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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:50 So 12.02.2017 | | Autor: | James90 |
Hi!
Sei X normalverteilt mit Parameter [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^2 [/mm] und [mm] Y=\frac{1}{2}(X-10).
[/mm]
1) Sei [mm] \mu=50 [/mm] und [mm] $\sigma^2=10$. [/mm] Berechne die Verteilung von Y
[mm] $P(Y\le x)=P(\frac{1}{2}(X-10)\le x)=P(X\le [/mm] 2x+10)$
Bis hierhin richtig?
[mm] Z=\frac{X-50}{10} [/mm] -> [mm] P(X\le 2x+10)=P(Z\le \frac{2x+10-50}{10})=P(Z\le \frac{1}{5}x-4)
[/mm]
Ist nun Y normalverteilt mit Parameter [mm] \sigma=\frac{1}{5} [/mm] und [mm] \mu=-4 [/mm] ?
Dankeschön!!
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Hiho,
die Aufgabe kann man auf verschiedene Wege lösen. Welchen Weg man wählt, hängt start davon ab, was ihr verwenden dürft:
> [mm]Y=\frac{1}{2}(X-10)[/mm]
i) Wenn ihr verwenden dürft, dass jede lineare Transformation einer Normalverteilung wieder normalverteilt ist, dann weißt du bereits, dass Y normalverteilt ist und die Parameter errechnen sich simpel aus den Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz, denn es gilt:
$E[Y] = [mm] \frac{1}{2}\left(E[X] - 10\right)$
[/mm]
[mm] $\text{Var}(Y) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \text{Var}(X)$
[/mm]
Einsetzen liefert die gewünschten Werte
ii) Dein zweiter Ansatz über die Verteilungsfunktion:
$P(Y [mm] \le [/mm] x) = P(X [mm] \le [/mm] 2x + 10) = [mm] P\left(Z \le \frac{2x+10 - \mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] P\left(Z \le \frac{x - \mu'}{\sigma'}\right)$ [/mm] mit geeigneten [mm] $\mu'$ [/mm] und [mm] $\sigma'$, [/mm] dann sind diese die gesuchten Werte.
Hier hast du auch einen Fehler gemacht:
Du kommst auf
> [mm] P(Z\le \frac{1}{5}x-4)[/mm]
bis dahin ist alles korrekt. Das hat aber nicht obige Form, sondern das wäre umgeformt [mm] $P\left(Z \le \frac{x-20}{5}\right)$
[/mm]
und jetzt kannst du Erwartungswert und Varianz von Y ablesen.
iii) Sauber und eindeutiger wäre der Weg zu zeigen, dass $Y$ die Dichte einer Normalverteilung hat.
Betrachte dazu wie bereits von dir getan:
[mm] $F_Y(x) [/mm] = P(Y [mm] \le [/mm] x) = P(X [mm] \le [/mm] 2x + 10) = [mm] F_X(2x+10)$
[/mm]
Leite nun beide Seiten nach x ab und zeige, dass $F'_Y$ wirklich die Dichte einer Normalverteilung ist.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 12.02.2017 | | Autor: | James90 |
> Hiho,
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> die Aufgabe kann man auf verschiedene Wege lösen. Welchen
> Weg man wählt, hängt start davon ab, was ihr verwenden
> dürft:
>
> > [mm]Y=\frac{1}{2}(X-10)[/mm]
>
> i) Wenn ihr verwenden dürft, dass jede lineare
> Transformation einer Normalverteilung wieder normalverteilt
> ist, dann weißt du bereits, dass Y normalverteilt ist und
> die Parameter errechnen sich simpel aus den Rechenregeln
> für Erwartungswert und Varianz, denn es gilt:
> [mm]E[Y] = \frac{1}{2}\left(E[X] - 10\right)[/mm]
> [mm]\text{Var}(Y) = \frac{1}{4} \text{Var}(X)[/mm]
>
> Einsetzen liefert die gewünschten Werte
Cool, danke!
