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| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung [mm] G_{p} [/mm] mit Parameter p [mm] \in [/mm] (0, 1), d.h. des diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßes mit Zähldichte [mm] f(k)=(1-p)^k [/mm] p, k [mm] \in \IN_{0}.
[/mm]
(b) Sei [mm] X_{n} [/mm] eine [mm] G_{\lambda/n}-verteilte [/mm] Zufallsvariable für ein [mm] \lambda [/mm] > 0 und [mm] F_{n} [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] X_{n}/n. [/mm] Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}F_{n}(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Hinweis: Es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-t_{n}/n)^n=e^{-t} [/mm] für alle Folgen [mm] (t_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}t_{n}=t. [/mm] |
Hallo vorhilfe.de,
zu (a):
Wir wollen über die Zähldichte integrieren, um die Verteilungsfunktion zu bestimmen. Als Stammfunktion haben wir [mm] \bruch{(p-1)(1-p)^k(k p+p+1)}{(k+1)(k+2)}. [/mm] Wir wissen aber nicht, welche Grenzen wir für das Integral nehmen sollen.
Bei (b) wären wir für eine kleine Starthilfe sehr dankbar, da wir dort komplett auf dem Schlauch stehen.
Vielen Dank
Wischmop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Sa 06.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, die geometrische Verteilung ist diskret, da wird nicht integriert.
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Hallo Luis,
danke für den Hinweis! Wir hätten uns besser über die geometrische Verteilung informieren sollen und uns damit etwas Zeit sparen können. Ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen:
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable ist gegeben durch
F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x)
Daraus ergibt sich für uns
F(k)=P(X [mm] \le [/mm] k)
[mm] =\summe_{i=0}^{k}p(1-p)^i
[/mm]
[mm] =p\summe_{i=0}^{k}(1-p)^i
[/mm]
[mm] =p\bruch{(1-p)^{k+1}-1}{(1-p)-1}
[/mm]
[mm] =1-(1-p)^{k+1}
[/mm]
Wäre ich damit schon fertig?
Nochmals danke für den Hinweis.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 So 07.07.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Wäre ich damit schon fertig?
Was (a) anbelangt, ja.
>
> Nochmals danke für den Hinweis.
>
Gerne.
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(b) ist wirklich gemein: [mm] X_{n} [/mm] ist eine [mm] G_{\lambda/n}-verteilte [/mm] Zufallsvariable für ein [mm] \lambda [/mm] > 0, also eine geometrisch verteilte Zufallsvariable. [mm] G_{\lambda/n} [/mm] ist dann ja wie in (a) eine geometrische Verteilung mit Parameter [mm] \lambda/n [/mm] und [mm] \lambda [/mm] > 0.
Jetzt haut es mich raus: Warum ist [mm] F_{n} [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] X_{n}/n [/mm] und nicht einfach nur von [mm] X_{n}? [/mm] Ich weiss nicht wie ich da anfangen soll.
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Hallo,
> (b) ist wirklich gemein:
Wenn du (a) schon hast und den Hinweis berücksichtigst, nicht wirklich ...
> [mm]X_{n}[/mm] ist eine
> [mm]G_{\lambda/n}-verteilte[/mm] Zufallsvariable für ein [mm]\lambda[/mm] >
> 0, also eine geometrisch verteilte Zufallsvariable.
> [mm]G_{\lambda/n}[/mm] ist dann ja wie in (a) eine geometrische
> Verteilung mit Parameter [mm]\lambda/n[/mm] und [mm]\lambda[/mm] > 0.
> Jetzt haut es mich raus: Warum ist [mm]F_{n}[/mm] die
> Verteilungsfunktion von [mm]X_{n}/n[/mm] und nicht einfach nur von
> [mm]X_{n}?[/mm] Ich weiss nicht wie ich da anfangen soll.
Nun, nenne [mm]Y_n:=\frac{X_n}{n}[/mm] und rechne
[mm]F(Y_n\le x)=F\left(\frac{X_n}{n}\le x\right)=F(X_n\le n\cdot{}x)[/mm] aus (benutze (a)).
Dann [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen und den Hinweis beachten ...
Gruß
schachuzipus
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Hi schachuzipus,
danke für deine Antwort.
