Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir würfeln mit einem fairen Würfel und einem Tetraeder zugleich. der Tetraeder hat vier kongruente Dreiecke als Grenzfläche, die mit den Augenzahlen 1 bis 4 beschriftet sind. Die Zufallsvariable X gibt gerade das Minimum der beiden Augenzahlen an.
(i) Ermitteln sie die Verteilungsfunktion von X
(ii) Bestimmen sie [mm] \mathbb{P}[X=\{2,3\}] [/mm] |
Ich habe bisher:
[mm] \Omega =\{(\omega_1,\omega_2) : \omega_1=\{1,...,6\}\wedge\omega_2\{1,..,4\}\}
[/mm]
[mm] $X:\Omega\to\IR [/mm] $
Hier meine erste Frage. In meinem Skript steht, dass man ein Zufallselement nur dann Zuvallsvariable nennt, wenn [mm] $X:\Omega\to\IR$. [/mm] In dem Fall der Aufgabe, kann X aber nur [mm] \{1,...,4\} [/mm] sein. Ist das trotzdem richtig so? Oder kann ich auch [mm] $X:\Omega\to\{1,...,4\}$ [/mm] schreiben??
weiter:
[mm] X(\omega_1,\omega_2):=min(\omega_1,\omega_2)
[/mm]
[mm] \Omega':=X(\Omega)=\{1,2,3,4\}
[/mm]
[mm] \{X=1\}=\{(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(3,1)(1,4)(4,1)(5,1)(6,1)}
[/mm]
[mm] \#\{X=1\}=9
[/mm]
usw. für [mm] \{X=2\},\{X=3\},\{X=4\}
[/mm]
lt. Definition ist die Verteilungsfunktion [mm] $F_X(x):=\mathbb{P}[X\le x]=\mathbb{P}[\{\omega\in\Omega:X(\omega)\le x\}]
[/mm]
Ber diese Verteilungsfunktion versteh ich nicht. Kann mir mal jemand helfen, wie ich das mache?
Gibt es da ein bestimmtes Schema oder eine Überlegung die dem vorraus geht?
Für [mm] \mathbb{P}[X\{2,3\}] [/mm] hätte ich intuitiv gesagt, dass
[mm] \#\Omega=24
[/mm]
[mm] \#\{X=2\}=7
[/mm]
[mm] \#\{X=2\}=5
[/mm]
[mm] \mathhbb{P}[X\in\{2,3\}]=\bruch{7+5}{24}=\bruch{1}{2}=50%
[/mm]
Stimmt das??
Kann sich jemand auch mal die Notation ansehen, ob das so richtig ist. Komm da immer ein bisschen durcheinander wann man die Mengenklammern setzt und wann nicht.
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Hallo,
ich weiß nicht, aber das Hauptproblem scheint mir zu sein, dass du das mit der Zufallsvariablen falsch verstanden hat. Sie ist ja hier definiert als das Minimum der beiden erzielten Augenzahlen und sollte daherinsbesondere eindimensional sein.
Welche Werte kann sie annehmen? Das solltest du klären und dann ist es auch nicht sonderlich schwierig, hier die Verteilung anzugeben.
Zum Teil b): hier ist wohl die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass der Würfel eine 2 und das Tetraeder eine 3 zeigen. Dieses Ereignis dürfte aber aus den oben genannten Gründen nicht als Wert der Zufallsvariablen X ausgedrückt werden. Außerdem sind die beiden Würfe stochastisch unabhängig und somit dein Resultat falsch (wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe).
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> ich weiß nicht, aber das Hauptproblem scheint mir zu sein,
> dass du das mit der Zufallsvariablen falsch verstanden hat.
> Sie ist ja hier definiert als das Minimum der beiden
> erzielten Augenzahlen und sollte daherinsbesondere
> eindimensional sein.
Das hab ich schon verstanden. X ist entweder 1,2,3 oder 4.
>
> Welche Werte kann sie annehmen? Das solltest du klären und
> dann ist es auch nicht sonderlich schwierig, hier die
> Verteilung anzugeben.
Hab ich doch gemacht:
X(1,1)=1
X(1,2)=1
usw.
Was genau hab ich da falsch gemacht?
