Vielfachheit&Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 So 30.01.2005 | | Autor: | Helpme |
ja,also mal wieder ich,aber wie gesagt,brauche noch ne menge an punkten und deswegen MÜSSEN meine hausaufgaben richtig sein....wieter unten hab ich ja die eigenwerte ausgerechnet und bekamm [mm] \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=0 \lambda_{3}=8 [/mm] raus nun muss ich noch zwei aufgaben lösen,die erste ist ich soll die algebraische geometrische Vielfachheit jedes errechneten eigenwertes [mm] L_{D} [/mm] finden.
ich weiß die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist einfach Anzahl des Auftauchen des Eigenwertes. ..also 0 hat den vielfacheit 2 und 8 ->1
Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren.meine eigenvektoren sind
zu 0 <1,0,0>
nochmal zu 0<0,0,1> oder<1,0,0>
zu 8 <5,8,7>
alle drei sind dann also linear unabhängig daher ist die geometrische Vielfachheit 3 ....und ich weiß jetzt nicht wie ich es korrekt mathematisch aufschreiben soll!die sind bei uns immer so pingelig.
Die zweite Aufgabe,ich soll die Eigenwerte der Matrizen [mm] 4D,D^{2} [/mm] finden,ohne die charakteristischen Polynome dieser Matrizen zu berechnen.
Meine Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0},nun [/mm] mache ich einfach
[mm] 4\pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 7 & 0}=\pmat{ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 32 & 0 \\ 0 & 28 & 0}
[/mm]
So und nun?Kann ich einfach mal behaupten das die Eigenwerte nun ablesbar sind und [mm] \lambda_{1,2}=0 \lambda_{3}=32 [/mm] ergeben,oder muß ich das irgendwie mathematisch beweisen?
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Hallo!
Zu deiner ersten Aufgabe.
Ich habe das mal nachgerechnet und es scheint alles richtig zu sein.
So, wie ich du das jetzt hier aufgeschríeben hast, kannst du das ruhig abgeben.
Anders hätte ich das auch nicht gemacht.
Schreibe vielleicht immer noch hin, was du genau machst und vielleicht zuerst die allgemeine Form (ansatzweise).
Ansonsten: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zum zweiten Teil:
Eine Aufgabe, bei der beim blossen Hinsehen schon alles klar ist.
Der zweifache Eigenwert 0 ist klar, da der Rang der Matrix 1 ist.
"Scharfes Hinsehen!" 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 30.01.2005 | | Autor: | Helpme |
Also ist die geometrische Vielfachheit 3,richtig?kann ich es so schreiben g( [mm] \lambda_{1,2,3})=3?
[/mm]
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Hi!
Da habe ich wohl eben stillschwegend etwas überlesen.
Okay, wir haben die Eigenwerte 0 (zweifach) und 8 (oder war es ein anderer - ist eigentlich auch egal).
0 ist Eigenwert mit 2-facher algebraischer Vielfachheit, 8 ist Eigenwert mit Vielfachheit 1.
So kann man das auch aufschreiben. Da würde ich nicht noch versuchen, das in eine formelle Schreibweise zu packen.
Ausser ihr habt Euch da euf eine geeinigt, ich selbst kenne da aber keine.
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums eines Eigenwerts.
D.h., du musst da jeden Eigenwert für sich betrachten.
Demnach ist 3 nicht korrekt, da du das auf alle bezogen hast.
Die Schreibweise finde ich auch nicht so doll.
Schreib´s doch einfach als Prosa.
Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 So 30.01.2005 | | Autor: | Helpme |
ok,dann hat 0 eine geo.vielfachheit von 2 und 8 von 1,glaub ich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 So 30.01.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Ja!
So ist es korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 30.01.2005 | | Autor: | Helpme |
hab noch kurz eine frage,aber das ist dann definitv die letzte für heute;)
also ich hab da noch eine matrix
[mm] \pmat{ -5 & 20 & 0 \\ 0 & 27 & 0 \\ 0 & 28 & -5}
[/mm]
und soll auch hier jetzt den eigenwert bestimmen,wieder ohne ch.poynome,wie kann ich das jetzt machen?scharfes hinsehen bringt jetzt wahrscheinlich auch nichts,oder?kann ich irgendwelche eigenschaften der determinante oder eigenwerte benutzen um es rauszukriegen und wenn ja welche?
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Hi!
Scharfes Hinschauen geht auch hier wieder.
Denn, Du hast ja fast eine Diagonalmatrix. Der einzige Eintrag, der "stört", ist 28.
Aus dieser Form kann man direkt ablesen, dass definitv -5 zweifacher Eigenwert ist.
Das dürfte klar sein.
Die 28 könnte man bei Berechnung des char. Polynoms ausräumen.Das ist ja eine Eigenschaft der Determinanten.
Damit wäre dann auch 27 Eigenwert.
Du kannst ja dennoch mal das char. Polynom berechnen [mm] (x^3-17*x^2-245*x-675 [/mm] = (x - 27) (x + 5) ^2).
Entscheidend ist hier, dass der Eintrag rechts neben der 27 0 ist.
Sonst könnte man das auch nicht mehr ablesen.
Einen anderen Weg kenne ich auch nicht.
Da ist die Berechnung des char. Polynoms eigentlich Standard.
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