Wir haben das jetzt folgendermaßen umgesetzt:
[mm] F(\bruch{X_{n}}{n})=P(\bruch{X_{n}}{n}\le x)=P(X_{n} \le [/mm] n [mm] \cdot [/mm] x)
[mm] P(X_{n} \le [/mm] n [mm] \cdot [/mm] x)
[mm] =\summe_{i=0}^{n \cdot x}(\lambda/n)(1-\lambda/n)^i
[/mm]
[mm] =(\lambda/n)\summe_{i=0}^{n \cdot x}(1-\lambda/n)^i
[/mm]
[mm] =(\lambda/n)\bruch{(1-(\lambda/n))^{n \cdot x+1}-1}{(1-(\lambda/n))-1} [/mm]
[mm] =1-(1-(\lambda/n))^{n \cdot x+1} [/mm]
Wir haben das p aus (a) durch [mm] \lambda/n [/mm] ersetzt, weil [mm] X_{n} [/mm] eine [mm] G_{\lambda/n}-verteilte [/mm] Zufallsvariable ist und für k haben wir n [mm] \cdot [/mm] x eingesetzt. Allerdings kommt das jetzt mit dem Hinweis nicht so ganz hin. Solletn wir das Ergebnis aus (a) benutzen? Wir haben uns darüber Gedanken gemacht und wussten nicht in welcher Weise wir das bei [mm] P(X_{n} \le [/mm] n [mm] \cdot [/mm] x) hätten einsetzen können.
Gruß
Wischmop
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
>
> danke für deine Antwort.
>
> Wir haben das jetzt folgendermaßen umgesetzt:
>
> [mm]F(\bruch{X_{n}}{n})=P(\bruch{X_{n}}{n}\le x)=P(X_{n} \le[/mm] n
> [mm]\cdot[/mm] x)
>
>
> [mm]P(X_{n} \le[/mm] n [mm]\cdot[/mm] x)
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n \cdot x}(\lambda/n)(1-\lambda/n)^i[/mm]
>
> [mm]=(\lambda/n)\summe_{i=0}^{n \cdot x}(1-\lambda/n)^i[/mm]
>
> [mm]=(\lambda/n)\bruch{(1-(\lambda/n))^{n \cdot x+1}-1}{(1-(\lambda/n))-1}[/mm]
DAs habe ich alles nicht nachgeguckt, weil sich die nächste Zeile mit (a) ergibt ...
>
> [mm]=1-(1-(\lambda/n))^{n \cdot x+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wir haben das p aus (a) durch [mm]\lambda/n[/mm] ersetzt, weil [mm]X_{n}[/mm]
> eine [mm]G_{\lambda/n}-verteilte[/mm] Zufallsvariable ist und für k
> haben wir n [mm]\cdot[/mm] x eingesetzt. Allerdings kommt das jetzt
> mit dem Hinweis nicht so ganz hin. Solletn wir das Ergebnis
> aus (a) benutzen?
Das habt ihr bis hierhin genutzt ...
Nun den Hinweis nutzen:
Es ist [mm]1-(1-\lambda/n)^{nx+1}=1-(1-\lambda/n)\cdot{}\left[(1-\lambda/n)^n\right]^x[/mm]
Was sagen nun die Grenzwertsätze in Verbindung mit dem Hinweis für [mm]n\to\infty[/mm]?
> Wir haben uns darüber Gedanken gemacht
> und wussten nicht in welcher Weise wir das bei [mm]P(X_{n} \le[/mm]
> n [mm]\cdot[/mm] x) hätten einsetzen können.
>
>
> Gruß
> Wischmop
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
dem Hinweis folgend, setzen wir für [mm] (1-\lambda/n)^n [/mm] das [mm] e^{-\lambda} [/mm] ein, da ja für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}t_{n}=t [/mm] gegeben ist.
Wir kommen also für [mm] n\to\infty [/mm] bei [mm] 1-(1-\lambda/n)\cdot (e^{-\lambda})^x [/mm] auf
1-(1-0) [mm] \cdot (e^{-\lambda})^x [/mm]
[mm] =1-(e^{-\lambda})^x
[/mm]
Wir sind uns aber unsicher, ob [mm] \bruch{\lambda}{n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] und [mm] \lambda [/mm] > 0 zu 0 wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 07.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Setzt [mm] $t_n=\lambda$ [/mm] in dem Hinweis.
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Hallo,
das haben wir bereits getan und den Hinweis genutzt, als wir für [mm] (1-\lambda/n)^n [/mm] das [mm] e^{-\lambda} [/mm] eingesetzt haben.