>
> Zum Teil b): hier ist wohl die Wahrscheinlichkeit gemeint,
> dass der Würfel eine 2 und das Tetraeder eine 3 zeigen.
sicher?
> Dieses Ereignis dürfte aber aus den oben genannten
> Gründen nicht als Wert der Zufallsvariablen X ausgedrückt
> werden.
versteh ich nicht.
>Außerdem sind die beiden Würfe stochastisch
> unabhängig und somit dein Resultat falsch (wenn ich die
> Aufgabenstellung richtig verstanden habe).
>
> Gruß, Diophant
Ich bin jetzt verwirrter als vorher.
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Hallo,
ich wollte dich nicht noch mehr verwirren. Es ist jedoch etwas schwierig, deinen Startbeitrag nachzuvollziehen.
Nochmal zu deiner Frage bzgl. der Verteilungsfunktion. Prinzipiell musst du dir einfach klar machen, aus wie vielen Elementarereignissen der Wahrscheinlichkeitsraum besteht. Dies hast du offensichtlich auch getan, ohne es explizit hinzuschreiben (was man tun sollte, auch wenn es trivial ist).
Nun hilft nichts weiter, als herauszufinden, wie viele dieser Elementareiegnisse jeweils zu einem bestimmten Wert der ZV gehören. Auch dies hast du für X=1 getan. Ich denke, in diem Fall gibt es auch nicht wirklich eine einfache Vorgehensweise, als das ganze abzuzählen (der Aufwand ist ja nicht sehr groß). Wichtig ist jetzt einfach nur, dass du die Verteilung als Funktion angibst, also in Form von kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
Bei der Frage b) hat deine nachlässige Schreibweise und mein nachlässiges Lesen gemeinsam dazu geführt, dass ich das falsch aufgefasst habe. Am Schluss wird es klar, es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass X die Werte 2 oder 3 annimmt. Damit ist deine Rechnung zu Teil b) natürlich richtig.
Das Problem an deinen Schreibweisen ist, dass sie nicht konsistent sind. Einmal schreibst du
[mm] P(X=\{2,3\}), [/mm]
an anderer Stelle jedoch
[mm] P(X\in\{2,3\})
[/mm]
Ich halte die zweite VErsion für richtig, denn X ist eine ZUfallsvariable und keine Menge.
Die Schreibweise mit der Raute für die Mächtigkeit eines W-Raums oder einer Menge ist mir neu, aber wenn ihr das so gehandhabt habt, dann mache es so. Üblich wäre aber eher
[mm] |\Omega|=24
[/mm]
Und zum guten Schluss: was da in eurem Skript über Zufallsvariable steht, ist sicherlich nicht als allgemeingültige Definition gedacht, sondern eher so, dass im Rahmen des Skriptes unter dem Begriff Zufallsvariable eine solche Abbildung verstanden werden soll. Es gibt jedoch bspw. auch Zufallsvektoren und damit natürlich auch mehrdimensionale Zufallsvariablen, aber das ist wohl nicht Gegenstand des Skriptes. Die Tatsache, dass die Bildmenge auf [mm] \IR [/mm] eingeschränkt ist, heißt also IMO einfach nur, dass es im Rahmen des Skriptes darüber nicht hinausgeht. Selbstverständlich ist aber [mm] \Omega\to\{1,2,3,4\} [/mm] eine Zufallsvariable, wieso auch nicht?
So, ich hioffe, ich konnte einen Teil der Verwirrung wieder aufhaben. 
Gruß, Diophant
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Ist dann meine Verteilungsfunktion:
[mm] \mathbb{P}[X=\{1\}]=\bruch{9}{24}
[/mm]
[mm] \mathbb{P}[X=\{2\}]=\bruch{7}{24}
[/mm]
[mm] \mathbb{P}[X=\{3\}]=\bruch{5}{24}
[/mm]
[mm] \mathbb{P}[X=\{4\}]=\bruch{3}{24}
[/mm]
stimmt das??
Sieht mir aber nicht wie eine Funktion aus.
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> Ist dann meine Verteilungsfunktion:
>
> [mm]\mathbb{P}[X=\{1\}]=\bruch{9}{24}[/mm]
> [mm]\mathbb{P}[X=\{2\}]=\bruch{7}{24}[/mm]
> [mm]\mathbb{P}[X=\{3\}]=\bruch{5}{24}[/mm]
> [mm]\mathbb{P}[X=\{4\}]=\bruch{3}{24}[/mm]
(die geschweiften Klammern sind hier fehl am Platz !)
