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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
| Aufgabe | Die Verteilung einer Zufallsvariablen x sei durch die Dichtefunktion
[mm] f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
wobei [mm] \lambda [/mm] > 0 sei.
(a) skizzieren sie f(x)
(b) Berechnen sie die Verteilungsfunktion von X
(c) Skizzieren sie diese
(d) Berechnen sie den Erwartungswert von X
(e) Berechnen sie die Varianz von X
(f) Berechnen sie für [mm] \lambda =\bruch{1}{2} [/mm] die Wahrscheinlichkeit, das X zwischen 2 und 7 liegt. |
(a)
Da [mm] \lambda [/mm] >0 habe ich hierfür 1 gewählt also bin im Koordinatensystem von y=1 mit einem Steilen Bogen nach oben.
(b)
für die Verteilungsfunktion muss ich das Aufleiten, sehe ich das richtig?
[mm] F(x)=\begin{cases} e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
(c) sieht dann aus wie (a) gespiegelt an der x-achse
(d)
[mm] P(0\le [/mm] x)=F(0)=1
(e)
[mm] F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{4}xe^{-\bruch{1}{2} x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
[mm] P(2
Wären also 3,8%
Das erscheint mir ein bisschen wenig.
MfG
Mindfish
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Hallo Mindfish,
> Die Verteilung einer Zufallsvariablen x sei durch die
> Dichtefunktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda[/mm] > 0 sei.
>
> (a) skizzieren sie f(x)
> (b) Berechnen sie die Verteilungsfunktion von X
> (c) Skizzieren sie diese
> (d) Berechnen sie den Erwartungswert von X
> (e) Berechnen sie die Varianz von X
> (f) Berechnen sie für [mm]\lambda =\bruch{1}{2}[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit, das X zwischen 2 und 7 liegt.
> (a)
> Da [mm]\lambda[/mm] >0 habe ich hierfür 1 gewählt also bin im
> Koordinatensystem von y=1 mit einem Steilen Bogen nach
> oben.
>
> (b)
> für die Verteilungsfunktion muss ich das Aufleiten, sehe
> ich das richtig?
Schreibe statt "Aufleiten" in Zukunft "Integrieren"
oder "Stammfunktion bilden".
> [mm]F(x)=\begin{cases} e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
Den Fall [mm]x\ge0[/mm] musst Du nochmal nachrechnen.
> (c) sieht dann aus wie (a) gespiegelt an der x-achse
>
Nein.
> (d)
> [mm]P(0\le[/mm] x)=F(0)=1
>
Den Erwartungswert kannst Du allgemein angeben.
> (e)
> [mm]F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{4}xe^{-\bruch{1}{2} x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\ 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
Hier weiss ich nicht, was Du gemacht hast.
> [mm]P(2
>
> Wären also 3,8%
> Das erscheint mir ein bisschen wenig.
>
Da hast Du Dich verrechnet.
> MfG
> Mindfish
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Was ist denn das Integral?
Ich habe ja die Formel [mm] \lambda e^{-\lambda x}
[/mm]
Muss ich die zum integrieren auch auseinander nehmen und per Kettenregel integrieren?
Weil [mm] e^{-\lambda x} [/mm] bleibt ja [mm] e^{-\lambda x}
[/mm]
und eig wird doch die Zahl davor halbiert, wenn ich ein x da stehen habe, da aber [mm] \lambda [/mm] kein x hat, ist das doch integriert [mm] \lambda [/mm] x oder?
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Hallo Mindfish,
> Was ist denn das Integral?
> Ich habe ja die Formel [mm]\lambda e^{-\lambda x}[/mm]
> Muss ich
> die zum integrieren auch auseinander nehmen und per
> Kettenregel integrieren?
> Weil [mm]e^{-\lambda x}[/mm] bleibt ja [mm]e^{-\lambda x}[/mm]
> und eig wird
> doch die Zahl davor halbiert, wenn ich ein x da stehen
> habe, da aber [mm]\lambda[/mm] kein x hat, ist das doch integriert
> [mm]\lambda[/mm] x oder?
>
Deine Verteilungsfunktion ist für x <0 korrekt.