> ii) Dein zweiter Ansatz über die Verteilungsfunktion:
> [mm]P(Y \le x) = P(X \le 2x + 10) = P\left(Z \le \frac{2x+10 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z \le \frac{x - \mu'}{\sigma'}\right)[/mm]
> mit geeigneten [mm]\mu'[/mm] und [mm]\sigma'[/mm], dann sind diese die
> gesuchten Werte.
> Hier hast du auch einen Fehler gemacht:
> Du kommst auf
> > [mm]P(Z\le \frac{1}{5}x-4)[/mm]
> bis dahin ist alles korrekt. Das
> hat aber nicht obige Form, sondern das wäre umgeformt
> [mm]P\left(Z \le \frac{x-20}{5}\right)[/mm]
> und jetzt kannst du
> Erwartungswert und Varianz von Y ablesen.
Super!
> iii) Sauber und eindeutiger wäre der Weg zu zeigen, dass [mm]Y[/mm]
> die Dichte einer Normalverteilung hat.
> Betrachte dazu wie bereits von dir getan:
> [mm]F_Y(x) = P(Y \le x) = P(X \le 2x + 10) = F_X(2x+10)[/mm]
>
> Leite nun beide Seiten nach x ab und zeige, dass [mm]F'_Y[/mm]
> wirklich die Dichte einer Normalverteilung ist.
[mm] F_Y'(x)=2*F'_X(2x+10)=2*\phi(2x+10) [/mm] Muss ich noch etwas dazu machen?
Danke!!!!
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Hiho,
> [mm]F_Y'(x)=2*F'_X(2x+10)=2*\phi(2x+10)[/mm] Muss ich noch etwas
> dazu machen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn du den Weg gehen willst, müsstest du zeigen, dass [mm] $2*\phi(2x+10)$ [/mm] die Form einer Dichte der Normalverteilung hat, d.h. dass [mm] $\mu'$ [/mm] und [mm] $\sigma'$ [/mm] existieren, so dass [mm] $2*\phi(2x+10) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma'^2}}e^\frac{(x-\mu')^2}{2\sigma'^2}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 13.02.2017 | | Autor: | James90 |
Danke!!! Du hast mir wirklich sehr geholfen!
Kannst du mir bitte noch erklären wieso der letzte Weg sauberer ist und eindeutig ist? Liegt es am Ablesen von Erwartungswert und Varianz von $ [mm] P(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma})$? [/mm]
Es ist doch $ [mm] P(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma})=P_Z(\frac{x-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=P_X(x) [/mm] $, also ist am Ende Y genauso verteilt wie X, aber mit (normalerweise) verschiedenen [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma. [/mm] Ist das nicht sauber?
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Hiho,
> Es ist doch
> [mm]P(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma})=P_Z(\frac{x-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=P_X(x) [/mm],
> also ist am Ende Y genauso verteilt wie X, aber mit
> (normalerweise) verschiedenen [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma.[/mm] Ist das nicht sauber?
Das kommt drauf an, wie ihr die Normalverteilung definiert habt.
Erstmal ist [mm] $\Phi(x)$ [/mm] die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung, aber da steht ja eben nicht [mm] $\Phi(x)$ [/mm] sondern im Argument steht etwas anderes, nämlich [mm] $\frac{x-\mu}{\sigma}$.
[/mm]
So ohne Begründung kannst du daraus nicht schließen, dass das wieder die Verteilung einer Normalverteilung ist, es sei denn, ihr habt das so definiert oder bereits gezeigt.
Beispielsweise sähe [mm] $\Phi(\frac{x^2 - \mu}{\sigma})$ [/mm] ja auch fast so aus, wie eine Normalverteilung, ist es aber nicht mehr.
D.h. die lapidare Schlussfolgerung "da steht irgendwas mit [mm] $\Phi$ [/mm] und nem Argument" reicht nicht als Begründung… es sei denn, ihr habt definiert/gezeigt, dass [mm] $\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$ [/mm] die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit Parametern [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] ist.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mo 13.02.2017 | | Autor: | James90 |
Danke!! Habe es nun verstanden! :))
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