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Hallo,
Bezüglich der Definition von Verteilungskonvergenz für eine Folge von [mm] $\IR [/mm] ^k$ Zufallsvariablen verstehe ich folgende Bemerkung / folgendes Beispiel nicht.
Es ist nicht sinnvoll Verteilungskonvergenz von einer Folge von Verteilungsfunktionen [mm] $F_{n}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR [/mm] ^k$ zu definieren (sondern nur auf der Stetigkeitsmenge von F).
Dazu folgendes Beispiel, was ich vorne und hinten nicht verstehe:
[mm] $X_{n}:=a_{n} \in \IR$, [/mm] $X=a [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $a_{n}\downarrow [/mm] a$ (das heißt doch, dass [mm] $a_{n}$ [/mm] von oben gegen $a$ konvergiert, also [mm] $a_{0} \ge a_{1} \ge a_{2} [/mm] ... [mm] \ge [/mm] a$, oder?)
[mm] $F_{n}(a)=$ [/mm] (Wieso?) [mm] $P\{X_{n} \le a\}$ [/mm] (Wieso? )$=0$ strebt nicht gegen [mm] $F(a)=P\{X \le a\}=$ [/mm] (Wieso?) $1$
Obwohl (Wieso gilt dies?) [mm] $X_{n}(\omega) \rightarrow X(\omega)$ [/mm] für alle [mm] $\omega \in \Omega$, [/mm] konvergiert [mm] $F_n{n}$ [/mm] in $a$ nicht gegen $F$.
Abgesehen von fast allen Gleichheiten sehe ich nicht den Zusammenhang zu der Bemerkung mit der Stetigkeitsmenge...
viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo dancingestrella,
zuerst einmal zu deinem Beispiel:
> Es ist nicht sinnvoll Verteilungskonvergenz von einer Folge
> von Verteilungsfunktionen [mm]F_{n}[/mm] für alle [mm]x \in \IR ^k[/mm] zu
> definieren (sondern nur auf der Stetigkeitsmenge von F).
Stimmt. 
> Dazu folgendes Beispiel, was ich vorne und hinten nicht
> verstehe:
> [mm]X_{n}:=a_{n} \in \IR[/mm], [mm]X=a \in \IR[/mm] mit [mm]a_{n}\downarrow a[/mm]
> (das heißt doch, dass [mm]a_{n}[/mm] von oben gegen [mm]a[/mm] konvergiert,
> also [mm]a_{0} \ge a_{1} \ge a_{2} ... \ge a[/mm], oder?)
Deine Folge von Zufallsvariablen in diesem Beispiel ist rein deterministisch, du hast also quasi eine "ganz normale" Zahlenfolge. Anders gesagt, deine Zufallsvariable ist konstant für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] also [mm] $X_n(\omega)=a_n$ [/mm] für jedes [mm] $\omega \in \Omega$.
[/mm]
Du hast also, wie du richtig sagst, eine monoton fallende Zahlenfolge, die von oben gegen einen Wert [mm]a \in \IR[/mm] konvergiert. Wir brauchen sogar eine streng monoton fallende Zahlenfolge für das Beispiel.
Weiter:
> [mm]F_{n}(a)=P\{X_{n} \le a\}[/mm]
Die Definition der Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen auf [mm] \IR [/mm] ist einfach:
[mm]F_{X_n}(x)=P_{X_n}(]-\infty,x])=P(\{X_n\leq x\})[/mm], wobei [mm] $P_{X_n}=X_nP$ [/mm] das entsprechende Bildmaß sein soll,
bzw. abkürzend geschrieben:
[mm]F_{n}(x)=P_{n}(]-\infty,x])=P(\{X_n \leq x\})[/mm]
Bemerkung: Die "Doppelklammer" bei [mm] $P(\{X_n\leq a\})$ [/mm] ist wichtig, da die geschweiften Klammern die Menge angeben und die runden Klammern zum Maß gehören, welches ja von der [mm] \sigma-Algebra [/mm] nach [mm] $[0,\infty]$ [/mm] abbildet.
> [mm]=0[/mm]
Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert [mm] $\leq [/mm] a$ annimmt. Da [mm] $X_n(\omega)=a_n [/mm] > a$, ist diese Wahrscheinlichkeit natürlich 0!
> strebt nicht gegen [mm]F(a)=P\{X \le a\}=1[/mm]
Genauso: Da [mm]X[/mm] konstant [mm]a[/mm] ist.
> Obwohl [mm]X_{n}(\omega) \rightarrow X(\omega)[/mm] für alle [mm]\omega \in \Omega[/mm],
So hattest du die Folge ja definiert! Dort steht nichts anderes als:
[mm] $a_n \rightarrow [/mm] a$.
> konvergiert [mm]F_n(x)[/mm] in [mm]a[/mm] nicht
> gegen [mm]F(x)[/mm].
Das ist jetzt klar, oder?
> Abgesehen von fast allen Gleichheiten sehe ich nicht den
> Zusammenhang zu der Bemerkung mit der Stetigkeitsmenge...
Das Beispiel zeigt dir eine deterministische Folge (die ja auch eine Folge von Zufallsvariablen ist ), die gegen eine reelle Zahl $a$ konvergiert. Die Folge der Verteilungsfunktionen [mm] $F_n$ [/mm] konvergieren aber nicht in jedem Punkt (punktweise) gegen $F$, nämlich genau in $a$ nicht! Man hätte aber schon gern, dass so eine Folge auch "in Verteilung" konvergiert. Beschränken wir nämlich die Definition auf die Stetigkeitsmenge von $F$, dann trifft die Definition auch auf so eine simple Folge von Zufallsvariablen zu wie unsere. Und das ist doch toll! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") 
Denn:
Es gilt ja:
[mm]F_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < a_n \\ 1, & \mbox{für } x \geq a_n \end{cases}[/mm]
für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
und
[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < a \\ 1, & \mbox{für } x \geq a \end{cases}[/mm].
Die Stetigkeitsmenge von $F$ ist
[mm]\IR \setminus \{a\}[/mm].
Mache dir klar, dass für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{a\}$ [/mm] gilt:
[mm]\lim_{n\to \infty}F_n(x)=F(x)[/mm]!
Ist das jetzt klarer?
Viele Grüße
Astrid
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