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Verteilungsfunktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Mo 07.01.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Die Verteilungsfunktion einer standardisierten Normalverteilung ist gegeben durch

G(b) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{- \infty}^{b}{ e^{-\bruch{t^2}{2}} dt} [/mm]

Der Graph des Integranden g(t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} e^{-\bruch{t^2}{2}} [/mm] ist die Gauß’sche Glockenkurve. G(b) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert höchstens gleich b ist und ist gleich dem Flächeninhalt unter der Glockenkurve von - [mm] \infty [/mm] bis b. Die Fläche unter der Gauß’schen Glockenkurve von - [mm] \infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] ist gleich 1. Berechnen Sie näherungsweise G(1) mithilfe des Taylorpolynoms 2. Grades. (Tipp: Zerlegen Sie das Integral in zwei Teile von - [mm] \infty [/mm] bis 0 und von 0 bis 1. Was ist G(0)?)

Hallo

ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht mal die Aufgabenstellung so richtig, bzw. was es mit dieser Verteilungsfunktion auf sich hat. Aber ich dachte mir, als erstes muss ich sicherlich die Integration

[mm] \integral_{- \infty}^{b}{ e^{-\bruch{t^2}{2}} dt} [/mm]

durchführen.

Ich habe es hier mit der Substitution versucht:

s = g(t) = - [mm] \bruch{1}{2} t^2 \Rightarrow [/mm] t = [mm] \pm \wurzel{-2s} [/mm]

Das [mm] \pm [/mm] irritiert mich hier schon einmal.

Jetzt:

g'(t) = -2t = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{- 2s} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{- 2 g(t)} [/mm]

Hier weiß ich nicht weiter, wie ich mit dem [mm] \pm [/mm] umgehen soll. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg, wenn ich jetzt mein

[mm] \integral_{- \infty}^{b}{f(g(t)) dt} [/mm]

erweitern will zu

[mm] \integral_{- \infty}^{b}{f(g(t)) \bruch{g'(t)}{g'(t)} dt} [/mm]

Oder gehe ich die ganze Aufgabe komplett falsch an?

Danke und Gruß

Martin


        
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Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mo 07.01.2019
Autor: chrisno

Du bist in der Sackgasse. Eine Stammfunktion wirst Du so nicht finden, weil es so nicht möglich ist.
Irgendwie hast Du die Hinweise ignoriert. Ich formuliere mal etwas um:
1. Gibt den Wert von $G(0)$ an.
Dazu must Du praktisch nichts rechnen, nur kurz argumentieren (Symetrie, Wahrscheinlichkeit)
2. Berechne die Fläche unter der Kurve im Bereich von 0 bis 1, indem Du die Gaußglockenkurve durch die Näherung des Taylorpolynoms 2. Grades ersetzt. Als Entwicklungspunkt würde ich erst einmal die Null nehmen, weil es mir am wenigsten Arbeit erscheint.

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Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:27 Di 08.01.2019
Autor: fred97

Noch ein Tipp: es ist $G'=g$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

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Verteilungsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Mo 14.01.2019
Autor: sancho1980

Hatte nicht soviel Zeit, zurück zu der Frage hier. Also ok, wenn gilt

[mm] \limes_{v\rightarrow\infty} [/mm] G(v) = 1,

dann gilt wohl G(0) = [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]

Jetzt ist also das Taylorpolynom [mm] T_{2,0}(b) [/mm] von G(b) gesucht. Dieses ist definiert als

[mm] T_{2,0}(b) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}b^k. [/mm]

Ich benötige also [mm] f^{0}(b), f^{1}(b) [/mm] und [mm] f^{2}(b). [/mm]

Wenn ich das richtig verstehe, dann gilt:

[mm] f^{1}(b) [/mm] = [mm] \bruch{e^\bruch{-b^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}} [/mm] - [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{e^\bruch{a^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}}. [/mm]

Und weiter

[mm] f^{0}(b) [/mm] = U(b) - [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] U(-a), wobei gilt

U(x) := [mm] \integral {e^\bruch{-x^2}{2}{\wurzel{2 \pi}}} [/mm]

Aber dieses unbestimmte Integral kann ich angeblich nicht finden? Ergibt das irgendeinen Sinn, was ich hier geschrieben hab?