> stimmt das??
> Sieht mir aber nicht wie eine Funktion aus.
Diese Zuordnung [mm] f_X [/mm] mit $\ [mm] f_X:\ x\mapsto\mathbb{P}[X=x]$ [/mm] ist schon auch
eine Funktion.
Hallo,
durch diese Angaben ist zwar die Verteilung vollständig
charakterisiert, aber es ist noch nicht die Verteilungs-
funktion in der gewünschten Form
[mm] $F_X(x):=\mathbb{P}[X\le [/mm] x] $
Diese Funktion [mm] F_X [/mm] ist die Treppenfunktion, welche
an den Stellen [mm] x\in\{1,2,3,4\} [/mm] Sprünge der oben angegebenen
Größen [mm] f_X(x) [/mm] macht und insgesamt gesehen von 0 auf 1 ansteigt.
LG Al-Chw.
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> > Ist dann meine Verteilungsfunktion:
> >
> > [mm]\mathbb{P}[X=\{1\}]=\bruch{9}{24}[/mm]
> > [mm]\mathbb{P}[X=\{2\}]=\bruch{7}{24}[/mm]
> > [mm]\mathbb{P}[X=\{3\}]=\bruch{5}{24}[/mm]
> > [mm]\mathbb{P}[X=\{4\}]=\bruch{3}{24}[/mm]
>
> (die geschweiften Klammern sind hier fehl am Platz !)
>
> > stimmt das??
> > Sieht mir aber nicht wie eine Funktion aus.
>
> Diese Zuordnung [mm]f_X[/mm] mit [mm]\ f_X:\ x\mapsto\mathbb{P}[X=x][/mm]
> ist schon auch
> eine Funktion.
>
>
> Hallo,
>
> durch diese Angaben ist zwar die Verteilung vollständig
> charakterisiert, aber es ist noch nicht die Verteilungs-
> funktion in der gewünschten Form
>
> [mm]F_X(x):=\mathbb{P}[X\le x][/mm]
>
> Diese Funktion [mm]F_X[/mm] ist die Treppenfunktion, welche
> an den Stellen [mm]x\in\{1,4,3,4\}[/mm] Sprünge der oben
> angegebenen
Also interssiert der Wert des W'Maßes gar nicht, sondern nur, dass die Trappenfunktion immer einen Sprung eines bestimmten Wertes macht.
Also 9/24 von 0 nach 1
7/24 von 1 nach 2 usw.??
Also wäre [mm] $F_X(x)=\bruch{(-1)^x+5(x+1)}{24}$
[/mm]
Stimmt das jetzt??
> Größen [mm]f_X(x)[/mm] macht und insgesamt gesehen von 0 auf 1
> ansteigt.
>
> LG Al-Chw.
>
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Hallo,
> Also wäre [mm]F_X(x)=\bruch{(-1)^x+5(x+1)}{24}[/mm]
>
> Stimmt das jetzt??
sicherlich ist es immer irgendwie möglich, eine diskrete Verteilungsfunktion explizit durch einen Term (unter Angabe des Definitionsbereichs!) anzugeben. Es ist aber nicht unüblich, da es der Sache nicht dienlich ist. Desweiteren funktioniert dein Term auch nicht wie gewünscht, wenn ich mich nicht verrechnet habe (für die Fälle x=3 u. x=4 liefert er nicht das gewünschte).
Üblicherweise gibt man eine solche Funktion einfach abschnittsweise durch Angabe ihrer Werte an:
[mm] F_X(x)=\begin{cases} \bruch{9}{24}, x\le1 \\ \bruch{2}{3}, x\le2 \\ \bruch{7}{8}, x\le3 \\ 1, x\le4 \end{cases}
[/mm]
EDIT:
Ich habe auf Grund des Hinweises von Al-Chwarizmi (siehe unten) noch die falschen Gleichhietszeichen durch Kleiner-Gleich-Zeichen ersetzt.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > Also wäre [mm]F_X(x)=\bruch{(-1)^x+5(x+1)}{24}[/mm]
> >
> > Stimmt das jetzt??
