Verteilungsfunktionen I < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 08.02.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Sei X gleichverteilt auf [0,1], [mm] \lambda>0 [/mm] und [mm] Y:=-\frac{1}{\lambda}\ln{}X. [/mm] Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von Y. |
Hallo. Ich habe noch etwas Klärungsbedarf bei Verteilungsfunktionen (VF) und Wkeitsdichten. Also eine VF ist eine Funktion [mm] F:\IR\to[0,1] [/mm] mit ein paar Eigenschaften wie z.B. F monoton steigend etc. Eine Dichte [mm] f:\IR\to\IR [/mm] ist eine Fkt. mit [mm] f(x)\ge{}0 \forall x\in\IR, [/mm] f stückw. Riemann-integrierbar, [mm] \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=1 [/mm] und es gilt F'(x)=f(x) bzw. [mm] F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt.
[/mm]
Bei dieser Aufgabe sollte X besser auf (0,1] gleichverteilt sein, da der Logartihmus für Null gar nicht definiert ist, oder?
Dann geht es an die Berechnung: Es hieß, man soll in die Definition einsetzen, um die VF zu berechnen. Heißt das, die ZV Y ist meine Dichte? Und ich setze diese dann in [mm] F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt [/mm] ein? Verstehs leider noch nicht.
gruß triad
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo triad,
die gleiche Aufgabe wurde heute schon in Teilen besprochen. Hier der Link dazu.
Vielleicht hilft dir das ja schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 08.02.2013 | | Autor: | triad |
> Hallo triad,
>
> die gleiche Aufgabe wurde heute schon in Teilen besprochen.
> Hier der Link dazu.
>
> Vielleicht hilft dir das ja schon weiter?
>
>
> Gruß, Diophant
Danke das hat mir schonmal etwas weiter geholfen. Die Rechnung $ P(Y [mm] \le [/mm] k ) = P( [mm] -\bruch{1}{a} \cdot{} [/mm] log X [mm] \le [/mm] k) = P(log X [mm] \ge [/mm] -ak) = P(X [mm] \ge e^{-ak}) [/mm] = 1-P(X < [mm] e^{-ka} [/mm] ) = 1 - [mm] F_x (e^{-ka} [/mm] ) $ ist auf jeden Fall nachvollziehbar, aber stimmt das mit der 1-F(...)? Es lautet doch [mm] F(k)=P((-\infty{},k])=P(X\le{}k). [/mm] Wie sieht denn also nun die Verteilungsfunktion [mm] F:D\to[0,1] [/mm] genau aus, wobei der Definitionsbereich D von F gleich dem Zielbereich von Y noch zu bestimmen ist.
gruß triad
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Hallo,
> Danke das hat mir schonmal etwas weiter geholfen. Die
> Rechnung [mm]P(Y \le k ) = P( -\bruch{1}{a} \cdot{} log X \le k) = P(log X \ge -ak) = P(X \ge e^{-ak}) = 1-P(X < e^{-ka} ) = 1 - F_x (e^{-ka} )[/mm]
> ist auf jeden Fall nachvollziehbar, aber stimmt das mit
> der 1-F(...)?
Ja, das stimmt. Beachte aber, dass dort [mm] F_x [/mm] steht und nicht F: es ist die Verteilungsfunktion von X gemeint,
> Es lautet doch
> [mm]F(k)=P((-\infty{},k])=P(X\le{}k).[/mm]
Nein, wenn schon, dann
[mm] F_y(Y\le{k})=P(-\infty
> Wie sieht denn also nun
> die Verteilungsfunktion [mm]F:D\to[0,1][/mm] genau aus, wobei der
> Definitionsbereich D von F gleich dem Zielbereich von Y
> noch zu bestimmen ist.
Die Verteilungsfunktion von X ist doch wohl eindeutig beschrieben. Damit bemommt man die von Y durch die obige Rechnung und das einzige 'Problem' ist der Definitionsbereich. Daher auch an dich nochmal die Anregung, darüber nachzudenken, welche Werte die ZV Y per definitionem überhaupt annehmen kann, wenn [mm] x\in[0;1] [/mm] ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 09.02.2013 | | Autor: | triad |
hi, also es ist ja egal, ob die Ränder beim Definitionsbereich von X mit dabei sind, denn es gilt ja P([a,b])=P((a,b])=P([a,b))=P((a,b)). Das hatten wir auch so schon festgehalten in der VL. Das macht also keine Probleme.
Nun zum Wertebereich von Y: Das größte, was man für X einsetzen kann ist 1, dann wird Y=0. Für X echt zwischen 0 und 1 ist Y echt positiv, weil der Logarithmus dort negativ ist, mit dem negativen Vorzeichen ist Y also echt positiv bis [mm] +\infty [/mm] für [mm] X\to{}0. [/mm] Und 0 dürfen wir nicht einsetzen. Ist also [mm] D=(0,\infty)?
