Vier-Farben-Satz, Gleichung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:34 Di 21.01.2014 | | Autor: | Ballo |
| Aufgabe | 1) Für Triangulationen gilt: alle haben 3 Kanten (k) und jede Kante begrenzt 2 Regionen (r) also:
1.1) 3r = 2k
2) Px = Anzahl der Ecken (e) von der Triangulation T mit Eckengrad x, also:
2.2) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] * Px = e (i = x)&(n = [mm] \infty [/mm] )
3) Da jede Kante (k) am Ende jeweils eine Ecke (e) hat gilt:
3.1) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] * Px * x = 2k (i=x)& (n= [mm] \infty [/mm] )
4) Man setzt Gleichung 1.1) in 3.1) ein und erhält:
4.1) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (6 - x) * Px = 12 (i=x)&(n= [mm] \infty [/mm] )
5) Durch Umschreiben von Gleichung 4.1) erhält man:
2Px2 + 3Px3 + 1Px4 + 1Px5 - 1Px6... -[(6 - x) * Px = 12
Fazit: Mann kann sehen, dass der Graph mindestens eine Ecke mit einem Eckengrad von höchstens 5 besitzt. |
Hallo,
als aller erstes nochmal ein dickes Dankeschön, für die schnellen Antworten bisher.
Die Quelle für diese Gleichung ist diese hier:
http://www.ti.inf.uni-due.de/fileadmin/public/teaching/seminar/graphs/ss2013/blockseminar/Der_Vier-Farben-Satz.pdf
Ich habe versucht, die einzelnen Schritte nachzuvollziehen.
Mir ist klar, dass die Gleichung mittels der Eulerschen Polyederformel( e - k + r = 2 ) ( e = Ecken ; k = Kanten ; r = Regionen ) eine Triangulation T gelößt wird und man den Eckengrad bestimmen möchte.
Nun zu meinen Fragen:
1. Frage:
Schritt 1)- 3) ist mir klar allerdings komm ich nicht auf das Ergebnis von Schritt 4) Ich weiß, dass die Gleichung umgeformt wurde.
Nun sind mir allerdings die Zwischenschritte nicht klar.
Also wie kommt man auf:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (6 - x) * Px = 12 ?
2. Frage:
In der genannten Quellenangabe steht nach der Gleichung:
Aus der Gleichung aus 6 erkennt man, dass die Gleichung nur erfüllt wird, sofern mindestens ein positiver Summand existiert. Infrage kommen also Ecken mit dem Grad 2, 3, 4 und 5. Somit stimmt der Satz, dass ein Graph mindestens eine Ecke von höchstens fünf Grad besitzt.
Wieso wird die Gleichung nur erfüllt, sofern mind. 1 positiver Summand existiert?
Wieso kommen die Ecken mit Grad 2,3,4 und 5 infrage ?
Und zum Schluss:
Wie kommt man darauf, dass der Satz dann stimmt ? In der Gleichung steht ja nichts davon, dass mindestens eine Ecke von höchstem Grad 5 existiert?
Und ich dachte, dass mir diese Formel eine Art "kleinen Ansatz" für die Lösung des Vier-Farben-Satzes gibt. Allerdings bringt mir diese Gleichung ja nichts, bzw steht nur mit dem Fünf-Farben-Satz in Verbindung.
Dass diese Gleichung für den Vier-Farben-Satz benötigt wird weiß ich auch, allerdings verstehe ich die Beziehung zwischen dieser Gleichung und dem Vier-Farben-Satz nicht.
Vielen Dank schon mal im Voraus !
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 24.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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