>
> sicherlich ist es immer irgendwie möglich, eine diskrete
> Verteilungsfunktion explizit durch einen Term (unter Angabe
> des Definitionsbereichs!) anzugeben. Es ist aber nicht
> unüblich, da es der Sache nicht dienlich ist. Desweiteren
> funktioniert dein Term auch nicht wie gewünscht, wenn ich
> mich nicht verrechnet habe (für die Fälle x=3 u. x=4
> liefert er nicht das gewünschte).
>
> Üblicherweise gibt man eine solche Funktion einfach
> abschnittsweise durch Angabe ihrer Werte an:
>
> [mm]F_X(x)=\begin{cases} \bruch{9}{24}, x=1 \\ \bruch{2}{3}, x=2 \\ \bruch{7}{8}, x=3 \\ 1, x=4 \end{cases}[/mm]
>
> Gruß, Diophant
Hallo,
es macht nicht wirklich viel Sinn, die Verteilungsfunktion
in eine einheitliche Formel zu zwängen, obwohl dies sicher
möglich wäre. Diese Formel müsste aber anders aussehen.
Obwohl die Zufallsvariable X nur die Werte 1,2,3,4 annehmen
kann, kann man aber ihre Verteilungsfunktion [mm] F_X [/mm] als eine
Funktion annehmen, die auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist. Damit
kommen wir dann zu der Treppenfunktion, die fast überall
konstant ist und nur an den 4 Stellen Sprünge macht:
$\ [mm] F_X(x)\ [/mm] =\ [mm] \begin{cases}0 & (x<1) \\ 9/24 & (1\le x<2)\\2/3 & (2\le x<3)\\7/8 & (3\le x<4)\\1&(x\ge4)\end{cases}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 24.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
ja, ich habe mich (vor lauter Kampf mit dem Latex cases-Befehl) vertan und bei den Fällen Gleichheitszeichen an Stelle von Kleiner-Gleich-Zeichen gesetzt. Danke für die Korrektur.
Gruß, Diophant
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> Also wäre $ [mm] F_X(x)=\bruch{(-1)^x+5(x+1)}{24} [/mm] $
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> Stimmt das jetzt??
Hallo dr_geissler,
obwohl ich soeben geschrieben habe, es sei nicht wirklich
sehr sinnvoll, eine einheitliche Formel für $ [mm] F_X(x) [/mm] $ aufzustellen,
habe ich mir nun (mehr zum Spass) genau so eine Formel
gebastelt. Hier ist sie:
$ \ [mm] F_X(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{24}\,\cdot{}\,\left(2+\left\lfloor{\frac{|x|-|x-4|}{2}}\right\rfloor\right)\cdot{}\left(8-\left\lfloor{\frac{|x|-|x-4|}{2}}\right\rfloor\right) [/mm] $
Die unten eckigen Klammern sind dabei die Gaussklammern,
welche Abrunden (auf ganze Zahl) bedeuten.
LG Al-Chwarizmi
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$ \ [mm] F_X(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{24}\,\cdot{}\,\left(2+\left\lfloor{\frac{|x|-|x-4|}{2}}\right\rfloor\right)\cdot{}\left(8-\left\lfloor{\frac{|x|-|x-4|}{2}}\right\rfloor\right) [/mm] $
Bemerkung:
Beim Plotten dieser Funktion mittels grafischem TR,
aber sogar auch mit Mathematica (!) habe ich sonder-
bare Fehler festgestellt. Für gewisse negative Werte
von x (da sollte stets der Wert 0 herauskommen)
wird eigenartigerweise ein negativer Werte geliefert,
nämlich -11/24 . Das muss daran liegen, dass die
Differenz |x|-|x-4| , welche für negative x stets den
Wert -4 hat, durch Rundungseffekte davon ein wenig
nach unten abweichen kann. Die Floor-Funktion
macht aus dieser Mücke einen Elefanten: aus einem
Fehler an der Grenze der Rechengenauigkeit wird
ein Fehler um eine ganze Einheit.
Nun will ich aber schon noch schauen, wie man
wenigstens Mathematica dazu bringen kann, dieser
Falle zu entgehen ...
LG Al-Chw.
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