Bei solch linearen Abbildungen dividiert man die Originaldichte durch den Betrag der Ableitung der Abbildungsfunktion. Das wäre bei Dir also eine 2 [mm] (\mm] \bruch{dY}{dX} [/mm] = - 2 [/mm] und hiervon der Betrag in den Grenzen, die wir vorhin ausgerechnet haben.
VG,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Durch Versuch und Irrtum kam ich jetzt auf die Lösung, dass
f(x) = [mm] \bruch{-x}{8} [/mm] für den oben angegebenen Intervall von -4 bis 0
stimmt das so???
Wie jedoch ist das ohne eben benannte Variante in mathematisch korrekter Weise möglich?!?!
sorry, ich weiß, ich stell mich an wie der erste Mensch, ich fühl mich gerade auch so. Seid bitte noch ein wenig geduldig mit mir, ich bemühe mich!!!
VG Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 So 21.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo sandra,
die Abbildung von Zufallsvariablen kann eine sehr trickreiche Sache sein, die keineswegs einfach zu handhaben ist, insbesondere wenn die Abbildungsfunktion nichtlinear ist. Deine Lösung ist jetzt okay. ![[]](/images/popup.gif) Hier habe ich mal noch einen Link zu dieser Problematik gefunden, ich weiss aber nicht, wie tief Du in der Statistik drinsteckst, um damit umgehen zu können.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 So 21.09.2008 | | Autor: | Sandno |
Ich werde mir den Link zu gemüte führen!!!!
Und möchte euch an dieser Stelle herzlichst für eure Geduld mit mir danken!!!!!!!
VG Sandra
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