Verteilungsfunktion/Dichte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 13.12.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | In einem Gerät seien drei gleichartige Bauteile vorhanden, deren Zustand (unabhängig voneinander) die Qualitätsstufen [mm] U_i \in [/mm] {1,2,3,4} mit den Wahrscheinlichkeiten 0.3,0.4,0.2,0.1 besitze (i=1,2,3).
Bestimmen Sie für das Maximum V der beobachteten Qualitäten die Verteilungsfunktion [mm] F^V [/mm] und dann die Z-Dichte [mm] f^V.
[/mm]
Geben Sie eine gemeinsame Tabelle an für die Dichten und Verteilungsfunktionen von [mm] U_1 [/mm] und V. |
Hallo,
habe leider keine Ahnung was ich genau tun soll. Wäre froh über jede hilfreiche Antwort.
Habe mir überlegt, dass ich ja ein Tripel betrachte [mm] \omega =(\omega_1, \omega_2, \omega_3) [/mm] wobei [mm] \omega_1, \omega_2 [/mm] und [mm] \omega_3 [/mm] verschiedene Qualitätsstufen haben können. [mm] V(\omega) [/mm] = Maximum aus [mm] \omega_1, \omega_2 [/mm] oder [mm] \omega_3 [/mm] also das [mm] \omega_i, [/mm] i=1,2,3, mit der höchsten Qualitätsstufe.
Doch wie bekomme ich eine Verteilungsfunktion bzw. Dichte?
Beste Grüße
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mi 13.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Vicky,
du hast schon sehr schoen beschrieben, wie vorzugehen ist. Du musst
[mm] $4^3=64$ [/mm] Tupel betrachten, denen du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
zuordnen kannst, die sich auf Grund der Unabhaengigkeit der Zustaende
ergeben. So ordnest du dem Tupel (2,4,2) die Wahrscheinlichkeit
$0.4 [mm] \times [/mm] 0.1 [mm] \times [/mm] 0.4=0.016$ zu. Bestimme nun alle Tupel, wo das
Maximum 1, 2, 3, oder 4 ist und addiere jeweils die Wahrscheinlichkeiten
der zugehoerigen Tupel. *Ich* erhalte fuer die
Wahrscheinlichkeitsfunktion (der Begriff "Dichte" ist hier unangemessen):
$P(V=1)=0.027$, $P(V=2)=0.316$, $P(V=3)=0.386$, $P(V=4)=0.271$
und $P(V=v)=0$ fuer [mm] $v\ne [/mm] 1,2,3,4$. Hieraus ergibt sich die
Verteilungsfunktion unmittelbar.
Analog verfaehrt man mit [mm] $U_1$: [/mm] Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist
[mm] $P(U_1=1)=0.3$, $P(U_1=2)=0.4$, $P(U_1=3)=0.2$, $P(U_1=4)=0.1$ [/mm] und
[mm] $P(U_1=u)=0$ [/mm] fuer [mm] $u\ne [/mm] 1,2,3,4$.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 13.12.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen vielen Dank für die Antwort.
Doch eine Frage noch. Wie hast du das so schnell ausgerechnet? Ich muß doch jetzt nicht alle 64 Tupel aufschreiben, davon die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und dann dem jeweiligen Maximum zuordnen und dann zusammen addieren oder?
Gruß und nochmals danke.
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 13.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> Doch eine Frage noch. Wie hast du das so schnell
> ausgerechnet?
Mit R, siehe
http://cran.r-project.org/
Ich schicke dir mal eine Tabelle mit allen Tupeln und den zugehoerigen
Wahrscheinlichkeiten.
hth
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 1 1 1 0.027 1 1 3 0.018
[2,] 2 1 1 0.036 2 1 3 0.024
[3,] 3 1 1 0.018 3 1 3 0.012
[4,] 4 1 1 0.009 4 1 3 0.006
[5,] 1 2 1 0.036 1 2 3 0.024
[6,] 2 2 1 0.048 2 2 3 0.032
[7,] 3 2 1 0.024 3 2 3 0.016
[8,] 4 2 1 0.012 4 2 3 0.008
[9,] 1 3 1 0.018 1 3 3 0.012
[10,] 2 3 1 0.024 2 3 3 0.016
[11,] 3 3 1 0.012 3 3 3 0.008
[12,] 4 3 1 0.006 4 3 3 0.004
[13,] 1 4 1 0.009 1 4 3 0.006
[14,] 2 4 1 0.012 2 4 3 0.008
[15,] 3 4 1 0.006 3 4 3 0.004
[16,] 4 4 1 0.003 4 4 3 0.002
[17,] 1 1 2 0.036 1 1 4 0.009
[18,] 2 1 2 0.048 2 1 4 0.012
[19,] 3 1 2 0.024 3 1 4 0.006
[20,] 4 1 2 0.012 4 1 4 0.003
[21,] 1 2 2 0.048 1 2 4 0.012
[22,] 2 2 2 0.064 2 2 4 0.016
[23,] 3 2 2 0.032 3 2 4 0.008
[24,] 4 2 2 0.016 4 2 4 0.004
[25,] 1 3 2 0.024 1 3 4 0.006
[26,] 2 3 2 0.032 2 3 4 0.008
[27,] 3 3 2 0.016 3 3 4 0.004
[28,] 4 3 2 0.008 4 3 4 0.002
[29,] 1 4 2 0.012 1 4 4 0.003
[30,] 2 4 2 0.016 2 4 4 0.004
[31,] 3 4 2 0.008 3 4 4 0.002
[32,] 4 4 2 0.004 4 4 4 0.001
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