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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen.
Und noch eine Frage.
Es seien X,Y stoch. unabhängige Zufallsvariablen.
X ist exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm] und Y ist R(0,1) (rechtecks)verteilt.
Gesucht ist die Dichte von X+Y.
Dazu habe ich mir folgendes überlegt:
[mm]f^{X+Y}(z)
=P(X+Y=z)
=\int_{0}^{1}f^X(t)*f^Y(z-t)\,dt [/mm]
Anwendung der Faltungsformel.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich die Grenzen richtig gewählt habe.
Die exponentialverteilung ist nur fü positive x definiert, die stetige gleichverteilung ist 1 für x aus [0,1] und 0 sonst.
Somit dürfte doch eigentich nur dieses Interval von Interesse sein, da die Fläche unter den anderen Integralen (von -unendlich bis 0, 1 bis unendlich )doch 0 ist.
Oder bin ich da auf dem Holzweg?
Weiter ging es dann:
[mm]...
=\int_{0}^{1}\lambda*exp(-\lambda*t)*1\,dt
=\int_{0}^{1}\lambda*exp(-\lambda*t)dt
=-exp(-\lambda)-(-1)
=1-exp(-\lambda)[/mm]
Ist das alles so richtig, wie ich mir das überlegt habe?
Bin mir nämlich nicht so sicher.
Gruss,
Wurzelpi
=
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Nein, deine Lösung stimmt so leider nicht. Du hast irgendwie $X$ und $Y$ (bzw. deren Träger) durcheinandergeworfen.
Richtig geht es so: $X+Y$ kann offenbar Werte im Bereich [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] annehmen. Für die Dichte von $X+Y$ gilt für $z [mm] \in [0,+\infty[$:
[/mm]
[mm] $f^{X+Y}(z)$
[/mm]
[mm] $=\int_0^{\infty} f^X(t) \, f^Y(z-t)\, [/mm] dt$
(bis hierhin war es bis auf die Intervallgrenze richtig  )
[mm] $=\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda t} \, 1_{[0,1]}(z-t)\, [/mm] dt$
$= [mm] \int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda t} 1_{[z-1,z]}(t) \, [/mm] dt$
$= [mm] \int_{\max(0,z-1)}^{z} \lambda e^{-\lambda t}\, [/mm] dt$
$= [mm] -e^{-\lambda t} \vert_{t=\max(0,z-1)}^{t=z}$
[/mm]
$= [mm] e^{-\lambda \max(0,z-1)} [/mm] - [mm] e^{-\lambda z}$
[/mm]
[mm]= \left\{ \begin{array}{ccc} e^{-\lambda z}\cdot (e^\lambda - 1) , & \mbox{wenn} & z\ge 1,\\[5pt]
1 - e^{-\lambda z}, & \mbox{wenn} & 0 \le z < 1. \end{array} \right.[/mm].
Hast du noch Fragen dazu?
Liebe Grüße
Stefan
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