Verteilungskonvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] X_{n} [/mm] eine Folge von stoch. unabh. und id.verteilten Zufallsgrößen mit [mm] P(X_{1} [/mm] = 0 ), [mm] EX_{1} [/mm] = 0, Var [mm] X_{1} [/mm] = o² und [mm] EX^{4} [/mm] < [mm] \infty. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (1/n*\summe_{i=1}^{n} X_{i}²) [/mm] nach Wkeit konvergiert.
b) Weisen sie für die Folge [mm] Y_{n} [/mm] mit [mm] Y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n} X_{i}}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} X_{i}²}} [/mm] Verteilungskonvergenz nach und bestimmen Sie die Grenzverteilung.
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Hallo,
habe die obige Aufgabe bearbeitet, weiß aber nicht, ob das stimmt bzw. bei b) weiss ich auch nicht so recht, wie ich die Verteilungskonvergenz zeigen soll.
zu a) Der Erwartungswert dieser Summen-ZV existiert, denn EX²= o², dann ist [mm] E(1/n*\summe_{i=1}^{n} X_{i}²) [/mm] = o²
[mm] Var(1/n*\summe_{i=1}^{n} X_{i}²) [/mm] = 1/n² * [mm] \summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}²) [/mm] = 1/n² * [mm] \summe_{i=1}^{n} (EX^{4} [/mm] - (EX²)²), denn die Kovarianz ist 0 ( stoch. unabh. Zufallsgrößen [mm] X_{i}²)
[/mm]
Die Summe ist endlich, da EX{4} < [mm] \infty [/mm] und EX² existiert.
Mit der Tschebyscheffungleichung folgt dann,dass der Grenzwert der Wkeit null ist.
b) Die Grenzverteilung müsste die N(0,1)-Verteilung sein.
[mm] E(\summe_{i=1}^{n} X_{i}) [/mm] = 0 und der Wurzelterm konvergiert nach Wkeit gegen seinen Erwartungswert wegen Aufgabenteil a). Also wird für große n fast nur noch der Erwartungswert angenommen und dieser ist [mm] \wurzel{no²}.Oder [/mm] ? Nach dem Zentralen Grenzwertsatz müsste die Folge dann gegen die Normalverteilung (in Verteilung) konvergieren.
Aber wie schreibt man das vernünftig auf ? Bzw. stimmt das überhaupt ?
Würde mich über eure Hilfe freuen.
Lg Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 03.01.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Fry,
zu a) Du kannst [mm] $Z_1,Z_2,Z_3,\dots$ [/mm] mit [mm] $Z_i=X_i^2$ [/mm] als eine Folge
von stoch. unabh. und id. verteilten Zufallsgrößen ansehen mit
[mm] $\mbox{E}[Z_i]=\sigma^2$ [/mm] (du meinst doch [mm] $\sigma^2$, [/mm] oder?) und
[mm] $\mbox{Var}[Z_i]=\mbox{X}[X^4]<\infty$. [/mm] Damit kannst du das
schwache Gesetz der Grossen Zahlen auf [mm] $Z_1,Z_2,Z_3,\dots$
[/mm]
anwenden. Es besagt, dass $ [mm] \sum_{i=1}^{n} Z_{i}/n=
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^{n} X_{i}^2/n [/mm] $ in Wahrscheinlichkeit gegen [mm] $\sigma^2$
[/mm]
konvergiert.
Fuer b) wollen wir noch festhalten:
[mm] $\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} Z_{i}/n$ [/mm] und folglich [mm] $\sqrt{\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} Z_{i}/n}$ [/mm] konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen 1.
Zu b) Diese Aufgabe kann man mit dem Satz von Cramer loesen. Er
besagt folgendes: Konvergiert [mm] $X_n$ [/mm] in Verteilung gegen $X$ und
[mm] $Y_n$ [/mm] in Wahrscheinlichkeit gegen [mm] $c\ne [/mm] 0$, so konvergiert
[mm] $X_n/Y_n$ [/mm] in Verteilung gegen $X/c$.
Setze [mm] $U_n=\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^n X_i/n$ [/mm] und [mm] $V_n=\sqrt{\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} Z_{i}/n}$. [/mm] Nach dem
Zantralen Grenzwertsatz konvergiert [mm] $U_n$ [/mm] in Verteilung gegen eine
Standardnormalverteilung. Ferner konvergiert [mm] $\sqrt{V_n}$ [/mm] in
Wahrscheinlichkeit gegen 1. Nach dem Satz von Cramer konvergiert
[mm] $Y_n=\frac{U_n}{\sqrt{V_n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}
X_{i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} X_{i}^2}}$
[/mm]
in Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 04.01.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo Luis,
vielen Dank für deine Antwort.
Hab eigentlich fast alles verstanden :), vielen,vielen Dank.
Den Satz kenn ich gar nicht und konnte ihn auch nirgendwo finden.
Allerdings hat wir mal Übungsaufgabe, wo man beweisen sollte, dass, wenn man eine beliebige Verteilung X hat, deren Grenzverteilung
[mm] X_{0} [/mm] ist und eine Diracverteilung Y mit Grenzverteilung [mm] Y_{0}, [/mm] dann konvergiert X+Y in Verteilung gegen [mm] X_{0} [/mm] + [mm] Y_{0}. [/mm] Ist doch so ähnlich oder ? Nur mit einem Quotienten ?
Und noch eine Frage... Du schreibst bei a) Var X = [mm] EX^{4}, [/mm] fehlt da nicht was ? (EX²)² ist ja nicht null...
Nochmals danke.
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 04.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Allerdings hat wir mal Übungsaufgabe, wo man beweisen
> sollte, dass, wenn man eine beliebige Verteilung X hat,
> deren Grenzverteilung
> [mm]X_{0}[/mm] ist und eine Diracverteilung Y mit Grenzverteilung
> [mm]Y_{0},[/mm] dann konvergiert X+Y in Verteilung gegen [mm]X_{0}[/mm] +
> [mm]Y_{0}.[/mm] Ist doch so ähnlich oder ? Nur mit einem Quotienten
> ?
>
Ja.
> Und noch eine Frage... Du schreibst bei a) Var X = [mm]EX^{4},[/mm]
> fehlt da nicht was ? (EX²)² ist ja nicht null...
>
Upps, da war ich etwas vorschnell. Du hast Recht. Aber die Voraussetzung
[mm] $\mbox{E}(X^4)<\infty$ [/mm] garantiert, dass auch
[mm] $\mbox{E}(X^2)<\infty$ [/mm] gilt, so dass die Varianz von [mm] $Z_i$ [/mm] existiert.
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