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Hallo ihr Mathegenies da draußen!
Ich hab ne Frage zur Verteilungsfunktion in WR. Ich hab zwar ihre Eigenschaften verstanden, kann mir nur leider nix darunter vorstellen.
Vor allem die Rechtsstetigkeit oder das asymptotische Verhalten wirft bei mir Fragen auf. Kann jemand es mir ohne Definitionen einfach nur graphisch erklären wofür ich sie brauch oder was sie Macht?
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mi 18.08.2004 | | Autor: | psjan |
Hi,
mal so ganz grob: Wenn Du eine Zufallsvariable hast, die auch ne Dichte hat, dann kannst Du die von -oo bis t integrieren und hast die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ZV einen Wert <=t annimmt. Die Verteilungsfunktion gibt Dir genau diesen Wert an. Also ist F(t) das Integral von -oo bis t über der Dichte. Das isses auch schon.
Was die anderen Fragen angeht, müsstest Du schon genauer werden, was Du da nicht verstehst. Zur Asymptotik kann ich erst mal nur sagen, dass wegen der o.g. Integraleigenschaft die Vert'fkt natürlich bei -oo Null sein muss und bei +oo Eins, denn wenn man eine Dichte über IR integriert, muss 1 rauskommen und wenn man egal welche Fkt von -oo nach -oo integriert, sollte 0 rauskommen.
Ich hoffe, das hilft ein wenig
CU psjan
PS: Formeleditor konnte ich leider nicht verwenden; Problem liegt aber bei mir ...
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vor allem die Rechtsstetigkeit oder das asymptotische
> Verhalten wirft bei mir Fragen auf. Kann jemand es mir ohne
> Definitionen einfach nur graphisch erklären wofür ich sie
> brauch oder was sie Macht?
Also zunächst gilt doch:
[mm]F(x)=P(X\le x),[/mm]
das ist die Wkt., dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer Zahl $x$ ist. Wenn $x$ größer wird, betrachtest Du auch eine größere Menge als Ereignis, und deshalb ist $F$ monoton wachsend. Wenn $x$ ganz klein ist (gegen [mm] $-\infty$) [/mm] betrachtest Du eine Mengenfolge, die gegen die leere Menge strebt, also
[mm]\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0.[/mm]
Entsprechendes gilt für [mm] $x\to \infty$. [/mm] Die Rechtsstetigkeit ist ein wenig schwieriger zu erklären. Zu zeigen ist für alle $x$:
[mm]\lim\limits_{n\to \infty}F(x+\frac{1}{n})=F(x)[/mm]
Wegen der Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes (von oben) gilt
[mm]\lim\limits_{n\to \infty}F(x+\frac{1}{n})=\lim\limits_{n\to \infty}P(\{X\le x+\frac{1}{n}\})=P\left(\bigcap\limits_{n\in\IN}\{X\le x+\frac{1}{n}\}\right)[/mm]
Nun kann man sich überlegen, dass die Mengen [mm] $\bigcap\limits_{n\in\IN}\{X\le x+\frac{1}{n}\}$ [/mm] und [mm] $\{X\le x\}$ [/mm] übereinstimmen (indem man zeigt, dass jedes Element der einen Menge auch in der anderen enthalten ist und umgekehrt). Also folgt
[mm]\lim\limits_{n\to \infty}F(x+\frac{1}{n})=P(X\le x)=F(x)[/mm]
wenn Du dazu noch Fragen hast, melde Dich nochmal. Was Du mit einer grafischen Veranschaulichung meinst, weiß ich leider nicht. Vielleicht präzisiert Du das noch mal...
Viele Grüße
Brigitte
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Danke euch, hilft mir wirklich sehr weiter. Den Rest schaff ich schon noch. Hab ja noch 4 Wochen Zeit bis zur Prüfung. Danke
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