[/mm]
Dann sieht das Ganze doch so aus: [mm] F_Y:D\to[0,1], F_Y(t)=\begin{Bmatrix} 0, & t\le 0\\ 1-F_X(e^{-\lambda{}t}),& 00 \end{Bmatrix}.
[/mm]
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Hallo triad,
ein Fehler, aber der ist entscheidend, und eine Nachlässigkeit sind anzumerken:
- Die Definitionsbereiche der Abschnitte deiner Verteilungsfunktion sind völlig falsch. Den Wertebereich von Y hast du doch schon!
Der Wertebereich einer ZV ist ja letzendlich häufig derjenige Bereich, auf dem der nicht konstante Teil einer Verteilungsfunktion definiert ist.
- Die Verteilungsfunktion von X ist zwar nicht angegeben, aber durch die angegebene Gleichverteilung natürlich vollständig beschrieben. Du musst sie ermitteln und verwenden!
Gruß, Diophant
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Hiho,
> Bei dieser Aufgabe sollte X besser auf (0,1] gleichverteilt sein, da der Logartihmus für Null gar nicht definiert ist, oder?
Ist es doch ^^
Es gilt doch bei der Gleichverteilung auf $[0,1] [mm] \IP(X \not= [/mm] 0) = 1$. D.h. X ist faktisch nie Null.
> Dann geht es an die Berechnung: Es hieß, man soll in die Definition einsetzen, um die VF zu berechnen.
Dann mach das doch mal.
Wie ist die Definition der Verteilungsfunktion?
> Heißt das, die ZV Y ist meine Dichte?
Nein, das ist Blödsinn.
Nochmal: Wie ist die generelle Verteilungsfunktion für Y definiert, wenn du nix über Y weißt?
MFG,
Gono.
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Hallo, selbige aufgaben.
Habe noch langem drüber schauen entdeckt, dass mein Endergebnis komisch ist (vielleicht)
kann mir jemand sagen ob das stimmt:
[mm]F_y (x) = -\bruch{1}{\lambda} log(1-e^{\lambda x}) = x, ~~ x > 1 [/mm]
und [mm] \lambda [/mm] > 0 bereits n.vor.
Sonst ist die Funktion ja nicht definiert, da ich oft log(0) bekomme, beim umformen.
Oder habe ich evtl. irgendwas vergessen zu beachten?
lg
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Hallo,
da hast du dir selbst ein Bein gestellt. Wir hatten doch schon
[mm] P(Y\le{e^{-\lambda*k})}=1-F_x(e^{-\lambda*k})
[/mm]
geklärt. Du musst also die Verteilungsfunktion von X aus der im Prinzip gegebenen Dichte noch bestimmen und verwenden. Und du musst noch den Definitionsbereich ermitteln, in dem dein [mm] F_y [/mm] gilt!
Gruß, Diophant
PS: weshalb führst du deinen Thread nicht weiter? 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 11.02.2013 | | Autor: | triad |
Es gilt [mm] F_Y(x)=P(Y\le{}0)=0 [/mm] für x<0. Für [mm] x\ge{}0 [/mm] gilt [mm] F_Y(x)=\ldots{}=1-P(X\le{}e^{\lambda{}*x})=1-e^{\lambda{}*x}, [/mm] da X gleichverteilt auf [0,1]. Damit [mm] Y\sim{}Exp(\lambda) [/mm] und
[mm] F_Y(x)=0 [/mm] , [mm] x\le{}0
[/mm]
[mm] 1-e^{\lambda{}*x}, [/mm] x>0
Stimmt das nun? ^^ Wie kann man denn übrigens das [mm] \lambda [/mm] dann noch bestimmen?
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Hallo,
> Es gilt [mm]F_Y(x)=P(Y\le{}0)=0[/mm] für x<0. Für [mm]x\ge{}0[/mm] gilt
> [mm]F_Y(x)=\ldots{}=1-P(X\le{}e^{\lambda{}*x})=1-e^{\lambda{}*x},[/mm]
> da X gleichverteilt auf [0,1]. Damit [mm]Y\sim{}Exp(\lambda)[/mm]
> und
> [mm]F_Y(x)=0[/mm] , [mm]x\le{}0[/mm]
> [mm]1-e^{\lambda{}*x},[/mm] x>0
>
> Stimmt das nun? ^^
Noch nicht ganz: im Exponenten ist dir das Minuszeichen verlustig gegangen.
> Wie kann man denn übrigens das [mm]\lambda[/mm]
> dann noch bestimmen?
Das war ein Denkfehler meinerseits, das muss man nicht und es geht auch nicht. Wichtig ist nur die Vorgabe, dass [mm] \lambda>0 [/mm] sein muss. Diese Angabe benötigt man für die eindeutige Angabe des Definitionsbereichs, mache dir klar, weshalb!
Gruß, Diophant
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