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Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:39 Di 15.01.2019
Autor: fred97


> Hatte nicht soviel Zeit, zurück zu der Frage hier. Also
> ok, wenn gilt
>  
> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}[/mm] G(v) = 1,
>  
> dann gilt wohl G(0) = [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]

ja


>  
> Jetzt ist also das Taylorpolynom [mm]T_{2,0}(b)[/mm] von G(b)
> gesucht. Dieses ist definiert als
>  
> [mm]T_{2,0}(b)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{2} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}b^k.[/mm]

Das stimmt, wenn Du G statt f schreibst


>  
> Ich benötige also [mm]f^{0}(b), f^{1}(b)[/mm] und [mm]f^{2}(b).[/mm]

Nein, sondern G(0), G'(0) und G''(0)


>  
> Wenn ich das richtig verstehe, dann gilt:
>  
> [mm]f^{1}(b)[/mm] = [mm]\bruch{e^\bruch{-b^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}}[/mm] -
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{e^\bruch{a^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}}.[/mm]
>  
> Und weiter
>  
> [mm]f^{0}(b)[/mm] = U(b) - [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] U(-a), wobei
> gilt
>  
> U(x) := [mm]\integral {e^\bruch{-x^2}{2}{\wurzel{2 \pi}}}[/mm]
>  
> Aber dieses unbestimmte Integral kann ich angeblich nicht
> finden? Ergibt das irgendeinen Sinn, was ich hier
> geschrieben hab?

Nein.  G(0) hast  Du.

Was hab ich Dir gesagt?  Das:  G'(b)=g(b). Berechne damit noch die zwei Ableitungen,  die Du brauchst.


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Verteilungsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Di 15.01.2019
Autor: sancho1980

Also zum Verständnis, ist das hier korrekt:

G(1) [mm] \approx \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2 \pi} e^{\bruch{t^2}{2}}}) \vmat{ 1 \\ - \infty } [/mm] + [mm] (\bruch{-t }{\wurzel{2 \pi} e^{\bruch{t^2}{2}}}) \vmat{ 1 \\ - \infty } [/mm]

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Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Mi 16.01.2019
Autor: hohohaha1234

Hallo,

Kommst du auf etwas grösser als 1? Das kann auf keinen Fall richtig sein.

Du wolltest berechnen $G(1) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\infty}^{1} \exp (\frac{-t^{2}}{2})dt [/mm] = G(0) + [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{1}\exp(\frac{-t^{2}}{2})dt$ [/mm]

Du weisst dass G(0) aus Symmetriegründen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sein muss, und auch dass [mm] $G(\infty) [/mm] =1 $ sein muss (weil deine Funktion normiert ist).

Es ist [mm] $e^{x} [/mm] := [mm] \sum _{k}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ [/mm]  und somit (durch einsetzen von [mm] $\frac{-t^2}{2}$ [/mm] in x): $ [mm] e^{\frac{-t^2}{2}}=\sum\limits_{n=k}^\infty \frac{(-1)^kt^{2k}}{2^kk!}$ [/mm]


Für die ersten 3 Glieder: $1; [mm] -\frac{t^2}{2}; \frac{t^4}{8}$ [/mm]


Also erhältst Du damit $G(1) [mm] \approx [/mm] G(0) + [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\Big\rvert _{0}^{1} [/mm] t  - [mm] \Big\rvert_{0}^{1}\frac{t^{3}}{6} [/mm] + [mm] \Big\rvert_{0}^{1} \frac{t^5}{40}) \approx [/mm] 0.842$

Nach Wolframalpha sollte der "exakte" Wert ungefähr hier liegen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F(sqrt(2*pi))+integral+(from+-infinity+to+1)++e%5E(-t%5E2%2F2)+dt


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Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:37 Mi 16.01.2019
Autor: hohohaha1234

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