Vervollständigung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:46 Mo 08.12.2008 | | Autor: | marymary |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Vervollständigung bis auf einen isometrischen Isomorphismus eindeutig ist '(Hinweis: Definiere die Isometrie zwischen zwei Vervollständigungen zunächst auf einer dichten Teilmenge, und setze siedann fort) |
Soviel habe ich schon (genaugenommen so wenig):
Seien [mm] Y_{1} [/mm] und [mm] Y_{2} [/mm] zwei Vervollständigungen und [mm] i_{1}: [/mm] X [mm] \to Y_{1} [/mm] und [mm] i_{2}: [/mm] X [mm] \to Y_{2} [/mm] zwei Isomorphismen das geht, denn:
Sei X ein normierter Raum. Dann gibt es (mindestens) einen Banachraum Y sodass X [mm] \subset [/mm] Y und [mm] \overline{X} [/mm] = Y.
X liegt als dichte Teilmenge in [mm] Y_{1} [/mm] und [mm] Y_{2}. [/mm] Definiere also i : X [mm] \to Y_{2} [/mm] durch i(x):= [mm] i_{2}(x). [/mm] i ist also auch isomorph.
Ich weiß weiter, dasss aus der Beschränktheit von i folgt, dass es eine eindeutige stetige Fortsetzung auf ganz [mm] Y_{1} [/mm] gibt.
Ist das so alles richtig bisher?
Wie zeige ich die Beschränktheit von i?
Und was fehlt dann noch?
Wer kann mir helfen? LG; Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Di 09.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Zeige, dass die Vervollständigung bis auf einen
> isometrischen Isomorphismus eindeutig ist '(Hinweis:
> Definiere die Isometrie zwischen zwei Vervollständigungen
> zunächst auf einer dichten Teilmenge, und setze siedann
> fort)
> Soviel habe ich schon (genaugenommen so wenig):
>
> Seien [mm]Y_{1}[/mm] und [mm]Y_{2}[/mm] zwei Vervollständigungen und [mm]i_{1}:[/mm]
> X [mm]\to Y_{1}[/mm] und [mm]i_{2}:[/mm] X [mm]\to Y_{2}[/mm] zwei Isomorphismen das
> geht, denn:
Nein, die [mm] $i_1,i_2$ [/mm] sind Isometrien, d.h. sie erhalten die Metrik, aber sie müssen nicht notwendigerweise ein (isometrischer) Isomorphismus, d.h. zusätzlich bijektiv, sein. z.B. ist [mm] $\IR$ [/mm] ja die Vervollständigung von $IQ$, aber es gibt keine Bijektion von [mm] $\IQ$ [/mm] auf [mm] $\IR$...
[/mm]
Du musst das so machen:
1) [mm] $i_1(X)$ [/mm] ist dicht in [mm] $Y_1$
[/mm]
2) Definiere [mm] $\Phi_0:Y_1\supset i_1(X)\to Y_2$ [/mm] mit [mm] $\Phi_0=i_2\circ i_1^{-1}$
[/mm]
3) Dann ist (!) [mm] $\Phi_0$ [/mm] eine Isometrie von einer dichten Teilmenge von [mm] $Y_1$ [/mm] in den vollständigen metrischen Raum [mm] $Y_2$, [/mm] lässt sich also stetig Fortsetzen zu einer Isometrie (!) [mm] $\Phi:Y_1\to Y_2$ [/mm] (diese ist insbesondere auch injektiv, da jede Isometrie injektiv ist).
...
Gruß, Robert
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