Verträglichkeitsbedingungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 12.05.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | V ist ein K-Vektorraum mit (V,+) abelsche Gruppe und den Verträglichkeitsbedingungen [mm] (a,b\in [/mm] K und [mm] v,w\in [/mm] V):
1. (a+b)v=av+bv
2. [mm] (a\*b)\*v=a\*(b\*v)
[/mm]
3. [mm] 1\*v=v
[/mm]
4. [mm] a\*(v+w)=av+aw [/mm] |
Hallo.
Also, ich soll in der Prüfung erklären können, wenn eine der Bedingungen dasteht, ob die Summe/das Produkt aus V oder K ist. Bitte korrigieren, wenn was falsch ist:
1. (a+b)v=av+bv => [mm] (a+b)\in [/mm] K; [mm] (a+b)v\in [/mm] V; [mm] av\in [/mm] V; bv [mm] \in [/mm] V; av+bv [mm] \in [/mm] V
2. [mm] (a\*b)\*v=a\*(b\*v) [/mm] => [mm] a\*b\in [/mm] K; [mm] (a\*b)\*v\in [/mm] V; [mm] b\*v\in [/mm] V; [mm] a\*(b\*v)\in [/mm] V
3. [mm] 1\*v=v [/mm] => klar
4. [mm] a\*(v+w)=av+aw [/mm] => [mm] v+w\in [/mm] V; [mm] a\*(v+w)\in [/mm] V; [mm] av\in [/mm] V; [mm] aw\in [/mm] V; [mm] av+aw\in [/mm] V.
Jetzt hat der Prüfer in der Vorbesprechung gesagt, er kann auch sowas hinschreiben:
[mm] (K,+,\*) [/mm] Körper mit
Addition [mm] \oplus: [/mm] K x K [mm] \to [/mm] K
Multiplikation [mm] \odot: [/mm] K x K [mm] \to [/mm] K
und dann z.B. [mm] (a\oplus b)\*v=av+bv.
[/mm]
Was muss ich hier besonders beachten? Oder sind die Regeln wie oben? Was ist der Unterschied zwischen der normalen Multiplikation und [mm] \odot [/mm] und der normalen Addition und [mm] \oplus?
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 12.05.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> V ist ein K-Vektorraum mit (V,+) abelsche Gruppe und den
> Verträglichkeitsbedingungen [mm](a,b\in[/mm] K und [mm]v,w\in[/mm] V):
> 1. (a+b)v=av+bv
> 2. [mm](a\*b)\*v=a\*(b\*v)[/mm]
> 3. [mm]1\*v=v[/mm]
> 4. [mm]a\*(v+w)=av+aw[/mm]
> Also, ich soll in der Prüfung erklären können, wenn eine
> der Bedingungen dasteht, ob die Summe/das Produkt aus V
> oder K ist. Bitte korrigieren, wenn was falsch ist:
> 1. (a+b)v=av+bv => [mm](a+b)\in[/mm] K; [mm](a+b)v\in[/mm] V; [mm]av\in[/mm] V; bv
> [mm]\in[/mm] V; av+bv [mm]\in[/mm] V
> 2. [mm](a\*b)\*v=a\*(b\*v)[/mm] => [mm]a\*b\in[/mm] K; [mm](a\*b)\*v\in[/mm] V;
> [mm]b\*v\in[/mm] V; [mm]a\*(b\*v)\in[/mm] V
> 3. [mm]1\*v=v[/mm] => klar
> 4. [mm]a\*(v+w)=av+aw[/mm] => [mm]v+w\in[/mm] V; [mm]a\*(v+w)\in[/mm] V; [mm]av\in[/mm] V;
> [mm]aw\in[/mm] V; [mm]av+aw\in[/mm] V.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt hat der Prüfer in der Vorbesprechung gesagt, er kann
> auch sowas hinschreiben:
>
> [mm](K,+,\*)[/mm] Körper mit
s. u.
> Addition [mm]\oplus:[/mm] K x K [mm]\to[/mm] K
> Multiplikation [mm]\odot:[/mm] K x K [mm]\to[/mm] K
> und dann z.B. [mm](a\oplus b)\*v=av+bv.[/mm]
> Was muss ich hier
> besonders beachten? Oder sind die Regeln wie oben? Was ist
> der Unterschied zwischen der normalen Multiplikation und
> [mm]\odot[/mm] und der normalen Addition und [mm]\oplus?[/mm]
Hier bist du immer im Körper K unterwegs, es gibt nur diese eine Menge, in der herumgerechnet wird. Aber es geht um einen abstrakten Körper K. Die Addition [mm] \oplus [/mm] hat daher mit der Add. + in den reellen Zahlen nix zu tun.
Oben muß es deswegen korrekt [mm] (K,\oplus,\odot) [/mm] heißen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 12.05.2010 | | Autor: | lubalu |
Also es gibt nix besonderes zu beachten, nur, dass alle Ergebnisse, die ich rausbringe auch aus K sind?
Aber wenn ich nur +: K x K [mm] \to [/mm] K als Addition und [mm] \*: [/mm] K x K [mm] \to [/mm] K als Multiplikation definiere, ist es doch auch so,oder?
Was ist dann das Besondere an [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot? [/mm] Hat das was mit der direkten Summe wie bei UVR zu tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also es gibt nix besonderes zu beachten, nur, dass alle
> Ergebnisse, die ich rausbringe auch aus K sind?
> Aber wenn ich nur +: K x K [mm]\to[/mm] K als Addition und [mm]\*:[/mm] K x
> K [mm]\to[/mm] K als Multiplikation definiere, ist es doch auch
> so,oder?
Ja
> Was ist dann das Besondere an [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot?[/mm] Hat das
> was mit der direkten Summe wie bei UVR zu tun?
Nein, das sind nur Bez. für die Addition bzw. Multiplikation
FRED
|
|
|
|