Gruß
Wischmop
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mo 08.07.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> das haben wir bereits getan und den Hinweis genutzt, als
> wir für [mm](1-\lambda/n)^n[/mm] das [mm]e^{-\lambda}[/mm] eingesetzt
> haben.
>
>
Gut. Und wie muss ich nun eure Anmerkung
Wir sind uns aber unsicher, ob $ [mm] \bruch{\lambda}{n} [/mm] $ für $ [mm] n\to\infty [/mm] $ und $ [mm] \lambda [/mm] $ > 0 zu 0 wird.
verstehen?
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Wir waren bei dem Ausdruck
[mm] 1-(1-\lambda/n)\cdot (e^{-\lambda})^x
[/mm]
angelangt und wollten dort [mm] n\to\infty [/mm] laufen lassen. Bei [mm] \bruch{\lambda}{n} [/mm] waren wir uns nicht sicher, ob der Teil gegen 0 geht, da [mm] \lambda [/mm] als > 0 definiert worden ist und deshalb ja theoretisch auch ins "unendliche" gehen könnte. Wir sind schlussendlich davon ausgegangen, dass [mm] \infty [/mm] "schneller wächst" als das [mm] \lambda [/mm] > 0 und haben für [mm] \lambda/n [/mm] eine "0" eingesetzt.
LG
Wischmop
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Hallo nochmal,
> Wir waren bei dem Ausdruck
>
> [mm]1-(1-\lambda/n)\cdot (e^{-\lambda})^x[/mm]
>
> angelangt und wollten dort [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen.
Nee, bei dem Ausdruck ist doch schon der Grenzübergang gemacht! Wie kommt ihr sonst zu [mm] $e^{-\lambda x}$ [/mm] ??
Der Faktor [mm] $(1-\lambda/n)$ [/mm] strebt dabei gegen 1-0=1
Also [mm] $1-(1-\lambda/n)\cdot{}\left[\left(1-\lambda/n\right)^n\right]^x [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] 1-1\cdot{}\left[e^{-\lambda}\right]^x=1-e^{-\lambda x}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> Bei
> [mm]\bruch{\lambda}{n}[/mm] waren wir uns nicht sicher, ob der Teil
> gegen 0 geht,
Natürlich, [mm] $\lambda [/mm] >0$ ist doch eine feste Zahl ....
> da [mm]\lambda[/mm] als > 0 definiert worden ist und
> deshalb ja theoretisch auch ins "unendliche" gehen könnte.
> Wir sind schlussendlich davon ausgegangen, dass [mm]\infty[/mm]
> "schneller wächst" als das [mm]\lambda[/mm] > 0
Das [mm] $\lambda$ [/mm] wächst doch nicht?!
> und haben für
> [mm]\lambda/n[/mm] eine "0" eingesetzt.
>
>
> LG
> Wischmop
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
> > Wir waren bei dem Ausdruck
> >
> > [mm]1-(1-\lambda/n)\cdot (e^{-\lambda})^x[/mm]
> >
> > angelangt und wollten dort [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen.
>
> Nee, bei dem Ausdruck ist doch schon der Grenzübergang
> gemacht! Wie kommt ihr sonst zu [mm]e^{-\lambda x}[/mm] ??
Das hatten wir auch bereits gemacht, aber nur mit der rechten Seite von [mm] 1-(1-\lambda/n)\cdot{}\left[\left(1-\lambda/n\right)^n\right]^x. [/mm] Die wurde dann ja zu [mm] e^{-\lambda x}. [/mm] Das haben wir etwas unglücklich formuliert.
>
> Der Faktor [mm](1-\lambda/n)[/mm] strebt dabei gegen 1-0=1
Genau, so haben wir es auch bei der linken Seite gemacht und kamen auf
1-(1-0) [mm] \cdot (e^{-\lambda})^x
[/mm]
[mm] =1-(e^{-\lambda})^x [/mm]
>
> Also
> [mm]1-(1-\lambda/n)\cdot{}\left[\left(1-\lambda/n\right)^n\right]^x \ \longrightarrow \ 1-1\cdot{}\left[e^{-\lambda}\right]^x=1-e^{-\lambda x}[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm]
Dann passt das ja :) Jetzt bleibt uns nur noch ein liebes Dankeschön übrig!
Gruß
Wischmop
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