Vielfache von 33 mit 12 Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die drei kleinsten natürlichen Zahlen n, die Vielfache von 33 sind und genau 12 Teiler haben. |
Hallo Zusammen,
leider komme ich bei der Aufgabe nicht auf das richtige Ergebnis.
Bisher habe ich gerechnet:
/tau= 12= 2*2*3=(1+1)(1+1)(2+1)
daraus folgt also, dass 33x als PFZ die Exponenten e1=1, e2=1, e3=2 hat.
da 33x ist ein Vielfaches von 33 ist, muss es auch durch die PFZ von 33 teilbar sein; 33=3*11.
darauf folgt, dass ich also suche 33x=3*11*z²
oder ist die Annahme falsch, dass 3 und 11 die Exponenten 1 haben?
falls es so richtig ist, kann ich doch für z die drei kleinsten Primfaktoren die ungleich 3 und 11 sind einsetzen? oder müssen die zwingend ungleich 3 und 11 sein?
somit ist z1= 2, z2=3, z3= 5 oder z1=2, z2=5, z3= 7
und die drei kleinsten natürlichen Zahlen n, die Vielfache von 33 sind und genau 12 Teiler haben: 132, 297, 825 oder 132, 825, 1617
ich hoffe man kann meinem Gedankengang folgen :)
Vielen Dank schon mal für die Antworten!
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Hallo Minchen,
12=2*2*3 ist hier tatsächlich die einzig hilfreiche Zerlegung. Aber das weist ja z.B. auch auf [mm] \tau(198)=12 [/mm] hin. Deine Betrachtung ist also nicht vollständig.
Grüße
reverend
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Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
stimmt...
33x= 2²*3*11= 132
= 2*3²*11= 198
= 3²*5*11= 495.
Ist das jetzt richtig?
Hab ich das richtig verstanden, dass in der PFZ von 33x ebenso die Primfaktoren 3 und 11 von der PFZ von 33 drin sein müssen?
und der dritte Faktor, also quasi um auf 33x zu kommen, ist der dritte Primfaktor?
Und die Exponenten, die durch tau 12 herausbekommen habe, können varriieren?
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Hallo Minchen,
das wird besser. Es reicht aber noch nicht als vollständige Antwort.
> stimmt...
>
> 33x= 2²*3*11= 132
> = 2*3²*11= 198
> = 3²*5*11= 495.
>
> Ist das jetzt richtig?
Soweit ich sehe, ja. Aber trotzdem musst Du noch ausschließen, dass es eine weiter Lösung <495 gibt.
> Hab ich das richtig verstanden, dass in der PFZ von 33x
> ebenso die Primfaktoren 3 und 11 von der PFZ von 33 drin
> sein müssen?
Ja, richtig.
> und der dritte Faktor, also quasi um auf 33x zu kommen, ist
> der dritte Primfaktor?
Wenn es einen dritten gibt... Immerhin gilt ja auch 12=2*6=3*4.
> Und die Exponenten, die durch tau 12 herausbekommen habe,
> können varriieren?
Klar.
Trotzdem musst Du noch [mm] 3^5*11 [/mm] berechnen und [mm] 3^3*11^2. [/mm] Die ändern allerdings nichts mehr an Deinem Ergebnis.
Grüße
reverend
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okay danke, das macht Sinn.
Ich weiß leider trotzdem nicht, wie ich nun ausschließen soll, dass es keine weitere Lösung gibt.
Also theoretisch ist es logisch, weil n mit tau=12 nur die Möglichkeit lässt, dass die Exponenten entweder 2,1,1 oder 5,1 oder 3,2 sind. Bei den Werten von 5,1 und 3,2 sind und den Zahlen 3,11 ist die Multiplikation bereits höher als die Zahlen mit den Exponenten 1,1,2.
Ich kann höchstens zeigen, dass die anderen Vielfachen von 33 nicht genau 12 Teiler haben, aber das macht ja keinen Sinn bei sovielen Zahlen
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Hallo nochmal,
alles gut.
> okay danke, das macht Sinn.
> Ich weiß leider trotzdem nicht, wie ich nun ausschließen
> soll, dass es keine weitere Lösung gibt.
> Also theoretisch ist es logisch, weil n mit tau=12 nur die
> Möglichkeit lässt, dass die Exponenten entweder 2,1,1
> oder 5,1 oder 3,2 sind.
..., da ja mindestens die Primfaktoren 3 und 11 vorkommen müssen. (Sonst gäbe es ja auch noch [mm] p^{11} [/mm] als Lösung; ergibt aber mindestens 2048.)
> Bei den Werten von 5,1 und 3,2 sind
> und den Zahlen 3,11 ist die Multiplikation bereits höher
> als die Zahlen mit den Exponenten 1,1,2.
Eben. Darum sollst Du die Werte von [mm] 3^5*11=? [/mm] und [mm] 3^3*11^2=? [/mm] ja mit angeben.
> Ich kann höchstens zeigen, dass die anderen Vielfachen von
> 33 nicht genau 12 Teiler haben, aber das macht ja keinen
> Sinn bei sovielen Zahlen
Stimmt, das macht keinen Sinn. Es ist auch nicht nötig.
Mit den obigen Zerlegungen hast Du ja alle Möglichkeiten erfasst.
Grüße
reverend
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