Für [mm]x\ge 0[/mm] ergibt sich die Verteilungsfunktion F(x) zu:
[mm]F\left(x\right)=\integral_{0}^{x}{\lambda*e^{-\lambda*u} \ du}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Nabend Mathepower
> Deine Verteilungsfunktion ist für x <0 korrekt.
>
> Für [mm]x\ge 0[/mm] ergibt sich die Verteilungsfunktion F(x) zu:
>
> [mm]F\left(x\right)=\integral_{0}^{x}{\lambda*e^{-\lambda*u} \ du}[/mm]
ist DAS die Verteilungsfunktion? Denn bis dahin ist ja nichts gerechnet oder bin ich nur zu Blind da einen Vorgang drin zu erkennen?
Mir erschließt sich leider recht wenig im Moment...
Wie sähe das denn gezeichnet aus?
MfG
Mindfish
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hattest du doch selbst geschrieben, nur aufleiten statt integrieren!
Was hast du nun bei dem Integral raus?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Mindfish |
Ich glaub ich will das grad nicht mehr reinbekommen, also soll ich jetzt
[mm] F\left(x\right)=\integral_{0}^{x}{\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}u} \ du}=\lambda *e^{-\lambda*0}-\lambda*e^{-\lambda*x}=\lambda-\lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
Rechnen oder muss ich aus f(x)=F(x) bilden?
Da hab ich jetzt mal versucht was raus zu bekommen, bin da jetzt auf [mm] F(x)=-e^{-\lambda*x} [/mm] gekommen, da durch Ableiten mit Hilfe der Kettenregel ich auf [mm] -e^{-\lambda*x}*-\lambda=\lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
komme, was aber wahrscheinlich Falsch ist, weil nach 12 Stunden Mathe kann ich mich nicht mehr Konzentrieren.
MfG
Mindfish
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Sa 27.10.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich glaub ich will das grad nicht mehr reinbekommen, also
> soll ich jetzt
>
> [mm]F\left(x\right)=\integral_{0}^{x}{\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}u} \ du}=\lambda *e^{-\lambda*0}-\lambda*e^{-\lambda*x}=\lambda-\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
>
> Rechnen
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]F\left(x\right)=\integral_{0}^{x}{\lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}u} \ du}=\lambda\cdot{}\integral_{0}^{x}{e^{-\lambda\cdot{}u} \ du}=\lambda\left[-\dfrac{1}{\lambda}\exp[-\lambda u]\right]_0^x=1-\exp[-\lambda x][/mm].
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Fr 26.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Die Verteilung einer Zufallsvariablen x sei durch die
> Dichtefunktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\
0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda[/mm] > 0 sei.
>
> (a) skizzieren sie f(x)
> (b) Berechnen sie die Verteilungsfunktion von X
> (c) Skizzieren sie diese
> (d) Berechnen sie den Erwartungswert von X
> (e) Berechnen sie die Varianz von X
> (f) Berechnen sie für [mm]\lambda =\bruch{1}{2}[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit, das X zwischen 2 und 7 liegt.
> (a)
> Da [mm]\lambda[/mm] >0 habe ich hierfür 1 gewählt also bin im
> Koordinatensystem von y=1 mit einem Steilen Bogen nach
> oben.
>
> (b)
> für die Verteilungsfunktion muss ich das Aufleiten, sehe
> ich das richtig?
> [mm]F(x)=\begin{cases} e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\
0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
Hallo,
wenn du zur Kontrolle [mm]e^{-\lambda*x}[/mm]
ableitest, erhältst du NICHT [mm]\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm] !
Gruß Abakus
>
> (c) sieht dann aus wie (a) gespiegelt an der x-achse
>
> (d)
> [mm]P(0\le[/mm] x)=F(0)=1
>
> (e)
> [mm]F(x)=\begin{cases} \bruch{1}{4}xe^{-\bruch{1}{2} x}, & \mbox{falls } x \mbox{ größer, gleich 0} \\
0, & \mbox{falls } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]P(2
>
> Wären also 3,8%
> Das erscheint mir ein bisschen wenig.
>
> MfG
> Mindfish
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