Vielfachheiten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Do 29.04.2010 | | Autor: | iMod109 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie jeweils das charakteristische Polynom, die komplexen Eigenwerte mit zugehöriger algebraischen und geometrischen Vielfachheit. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Freunde des abstrakten Denkens,
Die obige Aufgabenstellung habe ich schon für 2 Matrizen ohne Probleme bearbeiten können. Dazu habe ich zunächst eine kurze Verständnisfrage:
Die Eigenräume der Eigenwerte bilde ja eine direkte Summe des Vektorraums. Kann ich daraus schließen, dass die Summe der geometrischen Vielfachheiten gleich der Dimension des Vektorraums sein muss?
Auf dieser Überlegung basiert mein Problem, mit der folgenden Matrix:
[mm] C:=\pmat{ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
Hierbei finde ich als komplexe Nullstellen des charakteristischen Polynoms: [mm] \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=3i [/mm] und [mm] \lambda_{3}=-3i
[/mm]
Die algebraischen Vielfachheit ist jeweils 1. Für [mm] \lambda=0 [/mm] habe ich dann sicherheitshalber den Eigenraum bestimmt und mit Erschrecken festgestellt, dass die Dimension des Eigenraums 2 ist. Dies kann aber nicht sein, da sie kleiner gleich 1 (algebraische Vielfachheit von 0) sein muss.
Wo ist mein Denkfehler?
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Hallo iMod109,
> Bestimmen Sie jeweils das charakteristische Polynom, die
> komplexen Eigenwerte mit zugehöriger algebraischen und
> geometrischen Vielfachheit.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Freunde des abstrakten Denkens,
> Die obige Aufgabenstellung habe ich schon für 2 Matrizen
> ohne Probleme bearbeiten können. Dazu habe ich zunächst
> eine kurze Verständnisfrage:
> Die Eigenräume der Eigenwerte bilde ja eine direkte Summe
> des Vektorraums. Kann ich daraus schließen, dass die Summe
> der geometrischen Vielfachheiten gleich der Dimension des
> Vektorraums sein muss?
> Auf dieser Überlegung basiert mein Problem, mit der
> folgenden Matrix:
> [mm]C:=\pmat{ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 }[/mm]
>
> Hierbei finde ich als komplexe Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms: [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=3i[/mm]
> und [mm]\lambda_{3}=-3i[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die algebraischen Vielfachheit ist jeweils 1. Für
> [mm]\lambda=0[/mm] habe ich dann sicherheitshalber den Eigenraum
> bestimmt und mit Erschrecken festgestellt, dass die
> Dimension des Eigenraums 2 ist. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dies kann aber nicht sein,
Genau, du bist zu recht stutzig geworden, da kann was nicht stimmen ...
> da sie kleiner gleich 1 (algebraische Vielfachheit von 0)
> sein muss.
>
> Wo ist mein Denkfehler?
Es wird ein Rechenfehler sein, nach meiner Rechnung ist der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=0$ [/mm] eindimensional (muss er ja auch sein - du hast ja 3 verschiedene Eigenwerte)
Rechne also vor, wie du die Matrix [mm] $\pmat{ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 }$ [/mm] in Zeilenstufenform bringst, da liegt der Hund begraben ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Do 29.04.2010 | | Autor: | iMod109 |
Tatsächlich ich habe mich im Gauß verrechnet... Peinlich...
[mm] \begin{matrix}
0 & 2 & -1 \qquad 0 \\
-2 & 0 & 2 \qquad 0 \\
1 & - 2 & 0 \qquad 0 \\
\\\\
0 & 2 & -1 \qquad 0\\
0 & -4 & 2 \qquad 0 \\
1 & - 2 & 0 \qquad 0 \\
\end{matrix}
[/mm]
Somit ergibt sich eine Nullzeile und ich wähle [mm] x_{3} [/mm] beliebig. Daraus ergibt sich für
[mm] x_{2}=\bruch{1}{2}x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1}=x_{3}.
[/mm]
Der Eigenraum wird dann durch [mm] \IR \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] aufgespannt und hat damit die Dimension, womit die geometrische Vielfachheit auch 1 ist.
Danke für die Hilfe
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